陕西省汉中市城关中学2019年高一数学文期末试卷含解析

陕西省汉中市城关中学2019年高一数学文期末试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵．
【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．
【解答】解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）
将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数
∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）
∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）
∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ
∴n=﹣+kπ
n大于0的最小值等于
故选C．
【点评】本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．
2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．y=x，y=B．y=x，y=C．y=|x|，y=()2 D．y=1，y=x0
参考答案：
A
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们表示同一函数．【解答】解：对于A，函数y=x（x∈R），与y==x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，表示同一函数；
对于B，函数y=x（x∈R），与y==x（x≠0）的定义域不同，不能表示同一函数；
对于C，函数y=|x|（x∈R），与y==x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，不能表示同一函数；
对于D，函数y=1（x∈R），与y=x0=1（x≠0）的定义域不同，不能表示同一函数．
故选：A．
3. 函数的定义域是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．
【详解】令x+（k∈Z），
解得：x（k∈Z），
故函数的定义域为{x|x，k∈Z}
故选：A．
【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
4. 已知函数的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点坐标为.若，则函数的最大值及的值分别是
A．,B．,
C．,D．,
参考答案：
C
略
5. 已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 两圆和的位置关系是( )
．相切．相交．内
含．外离
参考答案：
B
7. 若，是方程3＋6＋2＋1＝0的两根，则实数的值为（）
A．－B．C．－或D．参考答案：
A
略
8. 下列函数中有2个零点的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 不查表、不使用计算器判断这三个数的大小关系是
A．B．
C．D．
参考答案：
D
10. 方程的一个根位于区间（）
A．(1，)B．(，2) C．(0，) D．(，1)
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】方程的根转化为函数的零点，利用零点判定定理求解即可．
【解答】解：方程的根，就是f（x）=2x﹣x2﹣的零点，
由f（）=﹣﹣≈2.828﹣2.75＞0，
f（2）=4﹣4﹣＜0，
可知f（）f（2）＜0．
故选：B．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数有最小值，则a的取值范围是______．
参考答案：
1＜a＜2
令，
（1）当时，函数单调减少，而函数没有最大值，则函数没有最小值；
（2）当时，函数单调增加，当且仅当时，函数
有最小值，因此，可得：
综上，
12. 工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系现已知该厂1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为万件.参考答案：
1.75
略
13. 设直线与圆相交于两点，且弦的长为
，则．
参考答案：
-1或3
14. 函数的定义域为．
参考答案：
15. 已知正数a，b满足，则的最小值是__________．
参考答案：
【分析】
由已知可得，，从而，利用基本不等式即可求解．【详解】∵正数，满足，
∴，
则，
当且仅当且即，，时取得最小值．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是进行1的代换．16. 已知集合，，若，则
的取值范围______________
参考答案：
【分析】
分类讨论：B＝?，△＜0，解得即可．若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得即可．若B＝{1，
2}，可得，此方程组无解．
【详解】1°B＝?，△＝8a+24＜0，解得a＜﹣3．
2°若B＝{1}或{2}，则△＝0，解得a＝﹣3，此时B＝{2}，符合题意．
3°若B＝{1，2}，∴，此方程组无解．
综上：a≤﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
故填（﹣∞，﹣3]
【点睛】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．
17. 在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知,．
（1）当a=1时，求A∩B和A∪B；
（2）若，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：（1）时，，
故，．
（2）当时，，则；
当时，，则，由，
得或解得或，
综上可知，a的取值范围是．
19. 某商场经营一批进价为12元/个的小商品.在4天的试销中，对此商品的单价x（元）与相应的日销量y（个）作了统计，其数据如右：(1)能否找到一种函数，使它反映关于的函数关系？若能，写出函数解析式；（提示：可根据表格中的数据描点后观察，再从一次函数，二次函数，指数函数，对数函数等中选择）
(2)设经营此商品的日销售利润为(元)，求关于的函数解析式，并指出当此商品的销售价每个为多少元时，才能使日销售利润取最大值？最大值是多少？
参考答案：
略
20. 汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；
50辆，其中有A类轿车10辆．（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
参考答案：
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．
【分析】（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿
车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得=，
∴n=2000，
∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．
（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，
用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
（A1，A2），（A1B1），（A1B2），
（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），
（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，
事件E包含的基本事件有：
（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，
故P（E）=，
即所求概率为．
（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．
设D表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，
∴P（D）=，即所求概率为．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．
21. （14分）已知函数有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b 的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．
参考答案：
考点：函数单调性的性质；函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．
分析：（1）根据题设条件知=4，由此可知b=4．
（2）由∈[1，2]，知当x=时，函数f（x）=x+取得最小值2．再由c的取值判断函数的最大值和最小值．
（3）设0＜x1＜x2，g（x2）﹣g（x1）
=．由此入手进行单调性的讨论．解答：（1）由已知得=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴∈[1，2]，
于是，当x=时，函数f（x）=x+取得最小值2．
f（1）﹣f（2）=，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+；
当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）设0＜x1＜x2，g（x2）﹣g（x1）
=．
当＜x1＜x2时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在[，+∞）上是增函数；当0＜x1＜x2＜时，g（x2）＞g（x1），函数g（x）在（0，]上是减函数．当n是奇数时，g（x）是奇函数，
函数g（x）在（﹣∞，﹣]上是增函数，在[﹣，0）上是减函数．
当n是偶数时，g（x）是偶函数，
函数g（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在[﹣，0]上是增函数．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解．
22. （1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列.
参考答案：
（1）解：因为｛c n＋1－pc n｝是等比数列，
故有：（c n＋1－pc n）2＝（c n＋2－pc n＋1）（c n－pc n－1），将c n＝2n＋3n代入上式，得：
［2n＋1＋3n＋1－p（2n＋3n）］2＝［2n＋2＋3n＋2－p（2n＋1＋3n＋1）］·［2n＋3n－p （2n－1＋3n－1）］，
即［（2－p）2n＋（3－p）3n］2
＝［（2－p）2n＋1＋（3－p）3n＋1］［（2－p）2n－1＋（3－p）3n－1］，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n＝0，解得p=2或p=3.
（2）证明：设｛a n｝、｛b n｝的公比分别为p、q，p≠q，c n=a n+b n.
为证｛c n｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3.
事实上，c22＝（a1p＋b1q）2＝a12p2＋b12q2＋2a1b1pq，
c1·c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝a12p2＋b12q2＋a1b1（p2＋q2），
由于p≠q，p2＋q2＞2pq，又a1、b1不为零，因此c22≠c1·c3，故｛c n｝不是等比数列.。