2007—海南省三亚市第一中学高二数学第一学期期末考试试题(理科)

2007—2008学年海南省三亚市第一中学高二数学第一学期期末考试
试题（理科）
第Ⅰ卷（共80分）
注意：本试卷可能要用到的公式:
1．方差])()()[(12
22212
----+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x n
s n
2．回归方程bx a y
+=ˆ,其中-
-=-=-
--=--=∑∑x b y a x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i ,1
2
21
一、选择题(每小题5分,共60分) 1．下列说法中错误的是
（ ）
A ．“ ∃ x ∈R, x 2＋2x ＋2≤0”的否定是“对∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋2>0”． B ．“p ∨q ”为真命题，但“p ∧q ”不一定为真命题． C ．“ab>0”是“a>0且b>0”的充要条件．
D ．命题“ 若x 2
=1,则x=1．”的逆否命题是假命题．
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次，则出现两个正面朝上的概率是
（ ）
A ．
2
1
B ．
3
1
C ．
4
1
D ．
8
1 3．抛物线 y 2
= 4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点，P 的横坐标为2，则|PF|= （ ）
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
4．双曲线12
2
=-m
y x 的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （ ）
A ．1
4
-
B ．
1
4
C ．4-
D ．4 5．向量)0,1,1(),1,1,0(-=-=→
→
b a ，则→
a 与→
b 的夹角为
（ ）
A ．︒
90 B ． ︒
60 C ． ︒
45 D ．︒
30
6．为了参加奥运会，对射击运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们
的射击环数的数据如表所示：
请判断：谁参加这项重大比赛更合适 （ ）
A ．甲
B ．乙
C ．甲与乙一样
D ．无法判断
7．焦点在x 轴上的椭圆1222=+y m x 与13
62
2=+y x 有相同的离心率e,则m 的值为（ ） A ．8
B ． 6
C ．3
D ．4
8．右面算法最后输出的结果是（ ） A ．17 B ．19 C ．21 D ．23
9． 对于平面α和直线m 、,n 下列命题中真命题是
（ ）
A ．若,,m m n α⊥⊥则n α∥
B ．若m αα∥,n ∥,则m ∥n
C ．若αα⊥⊂n m ,则m n ⊥
D ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
10．
则线性回归方程bx a y
+=ˆ所表示的直线必经过点
（ ）
A ．（0，0）
B ．（1．5,5）
C ．（4,1．5）
D ．（2,2）
11．某种饮料每箱装6听，其中有2听不合格．现在质检人员从中随机抽出2听，则检测出
不合格产品的概率为 （ ） A ．0．6 B ．0．5 C ．0．4 D ．0．3
12
．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，那么m 的取值范围是
（ ）
A ． (0, 5)
B ． (0, 1)
C ．[1, 5]
D ．[1, 5]
第Ⅱ卷（共70分）
二、填空题(每小题5分,共20分)
13． 某校有教师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中
抽取一个容量为240的样本，则应抽取女学生______人。

14．AB 是过椭圆116
252
2=+y x 左焦点1F 的弦, 2F 为右焦点,则△2ABF 的周长为_________．
15．如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇
形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形 的边长2．在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在 扇形外正方形内的概率为 。

（用分数表 示）
16．已知︒
60的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．若AB=4,AC=6,BD=8,则CD=________．
三、解答题(共70分，其中17题10分，18题10分，19，20，21题12分，22题14分) 17．已知点A （1，-2，0）和向量)12,4,3(-=→
a ，求点B 的坐标，使向量→AB ∥→
a 且同向，
||→AB 等于||→
a 的2倍。

18．过点P(2,-1)作直线L 交椭圆
22
1164
x y +=于A ，B 两点，且P 为AB 的中点，求直线L 的方程．
19．从1,2,3,4,5五个数字中,第一次取出一个数字,记下号码,然后放回,第二次再取出一个
数字,记下号码．
（Ⅰ）两次号码一样的概率
（Ⅱ）两次号码中恰好有一个1的概率 （Ⅲ）两次号码不同的概率
20．为检查某工厂所产8万台电扇的质量,抽查了其中20台的无故障连续使用时限如下： 248 256 232 243 188 268 278 266 289 312 274 296 288 302 295 228 287 217 329 283
（Ⅰ）完成下面（答案卷中）的频率分布表,并在给出的坐标系中作出频率分布直方图． （Ⅱ）估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会超过280小时．
21．已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且
PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦．
22．已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点(1,0)F -与到直线3x =-的距离之和等于4。

（Ⅰ）求动点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）直线l 过点(1,0)M 且交曲线C 于A 、B 两点（A 、B 不重合），点P 满足1
()
2
FP FA FB =+且0EP AB ⋅=，其中点E 的坐标为0(,0)x ，试求x 0的取值范围。

附加题(重点班学生必答．．．．．．．,．普通班学生有余力可答．．．．．．．．．．
) （20分） 设有关于x 的一元二次方程2
2
20x ax b ++=．
（Ⅰ）若a 是从0123，
，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[03]，
任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
参考答案
二．填空题(每小题5分,共20分)
13．__100______ 14．___20_____ 15．__4
4π
-_______ 16____172______
三．解答题(共70分，其中17题10分，18题10分，19，20，21题12分，22题14分) 17．解: ∵→AB ∥→
a
∴存在λ使→AB =λ→
a …………3分 ∴||||||→
→
⋅=a AB λ …………5分 ∴又|AB|=2||→
a
∴λ=2(-2舍去) …………7分 ∴→
AB =（-6,8,24）
∴B 的坐标为(-5,6,24) …………10分
18． 过点P(2,-1)作直线L 交椭圆
22
1164
x y +=于A ，B 两点，且P 为AB 的中点，求直线L 的方程．
设直线的方程为y+1=k(x-2) ………1分
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+
-=+14
16)2(12
2y x x k y 得016)12(4)12(8)41(2
22=-+++-+k x k k x k …5分 设),(),,(2211y x B y x A
则2
2141)
12(8k
k k x x ++=
+ ………7分 由题
441)
12(82=++k k k 解得k=2
1
所以直线方程为2y-x+4=0 …………10分 19． (1)
5
1
…………4分 (2)
25
8
……………4分
小时)
0．0．0．00．0．(3)
5
4
………………4分 20． （I ）
………4分
………4分
（Ⅱ）8(0.300.100.05) 3.6⨯++=万．
答：估计8万台电扇中有3．6万台无故障连续使用时限会超过280小时． ………4分 21． 解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间
直角坐标系，则各点坐标为
A （0，0，0）
B （0，2，0），
C （1，1，0），
D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)2
1． （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP ⊥=⋅==所以故 由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD …4分
又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ． （Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故
………………4分
（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,λ=
..2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x
要使.5
4
,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=⋅-===⋅=N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平
面角．
3
2
.
32
||||),cos(.5
4,530||,530||-
-=⋅=
∴-=⋅==
为故所求的二面角的余弦BN AN BN AN BN AN BN AN …………………4分
22．解：（I ）设点(,)(3)Q x y x >-，由题意有：
34x +，
整理得x y 42-= ]0,3(-∈x
∴动点Q 的轨迹C 为以F （－1，0）为焦点，坐标原点为顶点的抛物线在直线x =－3右侧的部分。

………5分 （Ⅱ）由题意可设直线L 的方程为)1(-=x k y
设),(),,(2211y x B y x A 由⎩⎨⎧-=-=)1(4x k y x
y 得，
0)24(2222=+-+k x k x k ………2分
1,4
22
12
221=-=+x x k k x x ，由题意⎪⎩⎪⎨⎧>+++>++>--0
)3()3(,0)3)(3(04)24(21
21422x x x x k k 解之得
143
2<<k ………2分 由)(2
1
+=可知，点P 为线段AB 的中点，
∴)2
,2(
2
2k k k P --。

由0=⋅可知，EP⊥AB，
∴12
2
2
2
0-=⋅--
k k k x k ，整理得，1220--=k x ∴x 0的取值范围是)3,3
11
(-- ………5分 附加题
解: 解: （Ⅰ）
4
3
129)2,3(),1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1(),0,0()}2,3(),1,3(),0,3(),2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),,2,0(),1,0(),0,0{(=
==ΩP 所以能使方程有实根的有
………10分
（Ⅱ）
⎩⎨⎧≤-≤+⎩⎨⎧≥-≥+∴≥-+∴≥-≤≤≤≤=Ω0
0000))((044}20,30|),{(22b a b a b a b a b a b a b a b a b a 或要使方程有实根，则 ……………10分
画出平面区域(略)可得3
223221
232
=⨯⨯-⨯=P。