2.5多元不定方程

正整数解: 可以用逐次尝试法
例 2. 20 某人到商店购买了 价值26元钱的东西，他用10 元，5元，2元，1元的四种 钱币去支付，共有多少种支 付方法（要求每种钱币都使 用）？
解答
得方程为 10x+5y+2z+w=26, 由于四种钱币都必பைடு நூலகம்用, x只有一种取值:x=1; 方程化为 5y+2z+w=16, 由 16 2 1 13
例2.19
(1) 10x+4y+6z+14w = 17； (2) 2x +4y+6z+ 5w = 31.
(1)解题的大概过程: 化简后, 分别得到方程 5x+2y=u, u+3z=v, v+7w=77 求出通解后逐一回代。
(2) 2x +4y+6z+ 5w = 31.
分别令2x+4y=2u (注意这里等号 右边是2u), u+3z=v, 2v+5w=22 求出通解后逐一回代.
前者，考虑y+6为36的约数即可． 后者，只要2y–3是15的约数．
作业
P96习题2.2第4(1)(2),5题.
定理2.4 n元一次不定方程 a1x1+a2x2+…+anxn ＝N (2．5) 有整数解的必要且充分条件是d | N，这 里d＝(a1，a2，…，an)，a1，a2， … ， an与N都是正整数．
证明 (1) 必要性， 如果方程(2．5)有整数 解xi =xi0 (i=1，2，…，n) 根据第一章的定理1．2的推论2，可以知 道由于d | ai ( i=1，2，…，n )，因此d整除方 程的左边，即d | N．
这个推论实际上是定理 2．4 中必要性 (条件)的逆否命题，根据原命题与逆否 命题的等价性可知推论是正确的．
推论
例2．18 判断下列不定方程有无 整数解： (1) 2x+3y+5z+7w ＝ 17； (2) 6x+15y+21z+9w=31.
(1) (2,3,5,7)=1 => 1|17,所以方程有整数解. (2) (6,15,21,9)=3, 3不能整除31,所以方程 无整数解.
§2.5 多元一次不定方程
定义 如果我们设 都是整数， 都是整数，则多元一次不定方程就是 可以表示成下面形式的方程。 可以表示成下面形式的方程。
a1x1+a2x2+…+anxn ＝N (2．5) ．
不失一般性，我们可以假定 不失一般性， 都是不为零的整数。 都是不为零的整数。
讨论前的说明
与二元或三元一次不定方程相类似，由 于n元一次不定方程的解 xi ( i ＝1，2，…， n)可以是正整数或负整数，所以我们只需 讨论a1，a2，…，an 与c都是正整数的情 况． 现在来研究判断n元一次不定方程有无 整数解的条件．我们有下面的结果．
(2) 充分性．根据第一章定理1．10的 推论3, 可类似于二元，三元的情况推得。 因为 d＝(a1，a2，…，an) ， 由定理1.10 推论3，所以，存在整数组 使 由于 d | N，我们设N=cd ，于是 即整数组 是方程的解。
如果(a1，a2，…，an) | c， 那么，n元一次不定方程(2．5)无 整数解．
多元一次不定方程的解法思路
多元一次不定方程可以用类似三元一次不定 方程的解法求解。即我们按顺序求出 ， ，… ， ，
然后，引入 ， 首先求出最后一个方程的一切解，然后把 ， 的每一个值代入倒数第二个方程求出它的一 … … … … 切解，这样继续下去，我们就可以得出多元 一次不定方程的一切解。让我们看例子。 ， 。
1≤ y <
y=1,或2,分别得方程 2z+w=11, 或2z+w=6 共有七个整数解.即此人共有7种不同的支付方 法.
5
=
5
思考题
下面的非一次型不定方程能用 分离整数法求解吗？ (1) 1 1 = 1 x y 6 (2) 2xy – 3x – y = 6
答案
6y 36 = 6 (1) . 可以． x = y+6 y+6 y + 6 1 1 15 = + . ( 2) x = 2y 3 2 2 2y 3