1伴随矩阵和Crammer法则

a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 a x + a x + ⋯ + a x = 0 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = 0
称为n元齐次线性方程组 称为 元齐次线性方程组. 元齐次线性方程组
d − b A = − c a
∗
AA =
a11 a 21 ⋮ a n1 ⋯ a1n A11 a 22 ⋯ a 2n A12 ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ a n 2 ⋯ a nn A1n a12 An1 A22 ⋯ An 2 ⋮ ⋯ ⋮ A2n ⋯ Ann A21 ⋯
一定有解 零解
定理2 若齐次方程组的系数行列式 定理
D ≠ 0 则方程组有惟一零解 则方程组有惟一零解.
定理2 若齐次方程组有非零解， 定理 * 若齐次方程组有非零解，则它 ＝ 的系数行列式 D＝0
例1：λ为何值时，方程组有非 零解？ λx + y − z = 0 x + λy − z = 0 2 x − y + λz = 0
对于范德蒙行列式,我们的任务就是 利用它计算行列式,因此要牢记范德 蒙行列式的形式和结果.
你能识别出范德蒙行列式吗？ 你能识别出范德蒙行列式吗？! 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？ 你会用范德蒙行列式的结果做题吗？!
如：
1 1 D= 2 1 4 1 1 3 9 1 4 16 D= 1 2 1 1 1 3 4 1 9 8 1 27 = ? − 12
若方程组有非零解,则其系数行列式为零 则其系数行列式为零,即 解 若方程组有非零解 则其系数行列式为零 即
λ
D= 1 2
1
−1 − 1 = λ3 − 1 = 0 ⇒ λ = 1
λ
−1
λ
故当 λ = 1 时，方程组有非零解.
例 2：证明：方程组有惟一零解 。 ：证明：
1 ( a11 − ) x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 2 1 a 21 x1 + ( a 22 − ) x2 + ⋯ + a 2 n xn = 0 2 ⋯ ⋯ ⋯ （其中aij 都 1 a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + ( a nn − ) xn = 0 是整数。） 2
5 ⋱
第n +1行 减第1行 ⋯
3 ⋰ 5 ⋰ 3 ⋱ −1 0 −1
=
= (−1) 5
n n
0
也可用按行或列展开做. 也可用按行或列展开做
按第一行展开。 按第一行展开。
2 2 ⋱ D2 n = ⋰ 3 3
0 2 3 ⋱ − 3 ⋰ 3 3 2 3 3 2 ⋱ ⋰ 3
3 3 ⋰ 2 3 3 2 ⋱ 2 2
7 5 2 7 2.Dn = 2 5 7 5 ⋱ ⋱ ⋱ 2 7 5
2 5 2 7 7 (按第一行展开 按第一行展开) 按第一行展开 = 7 Dn −1 − 5 2
5 7 ⋱ ⋱ ⋱ 5 2 7
= 7 Dn −1 − 10 Dn −2
Dn = 7 Dn −1 − 10 Dn −2
⇒ Dn − 5 D
证：因为系数行列式为
1 a11 − 2 D= a 21 ⋮ a n1
2a11 − 1 1 = n 2 2a 21 ⋮ 2a n1
a12
⋯
a1n a2n ⋮ 1 − 2
2a1n 2a 2 n ⋮
1 a 22 − ⋯ 2 ⋮ ⋯ an 2
⋯ a nn
2a12 ⋮ 2a n 2 ⋯ ⋯
按定义展 开，除主 对角线上 的元素之 乘积为奇 数，其余 数均是偶 数。
n −1 an
数学归纳 法
=
∏ ( ai − a j ) 关于范德蒙行列 1≤ j <i ≤ n
式注意以下三点
• • • •
1.形式 按升幂排列 幂指数成等差数列 形式:按升幂排列 幂指数成等差数列. 形式 按升幂排列,幂指数成等差数列 2.结果 可为正可为负可为零 结果:可为正可为负可为零 结果 可为正可为负可为零. 3.共n(n-1)/2项的乘积 项的乘积. 共 项的乘积 4. D=0的充要条件 的充要条件
Aij的 两个应用
A11 ∗ A12 A = ⋮ A 1n
∗
Aij为aij的代 数余子式
伴随矩阵
代数余子式的顺序! 写A 时要注意什么？ 代数余子式的顺序!
求二阶A矩阵的伴随矩阵 例:求二阶 矩阵的伴随矩阵 求二阶 矩阵的伴随矩阵.
a b A= c d
b2 a21 ⋯ a2n 2+n (−1) a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ bn an1 ⋯ ann
bn
= b1 D − a11 D1 − a12 D2 − ⋯ − a1n Dn = 0
由 D ≠ 0 得证。 得证。 再证解是惟一的, 再证解是惟一的 为 x j =
Dj D
即
D⋅ xj =
D ⋅ xj = Dj
ij的两个应用看看风景稍后回2212211122211211关于范德蒙行列式注意以下三点数学归纳d0的充要条件对于范德蒙行列式我们的任务就是利用它计算行列式因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果
伴随矩阵
A = (aij )n×n
A21 ⋯ A22 ⋮ A2n An1 ⋯ An 2 ⋯ ⋮ ⋯ Ann
= 5 ( D n −2 −2 D n −3 ) = ⋯ = 5n −2 ( D 2 −2 D1 ) = 5n
n +1 n +1 ⇒ Dn − 5D n −1 = 2 n 5 −2 ⇒ Dn = 3 Dn − 2 D n −1 = 5n
记住这类题的解法! 记住这类题的解法
几个例题
2x 求 f ( x) = 1 3 1 x x 2 1 1 1 x 1
2 3 2 3
1 a−4 ( a − 4) ( a − 4) 1 a −1 ( a − 1) ( a − 1)
2 3 2 3
= 3!2!1! = 12
1 1 求方程 p( x) = 1 1
2 3 4 xຫໍສະໝຸດ 4 9 16 x28 27 64 = 0 的根 x3
2， 3， 4
克莱姆法则
考虑方程组
行列式的应 用
b1 D − a11 D1 − a12 D2 − ⋯ − a1n Dn = 0
为此构造n+1阶行列式 阶行列式 为此构造
Dn +1 =
b1 b1 ⋮ bn
a11 a11 ⋮ a n1
a12 a12 ⋮ an2
⋯ a1n ⋯ a1n ⋯ ⋮ ⋯ a nn
此行列式为零.将其按第一行展开 得 此行列式为零 将其按第一行展开,得 将其按第一行展开
2 2 ⋱ =2 ⋰ 3 0 2 3 3 2 ⋱ ⋰
3
0
2 22n 1
2 02n−1
= 4D 2n−2 − 9D2n−2 = −5D2n−2 2 = ( −5) 3 D2 n −6 = ( −5) D2 n −4 n−1 = ⋯ = ( −5) D2 2 3 n D2 = = (−5) 3 2
= −5
2
n −1
D2 =
7 5
= 2( D n −1 −5D n − 2 )
n −2
= 39 D = 7 1 2 7
D2 − 5D1 = 4
且
= 2 ( D n −2 −5D n −3 ) = ⋯= 2
n −1
( D 2 −5 D 1 ) = 2 n
D2 − 2 D1 = 25
Dn − 2 D
2
= 5( D n −1 −2 D n − 2 )
要证明这一定理,需证明两点 一是有解 要证明这一定理 需证明两点.一是有解 需证明两点 一是有解, 二是解惟一,为 二是解惟一 为
xj =
Dj D
( j = 1,2, ⋯ , n )
欲证
xj =
Dj D
( j = 1,2, ⋯ , n )
是解,只需证明等式 是解 只需证明等式
Dn D2 D1 a11 + a12 + ⋯ + a1 n = b1 D D D 个式子成立.整理上式 等n个式子成立 整理上式 得: 个式子成立 整理上式,得
0 = Dn +1 =
a11 a12 ⋯ a1n b1 a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ an1 an2 ⋯ ann
b1 a12 a11 ⋯ a1n
+⋯+
b1 b2 − a11 ⋮
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2n + ⋮ ⋯ ⋮
bn an2 ⋯ ann
b1 a11 ⋯ a1,n−1 b2 a21 ⋯ a2,n−1 ⋮ ⋯ ⋮ an1 ⋯ an,n−1
定理1 定理 若方程组的系数行列式
a11 a 21 ⋮ a n1 a12 a 22 ⋯ a1 n ⋯ a2n
D=
⋮ ⋯ ⋮ a n 2 ⋯ a nn
≠0
则方程组有惟一解， 则方程组有惟一解，且表示为
Dn D1 D2 x1 = , x2 = ,⋯ , x n = D D D
其中
a11 ⋯ a1( j −1) b1 a1( j +1) ⋯ a1n Dj = ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ an1 ⋯ an( j−1) bn an( j +1) ⋯ ann
3
( a − 4) 2 ( a − 4) a−4 1
3
1 D= a −1 ( a − 1) ( a − 1) 1 = a−4 ( a − 4) ( a − 4)
2 3 2 3
1 a−2 ( a − 2) ( a − 2) 1 a−3 ( a − 3) ( a − 3)
2 3 2 3
1 a−3 ( a − 3) ( a − 3) 1 a−2 ( a − 2) ( a − 2)
a11 ⋯ a1( j −1) a1 j x j a1( j +1) ⋯ a1n ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ an1 ⋯ an( j−1) anj x j an( j+1) ⋯ ann
= Dj
bi = ai1 x1 + ⋯ + aij x j + ⋯ + ain xn
(i =1,2,⋯, n)
定理1 定理 * 若线性方程组的系数行列式不为 则方程组有惟一解. 零,则方程组有惟一解 则方程组有惟一解 方程组
8 1 27 64
1 4 16 64
3
= (1 − 2)(3 − 2)( 4 − 2)(3 − 1)( 4 − 1)( 4 − 3) = −12
( a − 1) 2 ( a − 1) D= a −1 1
3
( a − 2) 2 ( a − 2) a−2 1
( a − 3) 2 ( a − 3) a−3 1
∗
A = ⋱
∗ = AE = A A A
一个很重 要的式子
AA = A A = A E
∗
∗
例.范德蒙行列式 1 a1 2 a1 Dn = ⋮
n −1 a1
1 a2 2 a2 ⋮
n −1 a2
1 a3 2 a3 ⋮
n −1 a3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
1 an 2 an ⋮
2a 22 − 1 ⋯
≠0
⋯ 2a nn − 1
故方程组有惟一零解。 故方程组有惟一零解。 行列式练习： 行列式练习： 1. 2
3 ⋰
5 ⋱ = 5 3 5 2 ⋰ ⋱ 5 ⋰
3
⋱ D2 n = ⋰ 3 2 3 3 2
⋱ 2
2
列加到第n列 … 第n+1列加到第 列,… 列加到第 列加到第1列 第2n列加到第 列. 列加到第
2 −1 中x 4和x3的系数，常数项 1 x
行列式的 定义
设A、B为n阶方阵，且A2 = E，B 2 = E，A | + | B |= 0 | 证：A + B |= 0 |
练习：设A为n阶方阵，AA = E，A |= −1， | 证：A + E |= 0 |
T
设多项式f ( x) = a0 + a1 x + ⋯ an x n , 证明：若f ( x)有n + 1个互异零点，则f ( x) ≡ 0
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯⋯⋯⋯ a n1 x1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a nn x n = bn
与二,三元线性方程组类似 元方 与二 三元线性方程组类似,n元方 三元线性方程组类似 程组也可用行列式表示. 程组也可用行列式表示