2025届广东省东莞市寮步宏伟初级中学九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

2025届广东省东莞市寮步宏伟初级中学九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）代数式在实数范围内有意义，则a 的取值范围是（）A ．0a <B ．0a >C ．0a ≤D ．0a ≥2、（4分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME BC ⊥于,E MF CD ⊥于F ，则EF 的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．13、（4分）下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线垂直且互相平分；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等的菱形是正方形；
⑤邻边相等的矩形是正方形.其中正确的是()
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、（4分）要使二次根式有意义，则x 的取值范围是（）
A ．．
B ．.
C ．．
D ．．
5、（4分）在平面直角坐标系中，点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限6、（4分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC ．若CD=3,BC+AB=16,则△ABC 的面积为()A ．16B ．18C ．24D ．327、（4分）若式子
x 的取值范围是
()A ．0x ≥B ．0x <C ．2x >D ．2x ≥8、（4分）下列命题的逆命题不正确的是()A ．若22a b =，则a b =B ．两直线平行，内错角相等C ．等腰三角形的两个底角相等D ．对顶角相等二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4=_____．10、（4分）如果多边形的每个内角都等于150︒，则它的边数为______.11、（4分）某个“清凉小屋”自动售货机出售、、A B C 三种饮料.、、A B C 三种饮料的单价分别是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶.工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A 饮料的数量（单位：瓶）是B 饮料数量的2倍，B 饮料的数量（单位：瓶）是C 饮料数量的2倍.某个周六，、、A B C 三种饮料的上货量分别比一个工作日的上货量增加了50%，60%，50%，且全部售出.但是由于软件bug ，发生了一起错单（即消费者按某种饮料1瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日
的销售收入多了403元.则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是
__________元.
12、（4分）在平面直角坐标系xOy 中，直线()20y kx k =+≠与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且2AOB S =△，则k 的值为_____________．
13、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，CF ＝8cm ，
则线段DE＝________cm．
三、解答题（本大题共5
个小题，共48分）
14、
（12分）因式分解：
（1）()()
2
22
a a a
-+
-；（2）22
363
x xy y
-+.
15、（8分）计算
)
+3)(2-3)
16、（8分）解不等式组：
122
21
32
x x
x x
-≤-
⎧
⎪
-
⎨
>
⎪⎩
,并把解集在数轴上表示出来.
17、（10分）如图，经过点A（6，0）的直线y＝kx﹣3与直线y＝﹣x交于点B，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动．
（1）求点B的坐标；
（2）当△OPB是直角三角形时，求点P运动的时间；
（3）当BP平分△OAB的面积时，直线BP与y轴交于点D，求线段BD的长．
18、（10分）如图，正方形ABCD，AB=4，点M是边BC的中点，点E是边AB上的一个
动点，作EG ⊥AM 交AM 于点G ，EG 的延长线交线段CD 于点F ．（1）如图①，当点E 与点B 重合时，求证：BM =CF ；（2）设BE =x ，梯形AEFD 的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出定义域．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是CD 、BC 的中点，AE 与DF 交于点P ，连接CP ，则CP ＝_____．20、（4分）以下是小明化简分式2221(1)21x x x x x x --÷+++的过程．解：原式222221()21x x x x x x x x x x +-=-÷++++①22
2221
1x x x x x x x x -+++=⨯+-②
2
2(2)(1)(1)(1)x x x x x x --+=+-③
21x
x -=-④
（1）小明的解答过程在第_______步开始出错；
（2）请你帮助小明写出正确的解答过程，并计算当2x =时分式的值．
21、（4分）已知点(m －1，y 1)，(m －3，y 2)是反比例函数y ＝m x (m <0)图象上的两点，则y 1____y 2(填“>”“＝”或“<”)．22、（4分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x 1，x 2，若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|+2，则m 的值为_____23、（4分）今年我市有5万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个调查中样本容量是______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）甲、乙两台包装机同时包装500g 的糖果，从中各抽出10袋，测得实际质量(g)如下：甲：501505508508494508506508507499；乙：508507505498507506508507507506.（1）分别计算两组数据的平均数(结果四舍五入保留整数)和方差；（2）哪台包装机包装糖果的质量比较稳定(方差公式：()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦)25、（10分）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ．(1)求证：OP=OQ ；(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）．设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．
26、（12分）（1）分解因式：211
28x -；（2）利用分解因式简便计算：
22
2019201940402020-⨯+
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】直接根据二次根式被开方数为非负数解题即可.【详解】由题意得：0a -≥，∴0a ≤.故选：C.本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.2、B 【解析】由正方形的性质得BC=CD=4，∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°，再证出四边形四边形MECF 是矩形，得出CE=MF=DF ，即当点M 为BD 的中点时EF 的值最小.【详解】在边长为4cm 的正方形ABCD 中，BC=CD=4∠C=90°，∠CBD=∠CDB=45°ME BC ⊥于,E MF CD ⊥于F ∴∠MEC=∠MFC=∠MFD=90°∴四边形MECF 是矩形，△MDF 为等腰三角形∴CE=MF=DF 设DF=x,则CE=x CF=CD-DF=4-x
在RT △CEF 中，由勾股定理得
EF ==
()2220x -≥，当且仅当x-2=0时，即x=2时，()222x -有最小值0
故选B。

本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.
3、B
【解析】
利用正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质进行依次判断可求解．【详解】
解：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故①错误；
②矩形的对角线相等且互相平分，故②错误；
③对角线相等的四边形不一定是矩形，故③错误；
④对角线相等的菱形是正方形，故④正确，
⑤邻边相等的矩形是正方形，故⑤正确
故选B．
本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质和判定解决问题是本题的关键．
4、C
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】
解：根据题意得：x-3≥0，
解得，．
故选：C．
本题考查二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
5、D
【解析】
根据各象限内点的坐标特征知点P(1,-5)在第四象限.
故选D.
6、C
【解析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD ，再根据S △ABC =S △BCD +S △ABD 列式计算即可得解．【详解】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠ACB=90°，BD 平分∠ABC ，∴DE=CD=3，∴S △ABC =S △BCD +S △ABD =12BC ⋅CD+12AB ⋅DE=12(BC+AB)×3∵BC+AB=16，∴△ABC 的面积=12×16×3=24.故选C.本题考查角平分线的性质定理，作辅助线是解题关键.7、D 【解析】由二次根式的性质可以得到x-1≥0，由此即可求解.【详解】解：依题意得：x-1≥0，∴x ≥1．故选：D ．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题.8、D
【解析】
先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A ．若a 2=b 2，则a=b 的逆命题是若a=b ，则a 2=b 2，正确；B ．两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，正确；C ．等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两底角相等的三角形是等腰三角形，正确；D ．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；故选：D ．本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．【详解】＝．故答案为此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10、1【解析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角的度数即可得到边数．【详解】∵多边形的每一个内角都等于150°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣150°=30°，∴边数n =360°÷30°=1．故答案为：1．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．11、760
【解析】
设工作日期间C 饮料数量为x 瓶，则B 饮料数量为2x 瓶，A 饮料数量为4x 瓶，工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x=19x 元，周六C 饮料数量为1.5x 瓶，则B 饮料数量为3.2x
瓶，A 饮料数量为6x 瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.1x 元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x-19x=10.1x 元，由于发生一起错单，收入的差为403元，因此，403加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，所以这起错单发生在A 、B 饮料上（A 、B 一瓶的差价为1元），且是消费者付A 饮料的钱，取走的是B 饮料；于是可以列方程求出C 的数量，进而求出工作日期间一天的销售收入．【详解】设工作日期间C 饮料数量为x 瓶，则B 饮料数量为2x 瓶，A 饮料数量为4x 瓶，工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x=19x 元，周六C 饮料数量为1.5x 瓶，则B 饮料数量为3.2x 瓶，A 饮料数量为6x 瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x=29.1x 元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x-19x=10.1x 元，由于发生一起错单，收入的差为403元，因此，403加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，所以这起错单发生在A 、B 饮料上（A 、B 一瓶的差价为1元），且是消费者付A 饮料的钱，取走的是B 饮料；于是有：10.1x-（3－2）=403解得：x=40.工作日期间一天的销售收入为：19×40=760元.故答案为：760.考查销售过程中的数量之间的关系，以及方程的整数解得问题，通过探索、推理、验证得到答案．12、±1【解析】先根据解析式确定点A 、B 的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案.
【详解】
令()20y kx k =+≠中y=0得x=-2k ，令x=0得y=2，∴点A （-2k ，0），点B （0,2），∴OA=2
k -，OB=2，
∵2AOB S =△，∴12222k ⋅-⨯=，解得k=±1，故答案为：±1.此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解OA 、OB 的长度是解题的关键.13、8【解析】分析：由已知条件易得CF 是Rt △ABC 斜边上的中线，DE 是Rt △ABC 的中位线，由此可得AB=2CF=2DE ，从而可得DE=CF=8cm.详解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、E 、F 分别是三边的中点，∴AB=2CF ，AB=2DE ，∴DE=CF=8（cm ）.故答案为：8.点睛：熟记：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线等于第三边的一半”是解答本题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)（a-1）(a+1)；(1)3（x-y ）1．【解析】（1）直接提取公因式（a-1）即可；
（1）先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】
（1）a （a-1）+1(a-1)，
=（a-1）(a+1)；
（1）3x 1-6xy+3y 1
=3(x 1-1xy+y 1)
=3(x-y)1.本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15、
(1)；(2)-1．【解析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．【详解】(1)原式=+=
；(2)原式=8-9=-1．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．16、-3＜x ≤1【解析】分别解不等式，在数轴上表示出解集,找出解集的公共部分即可.【详解】1222132x x x x -≤-⎧⎪⎨->⎪⎩①②，解不等式①得：1x ≤，解不等式②得：3
x >-∴原不等式组的解集为-3＜x ≤1
解集在数轴上表示为：
考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.
17、（1）点B 的坐标（2，－2）；（2）当△OPB 是直角三角形时，求点P 运动的时间为2秒或4秒；（3）当BP 平分△OAB 的面积时，线段BD 的长为2．【解析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式，联立直线AB 及OB 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点B 的坐标；（2）由∠BOP=45°可得出∠OPB=90°或∠OBP=90°，①当∠OPB=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出OP 的长，结合点P 的运动速度可求出点P 运动的时间；②当∠OBP=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出OP 的长，结合点P 的运动速度可求出点P 运动的时间．综上，此问得解；（3）由BP 平分△OAB 的面积可得出OP=AP ，进而可得出点P 的坐标，根据点B ，P 的坐标，利用待定系数法可求出直线BP 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，利用勾股定理即可求出BD 的长．【详解】（1）直线y ＝kx ﹣3过点A （1,0
），所以，0＝1k －3，解得：k ＝12，直线AB 为：12y x =－3，132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=-⎩，所以，点B 的坐标（2，－2）（2）∵∠BOP=45°，△OPB 是直角三角形，
∴∠OPB=90°或∠OBP=90°，如图1所示：
①当∠OPB=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，
∴OP=BP=2，
又∵点P 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动，
∴此时点P 的运动时间为2秒；②当∠OBP=90°时，△OPB 为等腰直角三角形，∴OP=2BP=4，又∵点P 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动，∴此时点P 的运动时间为4秒．综上，当△OPB 是直角三角形时，点P 的运动时间为2秒或4秒．（3）∵BP 平分△OAB 的面积，∴S △OBP =S △ABP ，∴OP=AP，∴点P 的坐标为（3，0）．设直线BP 的解析式为y=ax+b（a≠0），将B（2，-2），点P（3，0）代入y=ax+b，得：2230a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得：26a b =⎧⎨=-⎩，∴直线BP 的解析式为y=2x-1．当x=0时，y=2x-1=-1，∴点D 的坐标为（0，-1）．
过点B 作BE⊥y 轴于点E，如图2所示．
∵点B 的坐标为（2，-2），点D 的坐标为（0，-1），
∴BE=2，CE=4，
∴当BP 平分△OAB 的面积时，线段BD 的长为
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是：（1）联立直线AB 及OB 的解析式成方程组，通过解方程组求出点B 的坐标；（2）分∠OPB=90°和∠OBP=90°两种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点P 的运动时间；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出直线BP 的解析式．18、（1）见解析；（2）y 与x 的函数解析式为.【解析】(1)证明△BAM ≌△CBF ，根据全等三角形的性质证明；(2)作EH ⊥CD 于H ，根据全等三角形的性质求出FH ，再根据梯形的面积公式计算即可.【详解】（1）证明：∵GE ⊥AM ，∴∠BAM +∠ABG =90°，又∠CBF +∠ABG =90°，在△BAM 和△CBF 中，∠BAM =∠CBF ，AB =BC ，∠ABM =∠BCF ，∴△BAM ≌△CBF （ASA ），∴BM =CF ；（2）解：作EH ⊥CD 于H ，由（1）得：△BAM ≌△HEF ，∴HF =BM =2，∴DF =4-2-x =2-x ，∴，答：y 与x 的函数解析式为．
故答案为：（1）见解析；（2）y 与x 的函数解析式为.本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5
【解析】由△ADE ≌△DCF 可导出四边形CEPF 对角互补，而CE ＝CF ，于是将△CEP 绕C 点逆时针旋转90°至△CFG ，可得△CPG 是等腰直角三角形，从而PG ＝PF +FG ＝PF +PE ＝CP ，求出PE 和PF 的长度即可求出PC 的长度．【详解】解：如图，作CG ⊥CP 交DF
的延长线于G ．则∠PCF +∠GCF ＝∠PCG ＝90°，∵四边形ABCD 是边长为
2的正方形，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝2，∠
ADC ＝∠DCB ＝90°，∵E 、F
分别为CD 、BC 中点，∴DE ＝CE ＝CF ＝BF ＝1，∴AE ＝DF ∴DP ＝AD DE AE ⋅＝5，∴PE PF ＝5，在△ADE 和△DCF 中：AD DC
ADE DCF DE CF
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△DCF （SAS ），
∴∠AED ＝∠DFC ，
∴∠CEP ＝∠CFG ，
∵∠ECP +∠PCF ＝∠DCB ＝90°，
∴∠ECP ＝∠FCG ，在△ECP 和△
FCG 中：CEP CFG CF CF ECP FCG ∠=∠⎧
⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ECP ≌△
FCG （ASA ），∴CP ＝CG ，EP ＝FG ，∴△PCG 为等腰直角三角形，∴PG ＝PF +FG ＝PF +PE ＝5CP ，∴CP ＝5．故答案为：5．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．20、(1)②；（2）2【解析】根据分式的混合运算法则进行计算即可.【详解】（1）②，应该是2222211x x x x x x x x --++=⨯+-．（2）解：原式=222221
()21x x x x x x x x x x +-=-÷++++222221
1
x x x
x x x x x --++=⨯+-22
2(1)(1)(1)
x x x x x -+=+-1x
x =--．
当2x =时，=21x x --此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.21、>【解析】分析：m ＜0，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.详解：因为m ＜0，所以m －3＜m －1＜0，这两个点都在第二象限内，所以y 2＜y 1，即y 1＞y 2.故答案为＞.点睛：对于反比例函数图象上的几个点，如果知道横坐标去比较纵坐标的大小或知道纵坐标去比较横坐标的大小，通常的做法是：(1)先判断这几个点是否在同一个象限内，如果不在，则判断其正负，然后做出判断；(2)如果在同一个象限内，则可以根据反比例函数的性质来进行解答．22、2【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-2m ≥0，解之即可得出m 的取值范围．由根与系数的关系可得x 1+x 2=6①、x 1•x 2=m+2②，分x 2≥0和x 2＜0可找出3x 1=x 2+2③或3x 1=-x 2+2④，联立①③或①④求出x 1、x 2的值，进而可求出m 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+2＝0有两个实数根x 1，x 2，∴△＝（﹣6）2﹣2（m+2）＝20﹣2m≥0，解得：m≤1，∴m 的取值范围为m≤1．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+2＝0有两个实数根x 1，x 2，
∴x 1+x 2＝6①，x 1•x 2＝m+2②．
∵3x 1＝|x 2|+2，
当x 2≥0时，有3x 1＝x 2+2③，
联立①③解得：x 1＝2，x 2＝2，
∴8＝m+2，m＝2；
当x 2＜0时，有3x 1＝﹣x 2+2④，
联立①④解得：x 1＝﹣2，x 2＝8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m 的值为2．故答案是：2．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系公式：12b x x a +=-，12•c x x a ＝是解题的关键．23、1【解析】根据样本容量的定义：样本中个体的数目称为样本容量，即可求解．【详解】解：这个调查的样本是1名考生的数学成绩，故样本容量是1．故答案为1．本题考查样本容量，难度不大，熟练掌握样本容量的定义是顺利解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）504x ≈甲，x 乙506≈，221.2S =甲，27.7S =乙；（2）乙包装机包装的质量比较稳定.【解析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；（2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．【详解】解：(1)()501505508508494508506508507499x =+++++++++甲10504÷≈，()508507505498507506508507507506x =+++++++++乙10506÷≈；()()()22221
50150450550449950421.210S ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅-=⎣⎦甲，()()()2222
15085065075065065067.710S ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅-=⎣⎦乙；
(2)因为22
S S >甲乙
所以乙包装机包装10袋糖果的质量比较稳定.故答案为：（1）504x ≈甲，x 乙506≈，2
21.2S =甲，2
7.7S =乙；（2）乙包装机包装的质
量比较稳定.
本题考查平均数、方差的计算以及它们的意义，熟练掌握计算公式是解题的关键．25、（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据四边形ABCD 是矩形，得出AD ∥BC ，∠PDO=∠QBO ，再根据O 为BD 的中点得出△POD ≌△QOB ，即可证得OP=OQ ；（2）根据已知条件得出∠A 的度数，再根据AD=8cm ，AB=6cm ，得出BD 和OD 的长，再根据四边形PBQD 是菱形时，利用勾股定理即可求出t 的值，判断出四边形PBQD 是菱形．试题解析：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠PDO=∠QBO ，又因为O 为BD 的中点，所以OB=OD ，在△POD 与△QOB 中，∠PDO=∠QBO ，OB=OD ，∠POD=∠QOB ，所以△POD ≌△QOB ，所以OP=OQ ．（2）解：PD=8-t ，因为四边形PBQD 是菱形，所以PD=BP=8-t ，因为四边形ABCD 是矩形，所以∠A=90°，在Rt △ABP 中，
由勾股定理得：，即，
解得：t=，
即运动时间为秒时，四边形PBQD 是菱形．
第21页，共21页考点：矩形的性质；菱形的性质；全等三角形的判断和性质勾股定理．26、（1）11111222⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x ；（2）1.【解析】（1）先提公因式12，再利用平方差公式进行计算即可（2）运用完全平方公式，将因式因式分解即可【详解】解：（1）原式211124x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11111222x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）原式=20192-2019×2×2020+20202()220192020=-()21=-1=此题考查因式分解的应用，掌握运算法则是解题关键。