(浙教版)浙江省宁波市慈城中学七年级下册课件4.1因式分解(数学)
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Fra bibliotek整式的乘法
特点：由整式积的形式 转化成多项式的形式.
特点: 把多项式的形式转化 为几个整式的积的形式.
把一个整数转化成几个整数的积 整数乘法
2×3×7=42
42=2×3×7 因数分解
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式. 3.要分解到不能再分解为止.
（2）1012 - 99 2
手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状 的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图 形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮 助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
a+b
b b
a
a
a–b
a2–b2= (a+b)(a–b)
（1）若(a+5)(a+2)=a2+7a+10， 则a2+7a+10=( a+5)( a+2).
（2）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m=_-7___,n=_-1_0__.
（3）若x2-6x+m=(x-4)( ), 则m=__8__.
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17
2. 20092+2009能被2010整除吗? 3. 993-99能被100整除吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
x2
2
1 x2
(x
1)2 x
（1）因式分解是对 多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果 仍是几个整式的积的形式；
（3）因式分解与整式乘法 正好相反,它们是互逆的。 (4)等式两边是恒等变换。
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
结论：多项式的因式分解与整式乘 法是两种相反方向的恒等变形，它 们是互逆过程。
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
x－4= ( x 2)( x 2) (x≥0）是因式分解吗？ 因式分解： 把一个多项式转化成几个整式的积的形式。
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
你能举出几个因式分解的 例子吗？
x2-y2
9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y) (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
用什么方法检验 因式分解是否
正确呢？
看等式右边几个整 式相乘的积与左边 的多项式是否相等
练习:
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n) （2）a2-b2=(a+b)(a-b) （3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
特点：由整式积的形式 转化成多项式的形式.
特点: 把多项式的形式转化 为几个整式的积的形式.
把一个整数转化成几个整数的积 整数乘法
2×3×7=42
42=2×3×7 因数分解
一般地，把一个多项式化成几个整 式的积的形式，叫做因式分解，有时我 们也把这一过程叫做分解因式。
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
你能发现这两组等式之 间的联系和区别吗?它们的左 右两边有何特点？
a(a+1)=__a_2+_a_____
a2+a=( a ) ( a+1)
(a+b)(a-b)=__a_2_-_b_2____ a2 - b2= ( a+b) ( a-b )
(a+1)2 = a__2_+_2__a__+_1_
a2+2a+1= ( a+1 ) 2
因式分解与整式乘法是互逆过程. 因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的
乘积的形式. 3.要分解到不能再分解为止.
（2）1012 - 99 2
手工课上，老师给南韩兵同学发下一张如左图形状 的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图 形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮 助南韩兵同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
a+b
b b
a
a
a–b
a2–b2= (a+b)(a–b)
（1）若(a+5)(a+2)=a2+7a+10， 则a2+7a+10=( a+5)( a+2).
（2）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5), 则m=_-7___,n=_-1_0__.
（3）若x2-6x+m=(x-4)( ), 则m=__8__.
拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17
2. 20092+2009能被2010整除吗? 3. 993-99能被100整除吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
x2
2
1 x2
(x
1)2 x
（1）因式分解是对 多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果 仍是几个整式的积的形式；
（3）因式分解与整式乘法 正好相反,它们是互逆的。 (4)等式两边是恒等变换。
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式 乘法它们之间有什么关系吗?
结论：多项式的因式分解与整式乘 法是两种相反方向的恒等变形，它 们是互逆过程。
是
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
（3）4x2 4x 1 (2x 1)2
不是
（4）x2 3x 1 x(x 3) 1
（5） x2 1 x( x 1 ) x
（6） 18a3bc 3a2b6ac
不是 不是 不是
x－4= ( x 2)( x 2) (x≥0）是因式分解吗？ 因式分解： 把一个多项式转化成几个整式的积的形式。
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy (3).(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).2πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2 a a(a 1)
你能举出几个因式分解的 例子吗？
x2-y2
9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
例：检验下列因式分解是否正确？
(1) x2 y-xy 2=xy(x-y) (2) 2x2-1=(2x+1)(2x-1) (3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)
用什么方法检验 因式分解是否
正确呢？
看等式右边几个整 式相乘的积与左边 的多项式是否相等
练习:
1. 检验下列因式分解是否正确. （1）m2+mn=m(m+n) （2）a2-b2=(a+b)(a-b) （3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13