基于数学理解性学习的定理教学研究——关于“平面向量基本定理”的教学及思考
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. A题l.l可见Ri，熟gh练t并s 不R一es定e能rv自e然d.达到理解，片面强调机械
记忆、模仿训练及复杂技巧无益于定理本质和蕴涵的数 学思想的理解，徒然增加了学习的负担，而不理解的知 识是难以记忆的，更说不上掌握和灵活应用了.数学知 识只有被深刻理解，才具有迁移与应用的活性，才能成
式化成类似于Sn=A·2+A·22+A·23+…+A2n的结构就可以 同 才 能 作 差 ， 所 以 必 须 要 错 开 ， 即
用等比数列求和公式了.那如何把系数化成相同呢？ 因 为每一项的系数成等差数列， 根据等差数列的定义，后 一项和前一项的差都是同一个常数公差.但每一项的次 数是不一样的，因此前后两项无法直接相减，若要相减， 次数必须一样.
的角度进行分析.从整体上看，这个数列求和与等比数 第三项作差了，依次类推，这就相当于在原来的数列求
列求和非常接近， 但显然不能直接用等比数列求和公 和式子的两端同乘一个公比2， 即2Sn=22+2·23+3·24+…+
式，因为每一项前面的系数不一样.如果能够把求和公 n2n+1 ②.接下去把①、②两式子作差，因为只有次数相
数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基 础上，建立新知识的个人心理表征，并不断完善和发展 头脑中的数学知识网络，同时能将纳入知识网络中的新 知识灵活地加以提取和应用.数学理解性学习是指学生 在理解基础上的数学学习，它不仅能够将新知识与已有 知识联系起来，并在原有知识网络的基础上积极有效地 纳入新知识从而构建一个更为完整、 丰富的知识网络， 而且能将新知识网络中的知识、方法、思想等灵活地迁 移与应用.因此，数学理解性学习是一个目标指向明确 的、不断建构复杂心理联系的具有灵活迁移性的学习过 程.
经过以上分析， 基本上已经确定了解题的基本框
通过这个问题使学生进一步感悟错位相减法的数
架，就是把各项系数化成一致，转化为等比数列进行求 学思想：错位的目的是为了能够相减，而相减的目的是
和.而要实现系数一致，首先必须实现次数一二项的次数一样，
. A积l极l 参R与ig、师ht生s有R效e交se互r、v学e生d.自主建构、理解不断加深
的高效课堂. 下面笔者以参加市优质课评比获奖的一节课“平面
向量基本定理”为例，谈谈基于数学理解性学习的定理 教学的一些思路及粗浅的体会.
（一）内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻 的几何背景，是沟通代数、几何与三角函数，解决几何问 题的有力工具；同时，向量还有着极其丰富的实际背景， 蕴涵了丰富的数学思想，在数学和物理学中具有广泛应 用.平面向量基本定理指出平面内任一向量都可表示为 两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量 的始点放在一起，那么平面内任意一点都可以由平面内 的一个点及两个不共线向量来表示，这是引入平面向量 基本定理的重要原因.另外，平面向量基本定理很容易 迁移类比到空间向量基本定理，因此教学的重要性不言 而喻. （二）教学过程简介 1.创设情境，自然引入新课 物理中学习了力与速度的分解，如图1，放在斜面上 的物体受到的重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力F1 和垂直于斜面的压力F2，即G=F1+F2；飞机起飞时的速度
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高中版
2016 年 6 月
二、基于数学理解性学习的定理教学设计
定理教学的主要任务有：了解定理背景、明确定理 的结构、掌握定理的证法、明确定理的应用、了解有关定 理之间的内在联系并建立定理体系. 为有效完成任务， 在定理教学中教师要重视学生的理解程度，运用系统方 法对各种课程资源进行有机整合，促进学生的理解性学 习，使学生理解数学定理产生的深刻背景和逐步形成的 过程，体会其中的思想方法，领悟定理本质及丰富内涵 并能熟练甚至是创造性地进行应用.具体方法是，教师 先不直接给出相关定理，而是利用其丰富的现实生活背 景提出与之有关联的一系列问题，或者将其还原为一个 学生已经熟知的数学问题，创设最接近学生发展区的问 题情境，使学生通过有效的师生交流，在解决数学问题 的过程中自然得出定理进而掌握定理.显然，在这种教 学方式下， 学生自主探索定理产生的背景及蕴涵的思 想，亲身经历定理的发生、发展过程，并深刻体验直观感 知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建 构等思维历程.其结果必然是一个教师启发引导、学生
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1Sn=2+2·22+3·23+…+n2n，
作差后原来的求和式子
2Sn=22+2·23+…+（n-1）2n+n2n+1.
就 转 化 为 与 等 比 数 列 求 和 有 关 的 问 题 了 ， 即 -Sn =
2+22+2·23+…+2n-n2n+1，接下去问题就容易解决了.
等比
教材 教法
教学导航
2016 年 6 月
基于数学理解性学习的定理教学研究*
— ——关于“平面向量基本定理”的教学及思考
筅福建省连江第一中学 李 锋 林富春 林友枝
定理教学是高中数学教学的重要内容，《普通高中 数学课程标准（实验）》指出，教学要努力揭示数学定理
为支撑学生今后发展的有效资源.因此，关注学生理解、 数学理解性学习的定理教学研究意义重大.
的发展过程和本质，通过典型例子的分析和学生自主探 索活动， 使学生理解定理产生的背景和逐步形成的过
一、关于数学理解性学习的基本认识
程，体会蕴涵在其中的思想，追寻数学发展的历史足迹. 然而实际教学中，一些教师常常忽视定理的形成过程而 在应用上“浓墨重彩”，认为只要多加训练使学生熟练便 自然能理解所学定理.李士琦教授对这种“孰能生巧”的 古训提出质疑，他在《熟能生巧吗？ 》一文中，研究了熟能 生巧与深刻理解的关系，提出理解与操作训练的关系问
综上所述，数学推导证明的方法不在于多，而在于
就可以和第二项作差，同理，第二项乘以公比2就可以和 “精”，在乎“自然”，在乎融会贯通. F
*本 文 系 福 建 省 连 江 县2015年 度 教 育 科 研 课 题 “基 于 数 学 理 解 性 学 习 的 概 念 教 学 研 究 ”（立 项 编 号 ：LJJKXB15-002）的 研 究 成果.
记忆、模仿训练及复杂技巧无益于定理本质和蕴涵的数 学思想的理解，徒然增加了学习的负担，而不理解的知 识是难以记忆的，更说不上掌握和灵活应用了.数学知 识只有被深刻理解，才具有迁移与应用的活性，才能成
式化成类似于Sn=A·2+A·22+A·23+…+A2n的结构就可以 同 才 能 作 差 ， 所 以 必 须 要 错 开 ， 即
用等比数列求和公式了.那如何把系数化成相同呢？ 因 为每一项的系数成等差数列， 根据等差数列的定义，后 一项和前一项的差都是同一个常数公差.但每一项的次 数是不一样的，因此前后两项无法直接相减，若要相减， 次数必须一样.
的角度进行分析.从整体上看，这个数列求和与等比数 第三项作差了，依次类推，这就相当于在原来的数列求
列求和非常接近， 但显然不能直接用等比数列求和公 和式子的两端同乘一个公比2， 即2Sn=22+2·23+3·24+…+
式，因为每一项前面的系数不一样.如果能够把求和公 n2n+1 ②.接下去把①、②两式子作差，因为只有次数相
数学理解就是指学生在已有数学知识和经验的基 础上，建立新知识的个人心理表征，并不断完善和发展 头脑中的数学知识网络，同时能将纳入知识网络中的新 知识灵活地加以提取和应用.数学理解性学习是指学生 在理解基础上的数学学习，它不仅能够将新知识与已有 知识联系起来，并在原有知识网络的基础上积极有效地 纳入新知识从而构建一个更为完整、 丰富的知识网络， 而且能将新知识网络中的知识、方法、思想等灵活地迁 移与应用.因此，数学理解性学习是一个目标指向明确 的、不断建构复杂心理联系的具有灵活迁移性的学习过 程.
经过以上分析， 基本上已经确定了解题的基本框
通过这个问题使学生进一步感悟错位相减法的数
架，就是把各项系数化成一致，转化为等比数列进行求 学思想：错位的目的是为了能够相减，而相减的目的是
和.而要实现系数一致，首先必须实现次数一二项的次数一样，
. A积l极l 参R与ig、师ht生s有R效e交se互r、v学e生d.自主建构、理解不断加深
的高效课堂. 下面笔者以参加市优质课评比获奖的一节课“平面
向量基本定理”为例，谈谈基于数学理解性学习的定理 教学的一些思路及粗浅的体会.
（一）内容解析 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻 的几何背景，是沟通代数、几何与三角函数，解决几何问 题的有力工具；同时，向量还有着极其丰富的实际背景， 蕴涵了丰富的数学思想，在数学和物理学中具有广泛应 用.平面向量基本定理指出平面内任一向量都可表示为 两个不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量 的始点放在一起，那么平面内任意一点都可以由平面内 的一个点及两个不共线向量来表示，这是引入平面向量 基本定理的重要原因.另外，平面向量基本定理很容易 迁移类比到空间向量基本定理，因此教学的重要性不言 而喻. （二）教学过程简介 1.创设情境，自然引入新课 物理中学习了力与速度的分解，如图1，放在斜面上 的物体受到的重力G可分解为使物体沿斜面下滑的力F1 和垂直于斜面的压力F2，即G=F1+F2；飞机起飞时的速度
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高中版
2016 年 6 月
二、基于数学理解性学习的定理教学设计
定理教学的主要任务有：了解定理背景、明确定理 的结构、掌握定理的证法、明确定理的应用、了解有关定 理之间的内在联系并建立定理体系. 为有效完成任务， 在定理教学中教师要重视学生的理解程度，运用系统方 法对各种课程资源进行有机整合，促进学生的理解性学 习，使学生理解数学定理产生的深刻背景和逐步形成的 过程，体会其中的思想方法，领悟定理本质及丰富内涵 并能熟练甚至是创造性地进行应用.具体方法是，教师 先不直接给出相关定理，而是利用其丰富的现实生活背 景提出与之有关联的一系列问题，或者将其还原为一个 学生已经熟知的数学问题，创设最接近学生发展区的问 题情境，使学生通过有效的师生交流，在解决数学问题 的过程中自然得出定理进而掌握定理.显然，在这种教 学方式下， 学生自主探索定理产生的背景及蕴涵的思 想，亲身经历定理的发生、发展过程，并深刻体验直观感 知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建 构等思维历程.其结果必然是一个教师启发引导、学生
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1Sn=2+2·22+3·23+…+n2n，
作差后原来的求和式子
2Sn=22+2·23+…+（n-1）2n+n2n+1.
就 转 化 为 与 等 比 数 列 求 和 有 关 的 问 题 了 ， 即 -Sn =
2+22+2·23+…+2n-n2n+1，接下去问题就容易解决了.
等比
教材 教法
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2016 年 6 月
基于数学理解性学习的定理教学研究*
— ——关于“平面向量基本定理”的教学及思考
筅福建省连江第一中学 李 锋 林富春 林友枝
定理教学是高中数学教学的重要内容，《普通高中 数学课程标准（实验）》指出，教学要努力揭示数学定理
为支撑学生今后发展的有效资源.因此，关注学生理解、 数学理解性学习的定理教学研究意义重大.
的发展过程和本质，通过典型例子的分析和学生自主探 索活动， 使学生理解定理产生的背景和逐步形成的过
一、关于数学理解性学习的基本认识
程，体会蕴涵在其中的思想，追寻数学发展的历史足迹. 然而实际教学中，一些教师常常忽视定理的形成过程而 在应用上“浓墨重彩”，认为只要多加训练使学生熟练便 自然能理解所学定理.李士琦教授对这种“孰能生巧”的 古训提出质疑，他在《熟能生巧吗？ 》一文中，研究了熟能 生巧与深刻理解的关系，提出理解与操作训练的关系问
综上所述，数学推导证明的方法不在于多，而在于
就可以和第二项作差，同理，第二项乘以公比2就可以和 “精”，在乎“自然”，在乎融会贯通. F
*本 文 系 福 建 省 连 江 县2015年 度 教 育 科 研 课 题 “基 于 数 学 理 解 性 学 习 的 概 念 教 学 研 究 ”（立 项 编 号 ：LJJKXB15-002）的 研 究 成果.