北京第三十九中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习(含解析)

一、选择题
1．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10B
解析：B
【分析】 通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得=BC MB MC -，即可得到答案．
【详解】
解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒
∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒
∴AMB ∠=MDC ∠
∵AM DM =
∴AMB MDC △≌△
∴
AB MC =,MB CD =
∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =
∴=1046BC MB MC -=-=
故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
2．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222 A
解析：A
【分析】 先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，
∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，
∵∠O=30°，
∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，
∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，
∴∠O=∠OA 1B 1=30°，
∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，
在Rt △A 2A 1B 2中，
∵∠A 1A 2B 2=30°，
∴A 2B 2=2A 1B 2=2，
同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，
∴202020202021A B B △的边长=22019，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
3．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒B
解析：B
【分析】 根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．
【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，
∴∠B=∠C=50︒，
∵AD AE =，
∴∠AED=∠ADE=70︒，
∵∠AED=∠C+∠CDE ，
∴CDE ∠=20︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）
A ．不变
B ．一直变小
C ．先变大后变小
D ．先变小后变大D
解析：D
【分析】 先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得
120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得
BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】 ABC 是等边三角形，
60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，
120EBD DCF ∴∠=∠=︒，
DF AD =，
CAD F ∴∠=∠，
又6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒⎧⎨∠+∠=∠=︒⎩， BAD CDF ∴∠=∠，
DE AD =，
BAD E ∴∠=∠，
E CD
F ∴∠=∠，
在BDE 和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BDE CFD AAS ∴≅，
BE CD ∴=，
则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，
在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，
∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
5．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）
A ．80︒
B ．60︒
C ．50︒
D ．20︒B 解析：B
【分析】
分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．
【详解】
当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，
当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，
∴∠B=180°-80°-80°=20°，
当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，
∴∠B=∠A=80°，
综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．
观察各选项可知∠B 不可能是60°．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键． 6．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①②③④C
解析：C
【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．
【详解】
解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE ＝∠CEF ，
∴∠AEF ＝∠AFE ，
∴AE ＝AF ，故①正确，
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
AE AF AB AG =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，
∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，
∴CE ＝AF ，故③正确；
∵AE ＝AF ，
∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，
∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；
故选C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度 A ．25或60
B ．40或60
C ．25或40
D ．40C
解析：C
【分析】
当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．
【详解】
当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．
此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．
当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想．8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
9．如果等腰三角形两边长分别是8cm和4cm，那么它的周长（）
A．8cm B．20cm C．16cm或20cm D．16cm B
解析：B
【分析】
解决本题要注意分为两种情况4cm为底或8cm为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
【详解】
解：∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和8cm，
∴此题有两种情况：
①4cm为底边，那么8cm就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，
②8底边，那么4cm是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的
10．已知等边△ABC的边长为6，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作
EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）
A．1 B．2 C．3 D．4D
解析：D
【分析】
设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到
∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，依次表示出BF、CF、CD、AE、AD，然后根据AD+BD=AB列方程即可求出x的值．
【详解】
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴∠BFD=∠ADE=∠CEF=30°，
∴BF=2x，
∴CF=6-2x，
∴CE=2CF=12-4x，
∴AE=6-CE=4x-6，
∴AD=2AE=8x-12，
∵AD+BD=AB，
∴8x-12+x=6，
∴x=2，
∴AD=8x-12=16-12=4．
故选：D．
本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．
【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出
最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题
解析：【分析】
根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出
PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．
【详解】
ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，
则E 与C 关于直线AD 对称，
5AE AC ==，
∴1358BE AB AE =-=-=，
如图,连接PC ，
由题意得PC PE =，
∴12PB PE PB PC BC ，
当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，
∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．
故答案为:20．
【点睛】
本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
12．如图在钝角△ABC 中，已知∠BAC=135°，边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点D 、
E ，连接AD 、AE ，则∠DAE=_____
90°【分析】根据等腰三角形的
性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：连接DAEA 如图∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=180°-135°=45°∵DF 是AB 的垂直平分线EG 是AC 的垂直平
解析：90°
【分析】
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接DA 、EA ，如图，
∵∠BAC=135°，
∴∠B+∠C=180°-135°=45°，
∵DF 是AB 的垂直平分线，EG 是AC 的垂直平分线，
∴DA=DB ，EA=EC ，
∴∠B=∠DAB ，∠C=∠EAC ，
∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°，
∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°．
故答案为：90°．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2
解析：90°，45°，135°
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA
为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO作为腰时，有两种情况，
①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，此时，顶角度数为：90°．
综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．14．如图，在Rt ABC中，BAC90︒
∠=，AB2
=，M为边BC上的点，连接AM．如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________．
【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP
＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2
解析：4 3
【分析】
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．
【详解】
如图，设点B的对应点为N，由题意得：
∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，
则MP＝MQ，
设MP＝MQ=x，
∵AN＝NC，
∴AC＝2AN＝4；
∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
∴1
2AB•AC＝
1
2
AB•MQ＋
1
2
AC•MP，
∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝4
3
，
故答案为4
3
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
15．如图，等边△ABC的边长为4，点D在边AC上，AD＝1．
（1）△ABC的周长等于_____；
（2）线段PQ在边BA上运动，PQ＝1，BQ＞BP，连接QD，PC，当四边形PCDQ的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC，QD，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
见解析过点C作CE∥AB且CE=1作点D关于AB的对称点
F连接EF交AB于一点为Q在AB上BQ之间截取PQ=1连接CPDQ则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C作CE∥AB，且CE=1，作点D关于AB的对称点F，连接EF交AB于一点为Q，在AB上BQ之间截取PQ=1，连接CP、DQ，则四边形PCDQ为所求的周长最小的四边形．
【详解】
（1）△ABC 的周长等于4312⨯=，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
16．如图，在ABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ，在点D 从B 向C 运动过程中，如果ADE 是等腰三角形，则BDA ∠的度数是____________
110°或80°【分析】根据等腰三角形的性质先
求出∠BAC 的度数然后分3种情况：①AD ＝AE 时②AD ＝ED 时③当AE ＝DE 时分别求解即可【详解】∵在△ABC 中AB ＝AC ∠B ＝40°∴∠B ＝∠C=40 解析：110°或80°
【分析】
根据等腰三角形的性质，先求出∠BAC 的度数，然后分3种情况：①AD ＝AE 时，②AD ＝ED 时，③当AE ＝DE 时，分别求解，即可．
【详解】
∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝40°，
∴∠B ＝∠C=40°
∴∠BAC ＝100°，
①AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝40°，
∴∠DAE ＝100°，此时，点D 与点B 重合，不符合题意舍去，
②AD ＝ED 时，∠DAE ＝∠DEA ，
∴∠DAE ＝12
（180°−40°）＝70°，
∴∠BAD ＝∠BAC−∠DAE ＝100°−70°＝30°，
∴∠BDA ＝180°−∠B−∠BAD ＝110°，
③当AE ＝DE 时，∠DAE ＝∠ADE ＝40°，
∴∠BAD ＝100°−40°＝60°，
∴∠BDA ＝180°−40°−60°＝80°，
综上所述：∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，
故答案是：110°或80°
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理的理解和掌握，解本题的关键是分类讨论，是一道基础题目．
17．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1
解析：25
【分析】
分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
【详解】
解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25； 当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意． 故答案为：25
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 18．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．
50【分析】作M 关于OB 的
对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点
解析：50
【分析】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时
OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN
++最小，即MP PQ QN M N '
'++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，
∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22
QPN OQP αβ∠=
︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴
11(180)25(180)22
αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．
10°【分析】设∠B＝∠C＝x∠CDE＝y分别表示出∠DAE构
建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B＝∠C＝x∠EDC＝y∵AD＝AE∴∠ADE ＝∠AED＝x＋y∵∠DAE＝180°−2（x＋y）＝
解析：10°
【分析】
设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解．
【详解】
解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x＋y，
∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x，
∴2y＝20 °，
∴y＝10 °，
∴∠CDE＝10 °．
故答案为：10°
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
20．△ABC中，∠A=50°，当∠B=____________时，△ABC是等腰三角形．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角∠B＝∠A时③∠A是底角∠B＝∠A时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A是顶角∠B＝（180°−∠A）÷
解析：50°或80°或65°
【分析】
由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，∠B＝∠A 时，③∠A是底角，∠B＝∠A时，利用三角形的内角和进行求解．
【详解】
①∠A是顶角，∠B＝（180°−∠A）÷2＝65°；
②∠A是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是底角，∠A＝∠C＝50°，则∠B＝180°−50°×2＝80°，
∴当∠B的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．
三、解答题
21．如图，△ABC 是边长为12cm 的等边三角形，动点M 、N 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．
（1）若点M 的运动速度是2cm/s ，点N 的运动速度是4cm/s ，当N 到达点C 时，M 、N 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当t=2时，判断△BMN 的形状，并说明理由； （2）当它们的速度都是2cm/s ，当点M 到达点B 时，M 、N 两点停止运动，设点M 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，△MBN 是直角三角形？
解析：（1）△BMN 是等边三角形，见解析；（2）当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．
【分析】
（1）先由等边三角形的性质解得，当t=2时，AM =4，BN=8，继而证明BM=BN ，再根据等边三角形的判定解题即可；
（2）若△MBN 是直角三角形，则∠BNM=90°或∠BMN=90°，根据直角三角形含30°角的性质列方程解题即可．
【详解】
解：（1）△BMN 是等边三角形
当t=2时，AM =4，BN=8，
∵△ABC 是等边三角形且边长是12
∴BM=12-4=8，∠B=60°
∴BM=BN
∴△BMN 是等边三角形；
（2）△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t
①当∠BNM=90°时，∠B=60°
∴∠BMN=30° ∴12
BN BM = ∴12(122)2
t t =-
∴t=2
②当∠BMN=90°时，∠B=60°
∴∠BNM=30° ∴12BM BN = ∴112222t t -=
⨯ ∴t=4
综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形．
【点睛】
本题考查直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、几何动点与一元一次方程等知识，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．如图，已知：射线AM 是△ABC 的外角∠NAC 的平分线．
（1）作BC 的垂直平分线PF ，交射线AM 于点P ，交边BC 于点F ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）过点P 作PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，请补全图形并证明BD ＝CE ．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用基本作图作BC 的垂直平分线即可；
（2）先根据几何语言画出对应几何图形，再连接PB 、PC ，根据线段垂直平分线的性质得到PB ＝PC ，根据角平分线的性质得PD ＝PE ，则可判断Rt △BDP ≌Rt △CEP ，从而得到BD ＝CE ．
【详解】
解：（1）如图，PF 为所作；
（2）证明：如图，
连接PB 、PC ，如图，
∵PF 垂直平分BC ，
∴PB ＝PC ，
∵AM 是△ABC 的外角∠NAC 的平分线，PD ⊥BA ，PE ⊥AC ，
∴PD ＝PE ，
在Rt △BDP 和Rt △CEP 中，
PB PC PD PE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △BDP ≌Rt △CEP （HL ），
∴BD ＝CE ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
23．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且 BD CE =．
（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；
A ．DF EF =
B ． BF CF =
C ．ABE AC
D ∠=∠
D ．BCD CB
E ∠=∠
E ． ADC AEB ∠=∠
（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．
解析：（1）,C E ；（2）见解析
【分析】
（1）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；
（2）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解．
【详解】
解：（1）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠
在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△CEF
∴BF CF =
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，
∴∠BDC=∠CEB ：
在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDF CEF AAS ∴∆≅∆
BF CF ∴=
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
而其余选项均无法证明△ABC 为等腰三角形
故答案为：C ；E
（2）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠
在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△CEF
∴BF CF =
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，
∴∠BDC=∠CEB ：
在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BDF CEF AAS ∴∆≅∆
BF CF ∴=
FBC FCB ∴∠=∠
ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠
即A ABC CB =∠∠
AB AC ∴=
ABC ∆∴是等腰三角形
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质和判定，掌握AAS 定理证明三角形全等是解题关键．
24．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？
（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．
解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403秒． 【分析】
（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】
解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，
如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，
∵三角形APQ 是等边三角形，
,AP AQ ∴=
∴102t t =-，解得103t =
， ∴点P 、Q 运动103
秒后，可得到等边三角形APQ ．
（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，
102x x +=，解得：10x =．
∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．
（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，
如图②，假设APQ 是等腰三角形，
∴AP AQ =，
∴APQ AQP ∠=∠，
∴APC AQB ∠=∠，
∵ACB △是等边三角形，
∴C B ∠=∠，
在ACP △和ABQ △中，
,,
,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ACP △≌ABQ △，
∴CP BQ =，
设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，
∴ 10302y y -=-， 解得：403
y =， P 的最长运动时间为
2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403
＜15， ∴ 403y =
符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为
403
秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．
25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CAP 和CBQ △都是等边三角形，BQ 和CP 交于点H ，求证：BQ CP ⊥．
解析：见解析
【分析】
由已知条件证得∠BHC=90°即可得到解答．
【详解】
∵CAP 和CBQ △都是等边三角形；
∴60ACP CBQ ∠=∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，
∴30BCP ACB ACP ∠=∠-∠=︒
在BCH 中，18090BHC BCH CBH ∠=︒-∠-∠=︒
∴BQ CP ⊥
【点睛】
本题考查等边三角形和直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形、直角三角形的性质并灵活运用是解题关键．
26．如图，在ABC 中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．
（1）求证：DBC ECB △△≌；
（2）求证：OD OE =．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由“AAS”即可证明△BDC ≌△CEB ；
（2）由△BDC ≌△CEB ，推出BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，得到OB=OC ，即可证明结论．
【详解】
（1）∵CD AB ⊥，BE AC ⊥，
∴∠BDC=∠BEC=90︒，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
在△BDC 和△CEB 中，
90BDC BEC ABC ACB BC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△CEB （AAS ）；
（2）∵△BDC ≌△CEB ，
∴CD=BE ，∠BCD=∠CBE ，
∴OB=OC ，
∴OD=OE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，关键是利用AAS 证明△BDC ≌△CEB ． 27．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．
（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．
（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．
①求证：BD AE =；
②求点G 的坐标．
（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．
解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,
3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．
【分析】
（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；
（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；
②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明
AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；
（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得
45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．
【详解】
（1）269||0a a a b -++-=
2(3)||0a a b ∴-+-=
3,3a b a ∴===
(0,3)A ∴，(3,0)B ，
(3,0)C -
,AO OB CO AO ∴==
90AOB AOC ∠=∠=︒
45ACO ABO ∴∠=∠=︒
90CAB ∴∠=︒
()AOC AOB SAS ∴≅
AC AB ∴=
ABC ∴为等腰直角三角形，
故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；
（2）①BD l ⊥，CE l ⊥
90BDA AEC ∴∠=∠=︒
90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒
BAD ACE ∴∠=∠
AC AB =
AEC BDA ∴≌(AAS)，
∴BD AE =．
②
AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠
45CAO ABO ∠=∠=︒
GAE CBD ∴∠=∠，
设CF 交y 轴于点H
EF DC ⊥
90CFG ∴∠=︒
90FGH FHG ∴∠+∠=︒
90COH ∠=︒
90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴
CHO FHG ∠=∠
HGE OCH ∴∠=∠
又∵AE BD =
∴AGE BCD ≌△△(AAS)
∴6AG BC ==
又∵3AO =，
∴3OG =
∴点(0,3)G -．
（3）AP AN PM =+．证明过程如下：
在AP 上截取AH AN =，连接MH ，
设NMO α∠=，
45AMN ∠=︒
45AMO α∴∠=︒+，
∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，
又∵//MN PQ
∴QPO NMO α∠=∠=，
∵PQ 平分APO ∠
∴2APO α∠=
∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-
∴NAM HAM ∠=∠
又∵AN AH =，AM AM =
∴
AMN AMH ≌(SAS)
∴45AMH AMN ∠=∠=︒
∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-
∴PMH PHM ∠=∠
∴PH PM =
∴AP AH PH AN PM =+=+．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
28．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．
解析：见解析
【分析】
利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．
【详解】
证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，
EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，
BE CE ∴=，
EF AF ⊥，EG AC ⊥，
90BFE CGE ∴∠=∠=︒，
在Rt BEF 和Rt CEG △中，
BE CE EF EG =⎧⎨=⎩
Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．。