(2021年整理)初二数学解题技巧

(完整版)初二数学解题技巧
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（完整版）初二数学解题技巧
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全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到三角形的中线，倍长中线,使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维
模式是全等变换中的“旋转”．
2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段
延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法 适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一"的性质解题，思维模式是全等变换中
的“对折”．
4) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全
等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
5) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”
或“翻转折叠”
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答．
一、
倍长中线(线段）造全等
例1。

已知:如图3所示，AD 为 △ABC 的中线,
求证：AB+AC>2AD.
分析：要证AB+AC>2AD ，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD 〉AD ，所以有：AB+AC+ BD+CD 〉 AD +AD=2AD ，
但它的左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD,连接BE ，CE.
A
B
C
D
E
3
图
A
E
D C
B
3图
例3、如图,△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点,所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
应用:
二、截长补短
例1。

已知:如图1所示, AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4.
求证：BE+CF>EF。

分析：要证BE+CF〉EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF，EF移到同一
个三角形中,而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的
对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明:在DN上截取DN=DB，连接NE，NF A
延长FD 到G , 使DG=FD ， 再连结EG,BG
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC,AD 平分BAC ∠，且AD=BD,求证：CD ⊥AC
证明：
取AB 中点E ，连接DE ∵AD=BD
∴DE ⊥AB,即∠AED=90º【等腰三角形三线合一】 ∵AB=2AC ∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CAD 【AD 平分∠BAC 】 AD=AD
∴⊿AED ≌⊿ACD(SAS ） ∴∠C=∠AED=90º
∴CD ⊥AC
2、如图，AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点
E ，求证；AB ＝AC+BD
在AB 上取点N ，使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ，AE 为公共边，所以三角形CAE 全等三角形EAN
C
D
B
A
C
C
B
A
所以∠ANE=∠ACE 又AC 平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN
BE 为公共边,所以三角形EBN 全等三角形EBD 所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图，已知在ABC 内，0
60BAC ∠=，040C ∠=，P,Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC 相交与M 。

（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180°—∠BAP 且∠APM=180°—∠APB-∠MPC=180°—70°—∠QBC （同位角相等）=180°-70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM
又∵AP 是BAC 的角平分线, ∴∠BAP=∠MAP AP 是公共边
∴△ABP ≌△AMP(角边角）
∴AB=AM,BP=MP
在△MPC 中，∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC 中 ∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP
4、角平分线如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD 分
ABC ∠,
求证： 0180=∠+∠C A
延长BA ，作DF ⊥BA 的延长线，作DE ⊥BC ∵∠1=∠2
∴DE=DF （角分线上的点到角的两边距离相等） ∴在Rt △DFA 与Rt △DEC 中 ｛AD=DC,DF=DE ｝
∴Rt △DFA ≌Rt △DEC(HL ） ∴∠3=∠C
因为∠4+∠3=180° ∴∠4+∠C=180° 即∠A+∠C=180°♢
P
2
1
C
B A
5、如图在△ABC中，AB＞AC,∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证；AB-AC＞PB—PC
延长AC至E，使AE=AB，连结PE.
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用(角边角证很容易吧~）△PCE中，EC〉PE-PC
∵EC=AE—AC，AE=AB
∴EC=AB—AC
又PB=PE
∴PE-PC=PB—PC
∴AB-AC〉PB—PC
应用：
O
E
C
B
A
三、平移变换
例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A 。

E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P .
例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E,且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE.
E
D C
B A
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD ，CE 相交于点O ，求证：OE=OD
在AC 上取点F ，使AF=AE
∵AD 是角A 的平分线
∴角EAO ＝角FAE/
∵AO=AO
∴三角形AEO 与AFO 全等（两边夹角相等）
∴EO=FO ,角AOE ＝角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO＝角FCO
∵角B＝60°
∴角A+角C＝180－60＝120°
∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度
∴角OCF＝180－角AOF—角COD＝180－60－60＝60°
∴角OCF＝角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等（两边夹角相等）
∴CF=CD
∴AC=AF+CF＝AE+CD
即：AE+CD=AC
2、如图，△ABC中,AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。

（1）说明BE=CF的理由;（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.
F
E
D C
B
A 证明：连接BD ，CD DG ⊥BC 于G 且平分BC 所以GD 为BC 垂直平分线
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 BD=CD
角平分线上的点到角两边距离相等
，AD 平分∠BAC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 的延长线于F 所以DE=DF
在RT △BED ，RT △CFD 中 DE=DF
BD=CD
RT △BED ≌RT △CFD （HL) BE=CF
应用：
五、旋转
例1 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度，至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE ，AF=AG ，
E
D
G
F
C B
A
A
所以三角形AEF 全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM ，DN 分别交BC ，CA 于点E ，F.
（1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。

（2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积.
做DP ⊥BC ，垂足为P ，做DQ ⊥AC ，垂足为Q ∵D 为中点，且△ABC 为等腰RT △ABC ∴DP=DQ=½BC=½AC
又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90° ∴△DQF ≌△DPE ∴S △DQF=S △DPE
又∵S 四边形DECF=S 四边形DFCP+S △DPE
∴S 四边形DECF=S 四边形DFCP+S △DQF=½BC*½AC=¼AC ²（AC=BC=定值） ∴四边形DECF 面积不会改变
例3 如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角,使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN,则AMN ∆的周长为 ；
B C
我简单说一下
过D点做DE⊥AB的延长线
然后证明DMN≌DME
(注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）。