江苏省海安如皋-度第一学期高二数学期末调研考试卷 苏教版

江苏省海安如皋2006-2007学年度第一学期高二数学期末调研考试
卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页. 全卷满分160分，考试时间120分钟。

本试卷部分试题标有“文”、“理”字样，分别是选修历史、物理考生的必做题。

第I 卷(选择题，共50分)
注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必在答题卡的相应栏目内写上自己的姓名、准考证号、考试科目，并用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3. 考试结束，将答题卡和第II 卷一并交回。

一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数x 及其方差S 2
如下表所示，则 选送参加决赛的最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
2．如图，将一个长与宽不等的长方形水平放置，长方形对角线将其分成四个区域，在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动，对于指针停留的可能性, 下列说法正确的是 A ．一样大 B ．蓝白区域大 C ．红黄区域大 D ．由指针转动圈数确定
3．已知真命题“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．以原点为顶点，椭圆C ：22
143
x y +=的左准线为准线的抛物线交椭圆C 的右准线于A ，B
两点，则AB 等于 ( ) A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
5．(理) 正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,AB C D 的中点，则11A B 与平面1A EF 所
S ←1
While S <10 S ←S +3 M ←2S +3 End while Print M
成角的正切值为
A ．2 B
．1 D
(文) 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线 的离心率为
A.5或
54 B
或5
3
6. 函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x '在(,)a b 内的图象如图所示，则函数
()f x 在开区间(,)a b 内极值点的个数为
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．已知32()26f x x x a =-+(a 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么在[－2，2]上f (x )的最
小值是
A ．－37
B ．－11
C ．－29
D ．－5 8．(理)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点
E 在A 1C 1上，1114
1
C A E A =
且AE =1xAA yAB + z AD +，则
A ．111,22x y z ===，
B ．11,1
22x y z ===， C ．4141,1===z y x ， D ．2
1
31,1===z y x ，
(文) 同时投掷大小不同的两颗骰子，所得点数之和是5的概率是 A.
14 B. 16 C. 19
D.112 9. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果M 为
A ．17
B ．19
C ．21
D ．23
10．已知F 1和F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，
并且12PF PF ⊥, 12e e 和分别是椭圆和双曲线的离心率，则有
A .22
12
2e e += B. 22
12
4e e +≥ C .
2212
11
2e e += D. 122e e +≥
2006～2007学年度第一学期期末调研考试
高 二 数 学 试 卷
第II 卷(非选择题，共110分)
注意事项：
1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填在题中的横线上．
11．(理)曲线πcos (0)2
y x x =≤≤与坐标轴所围图形的面积是 ．
(文)已知函数()sin ln f x x x =+，则()f x '= ．
12．以椭圆22169144
x y +
=1的右焦点为圆心，且与双曲线22
916x y -=1的渐近线相切的圆的方程 为 ．
13．(理)已知12z =-，则复数36(1i)z -= ． (文)某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生
中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为 ． 14．某徒工加工外形完全一样的甲、乙两种零件. 他加工的5个甲种零件中有2个次品，2 个乙种零件中有1个次品，现从这7个零件中随机抽取2个，则能查到甲种零件的次品
的概率为 （结果用分数表示）.
15．
(理) 已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(0，7，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，
则实数λ= ．
(文) 曲线4y x =上的点到直线4200x y --=的距离的最小值为 ． 16．坐标平面上有相异两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA 、PB 的斜率之积为定值m ，
则点P 的轨迹可能在以下那些曲线上：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线． 答： (写出你认为正确的所有曲线的序号)．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分15分)
为检查某工厂所产8万台电扇的质量,抽查了其中20台的无故障连续使用时限如下：
248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283
(1)完成下面的频率分布表,并在给出的坐标系中作出频率分布直方图． (2)估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会超过280小时． (3)用组中值估计样本的平均无故障连续使用时限．
解：(1)
(2) (3)
A
E
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
18．(本小题满分15分)
一个口袋内装有大小相同的2个白球和3个黑球． (1)从中一次摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球同时是黑球的概率； (3)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．
19．(本小题满分16分)
(理) 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
中， E 为AB 的中点．
(1)求AD 和B 1C 所成的角；
(2)证明：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E －
B 1
C －
D 的余弦．
(文) 如下左图是抛物线型拱桥，设水面宽AB =18m ，拱顶离水面的距离是8m ，一货船在水
面上的横断面为矩形CDEF ．
(1)以拱顶为坐标原点，建立如下右图所示的直角坐标系，若矩形的长CD =9m ，那么矩形的高DE 不能超过多少米才能使船通过拱桥？ (2)求矩形CDEF 面积S 的“临界值”M (即当
S
M 时，适当调整矩形的长和宽，船能通过
拱桥；而当S >M 时，无论怎样调整矩形的 长和宽，船都不能通过拱桥)．
20．(本小题满分16分)
已知定点A 、B 间的距离为2，以B 为圆心作半径为
P 为圆上一点，线段AP 的垂直平分线l 与直线PB 交于点M ，当P 在
圆周上运动时点M 的轨迹记为曲线C ．
(1)建立适当的坐标系，求曲线C 的方程，并说明它是什么样的曲线；
(2)试判断l 与曲线C 的位置关系，并加以证明．
21．(本小题满分18分)
已知函数()f x =
2ax
x b
+，在x ＝1处取得极值2． (1)求函数()f x 的解析式；
(2)m 满足什么条件时，区间(,21)m m +为函数()f x 的单调增区间？ (3)设直线l 为曲线()f x =2
ax
x b
+的切线，求直线l 的斜率的取值范围．
小时)
[参考答案]
一、选择题：(每题5分，共50分)
二、填空题：(每题5分，共30分) 11．(理)1 (文)1cos x x
+ 12．(x －5)2+y 2
=16 13．(理)8i (文)192 14．11
21
15．(理) －1 (文16．①②④⑤
三、解答题： 17．(本小题满分15分) (1)
………3分
…………………6分
(2)8(0.300.100.05) 3.6⨯++=万. …………………9分 ` 答：估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限会超过280小时. ………10分 (3)(1900.052100.052300.12500.152700.22900.3x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
3100.13300.05)267+⨯+⨯=(小时). (14)
分
答：样本的平均无故障连续使用时限为267小时． …………………15分 18．(本小题满分15分)
(1)记“一次摸出两个球，两球颜色恰好颜色不同”为事件A ，
摸出两个球的基本事件共有10种，其中两球为一白一黑的事件有6种．…………3分 6
()0.610
P A ∴=
=.
答：从中一次摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率是0.6． …………5分 (2)记“从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，两球同时是黑球”为事件B , 有放回地摸出两个球的基本事件共有25种，其中两球为黑球的事件有9种. …8分
9
()25
P B ∴=
. 答：从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球为黑球的概率是
9
25
． ……10分 (3)记“从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，两球颜色恰好颜色不同”为事件C ，
有放回地摸出两个球的基本事件共有25种，其中两球为一白一黑的事件有12种．
………………13分 12
()0.4825
P C ∴=
=.
答：从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率是0.48．
………………15分 19．(本小题满分16分)
(理)(解法一)(1)正方体中，//AD BC ，∴AD 与1B C 所成的角为1B CB ∠． …………2分
145,B CB AD ∠=∴和1B C 所成的角为45． ………………4分
(2)取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连结BF , EG , GF ．
CD ⊥平面11,BCC B DC BF ∴⊥．
又11,,BF B C DC B C C BF ⊥=∴⊥平面1B CD ． …………………6分
11
//,//,//22
GF CD BE CD BE GF ∴，
∴四边形BFGE 是平行四边形，//.BF GE ∴
EG ∴⊥平面B 1CD ． …………………9分
又EG ⊂平面EB 1D ，
∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD ． …………………10分
(3)连结EF ．11,//,.CD B C GF CD GF B C ⊥∴⊥ 又EG ⊥平面B 1CD ，1,EF B C ∴⊥
EFG ∴∠为二面角1E B C D --的平面角． …………………13分
设正方体的棱长为a ，则在EFG ∆中，
A
C A 1
1,,cos 2GF GF a EF EFG EF =
=∴∠==． ……………………15分 ∴二面角1E B C D --
………………………16分 (解法二)不妨设正方体的棱长为2个长度单位，且设1,,.DA DC DD ===i j k 以,,i j k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. (1)
1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2),D A C B
1(2,0,0),(2,0,2),DA CB ∴== ………………3分
1
11cos ,||||2DA CB DA CB DA CB ⋅〈〉==⋅⨯
∴ AD 与1B C 所成的角为45． ………………5分
(2)(方法1)取B 1D 的中点F ，连结EF ． (1,1,1),(2,1,0),F E
1(1,0,1),(0,2,0),0,0,EF DC EF DC EF CB ∴=-=∴⋅=⋅=
…………………7分
1,EF CD EF CB ∴⊥⊥．CD 与1CB 相交，EF ∴⊥平面1B CD ．…………………9分
又EF ⊂平面1,EB D ∴平面1EB D ⊥平面1B CD ． …………………10分 (方法2)1(0,1,2)EB =，(2,1,0)ED =--.
设平面1EB D 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10,
0,
EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即20,
2220y z y x z x y +=⎧⇒=-=-⎨
--=⎩
，不妨设x =z =1,则1(1,2,1)=-n . …………………7分 同理，平面B 1CD 的法向量2(1,0,1)=-n . …………………8分 ∵n 1·n 2=1－1=0， ……………………9分
∴平面1EB D ⊥平面B 1CD ． …………………10分
(3)设平面B 1CD 的法向量(1,,)a b =m ，
由1(1,,)(0,2,0)20,(1,,)(2,0,2)220,DC a b a CB a b b ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩m m 解得0,1,(1,0,1).a b ==-∴=-m …………12分 设平面1EB C 的法向量(1,,)c d =-n ，
由1(1,,)(2,1,0)20,(1,,)(2,0,2)220,EC c d c CB c d d ⎧⋅=-⋅-=+=⎪⎨⋅=-⋅=-+=⎪⎩n
n 解得2,1,(1,2,1).
c d =-=∴=--n ……14分 cos ,||||⋅∴〈〉=
==⋅m n m n m n …………………
15分
,〈〉m n 和二面角1E B C D --互补，∴二面角1E B C D -- ………16分 (文)(1)设抛物线方程为22(0)x py p =->，由题可知B (9，－8)， ………2分
解得8116
p =
, ∴抛物线方程为2818x y =-. ………………4分
当9
2
x =
时，2y =-， 6DE ∴=. ………………6分 故当矩形的高DE 不超过6米时才能使船通过拱桥. ………………7分
(2)设2
8(,)81
E x x -
，则282,881CD x DE x ==- (0<x<9),
2238816
282(8)16818181
S CD DE x x x x x x ∴=⋅=-
=-=-. ………………10分 2
161627
S x '∴=-
. ………………11分 令2
161627
S x '∴=-
=0 )x ∴=负值舍去. ………………13分
…………15分
故当x =S 取得最大值
即S 的最大值M 为 …………… 16分
20．(本小题满分16分)
(1)以AB 中点为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
则A (－1,0)，B (1,0). ……………1分 设M (x , y ),由题意：|MP |=|MA |, |BP |MB |+|MA …………3分 故曲线C 是以A 、B 为焦点，长轴长为
……………………5分
其方程为x 2
+2y 2
=2. ……………………7分 (2)直线l 与曲线C 的位置关系是相切. …………………8分 证明: 由(1)知曲线C 方程为x 2
+2y 2
=2， 设P (m , n )，则P 在⊙B 上，故(m －1)2
+n 2
=8，
即m 2
+n 2
=7+2m . ………………9分 当P 、A 、B 共线时，直线l 的方程为x =±2，显然结论成立. ……………………10分
当P 、A 、B 不共线时，直线l 的方程为：11
()22
n m m y x n +--=--, 整理得，13.m m
y x n n
++=-
+ ……………………11分 把直线l 的方程代入曲线C 方程得：22
132()2m m x x n n
+++-
+=， 整理得22222[2(1)]4(1)(3)2(3)20.n m x m m x m n ++-++++-= …………………13分 222222222[4(1)(3)]4[2(1)][2(3)2]8[(3)2(1)]m m n m m n n m n m ∆=++-+++-=-+--+ 2228[27]0.n m n m =---++= ……………………15分
∴直线l 与曲线C 相切. ……………………16分
(说明：以A 或B 为原点建系，可参照得分.)
(另证)在直线l 上任取一点M'，连结M'A,M'B,M'C ， ……………………9分 由垂直平分线的性质得||||M'A M'P =， ……………………11分
∴||||||||||M'A M'B M'P M'B PB ==+≥=当且仅当M 、M'重合时取“=”号)…14分 ∴直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点M .
结论得证. ……………………16分
21．(本小题满分16分)
(1)已知函数()f x =2ax
x b
+，222
()(2)()()a x b ax x f x x b +-'∴=+. ……………………2分 又函数()f x 在x =1处取得极值2，(1)0,(1)2,f f '=⎧∴⎨=⎩即(1)20,21a b a a b +-=⎧⎪⎨=⎪+⎩4,
1.a b =⎧⇒⎨=⎩ …4分
当a=4,b =1, 222222
4(1)4(2)41()(1)(1)x x x x f x x x +--'∴==++（），
当11()0,1()0x f x x f x ''-<<>><时，时，，()1f x x ∴=在处取得极值.
24()1
x
f x x ∴=
+. ……………6分 (2)由222
4(1)4(2)
()01(1)x x x f x x x +-'=
=⇒=±+. ……………8分
所以2()1
f x x =
+的单调增区间为[1,1]-. ………………10分 若(,21)m m +为函数()f x 的单调增区间，则有1,211,21,m m m m ≥-⎧⎪
+≤⎨⎪+>⎩
解得10.m -<≤
即(1,0]m ∈-时，(,21)m m +为函数()f x 的单调增区间. ………………………12分
(3) 24()1
x
f x x =+，∴222
4(1)4(2)()(1)x x x f x x +-'=+. 设切点为P (x 0, y 0),则直线l 的斜率为
22000222220004(1)821
()4[](1)(1)1
x x k f x x x x +-'===-+++. ……………14分
令
2
01
,(0,1]1
t t x =∈+，则直线l 的斜率24(2),(0,1]k t t t =-∈， 1
[,4]2k ∴∈-. ………………………16分。