北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：函数

2021北京高三数学上学期期末汇编：函数
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•房山区期末）已知函数2log ,0()21,0
x x x f x x >⎧=⎨+⎩，则1(())2f f 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．3 D ．5
2．（2020秋•西城区期末）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么( )
A ．f （2）2=
B ．f （2）2=-
C ．f （2）2>-
D ．f （2）2<-
3．（2020秋•丰台区期末）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意x ，都有()()f x f x -=-；②存在区间D ，()f x 在区间D 上单调递减的函数是( )
A ．sin y x =
B ．3y x =
C ．211y x =+
D ．y lnx =
4．（2020秋•丰台区期末）若函数2,0()2,0
x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，则函数()f x 的值域为( ) A ．[0，1) B ．(-∞，0] C ．(-∞，0)(0⋃，1) D ．(,1)-∞
5．（2020秋•东城区期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )
A ．2x y -=
B ．y lnx =
C ．1y x =
D ．sin y x =
6．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是( )
A ．sin y x =
B ．3y x =
C ．2x y -=
D ．||y ln x =
7．（2020秋•石景山区期末）“ϕπ=”是“函数sin(2)y x ϕ=+为奇函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（2020秋•西城区期末）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得f （c ）g +（c ）0=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P ．
现有三组函数：
①()f x x =，2()g x x =；②()2x f x -=，()x g x e =-；③2()f x x =-，()2x g x =．
其中具有性质P 的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
二．填空题（共5小题）
9．（2020秋•房山区期末）函数(21)2y ln x =++的定义域为 ．
10．（2020秋•石景山区期末）函数()f x lnx =的定义域为 ．
11．（2020秋•东城区期末）函数()f x lnx =的定义域是 ．
12．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()f x ax bx c =++，能说明()f x 既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的一组整数a ，b ，c 的值依次是 ．
13．（2020秋•东城区期末）已知函数[sin ][cos ]()23x x f x =+，[0x ∈，2]π，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：
[1]1=，[0.5]0=，[0.5]1-=-． ①2()3
f π= ； ②若()f x x a >+对任意[0x ∈，2]π都成立，则实数a 的取值范围是 ．
2021北京高三数学上学期期末汇编：函数
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【分析】推导出211()log 122f ==-，从而1(())(1)2f f f =-，由此能求出1(())2
f f 的值． 【解答】解：函数2lo
g ,0()21,0
x x x f x x >⎧=⎨+⎩， 211()log 122
f ∴==-， 113(())(1)2122
f f f -=-=+=． 故选：B ．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】根据题意，由函数的图象可得(2)(1)2f f -<-=，结合函数的奇偶性可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象，(2)(1)2f f -<-=，则有(2)(1)2f f -->--=-，
又由()f x 为奇函数，则f （2）(2)f =--，则有f （2）f >（1）2=-，
故选：C ．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数图象的应用，属于基础题．
3．【分析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．
【解答】解：对于A ，sin y x =为奇函数，满足①，且在区间(2
π，)π上单调递减，满足②，故A 符合题意； 对于B ，3y x =为奇函数，满足①，但在R 上单调递增，不满足②，故B 不符合题意；
对于C ，211
y x =+为偶函数，不满足①，故C 不符合题意； 对于D ，y lnx =为非奇非偶函数，不满足①，故D 不符合题意．
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
4．【分析】根据分段函数()f x 的解析式即可求出每段上()f x 的范围，然后即可得出()f x 的值域．
【解答】解：0x 时，20x -；0x <时，021x <<，
()f x ∴的值域为：(,1)-∞．
故选：D ．
【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计
算能力，属于基础题．
5．【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．
【解答】解：对于A ，2x y -=为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B ，y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意；
对于C ，1y x
=为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于D ，sin y x =为奇函数，由正弦函数的图象可知，sin y x =在区间(0,1)上单调递增，符合题意． 故选：D ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
6．【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．
【解答】解：对于A ，sin y x =是奇函数，但在区间(0,)+∞上不单调，不符合题意；
对于B ，3y x =是奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意；
对于C ，12()2
x x y -==为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D ，||y ln x =为偶函数，不符合题意．
故选：B ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．
7．【分析】函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若函数sin(2)y x φ=+为奇函数，则k φπ=，k Z ∈，
∴ “φπ=”是“函数sin(2)y x φ=+为奇函数的”充分不必要条件．
故选：A ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．
8．【分析】在选项①②③中分别判断方程()()0f x g x +=是否有非零实数解，即可得到答案．
【解答】解：因为()f x x =，2()g x x =，
所以2()()f x g x x x +=+，
则(1)(1)110f g -+-=-+=，符合题意，
故选项①正确；
因为()2x f x -=，()x g x e =-，
所以()()20x x f x g x e -+=+-=， 可得1()02
x x e -=，即(2)1x e =，解得0x =，不符合题意，
故选项②不正确；
因为2()f x x =-，()2x g x =，
所以2()()2x f x g x x +=-+，
则f （2）g +（2）22220=-+=，符合题意，
故选项③正确．
故选：B ．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
二．填空题（共5小题）
9．【分析】根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得：210x +>，解得：12
x >-， 故函数的定义域是1(2
-，)+∞， 故答案为：1(2
-，)+∞． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
10．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：100x x +⎧⎨>⎩
，解得：0x >， 故函数()f x 的定义域是(0,)+∞，
故答案为：(0,)+∞．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．
11．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
100x x -⎧⎨>⎩
，解得：1x ， 故函数的定义域是[1，)+∞，
故答案为：[1，)+∞．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．
12．【分析】根据题意，0a ≠时，函数2()f x ax bx c =++，为二次函数，结合二次函数的性质可得0a <且0b =，据此写出一组符合题意整数即可．
【解答】解：根据题意，0a ≠时，函数2()f x ax bx c =++，为二次函数， 若()f x 是偶函数，则其对称轴02b x a
=-=，则0b =， 又在区间(0,)+∞上单调递减，必有0a <，
综合可得：0a <且0b =，
故满足题意的一组整数a ，b ，c 的值依次是1-，0，1（答案不唯一）．
故答案为：1-，0，1（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于基础题．
13．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[]x 的定义，可得所求值； ②由题意可得[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-对任意[0x ∈，2]π都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[]x 的定义，可得所求范围．
【解答】解：①221[sin ][cos ][]0133224()2332333
f πππ--=+=+=+=； ②若()f x x a >+对任意[0x ∈，2]π都成立，
即为[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-对任意[0x ∈，2]π都成立，
当0x =或2x π=时，()134f x x -=+=或42π-； 当2x π
=时，()21322f x x π
π
-=+-=-；
当x π=时，14()133
f x x ππ-=+-=-； 当32x π=时，1333()12222
f x x ππ-=+-=-； 当02x π
<<时，sin (0,1)x ∈，cos (0,1)x ∈， 可得0023222a ππ+-
=-； 同理可得当
2x ππ<<时，可得014233a ππ-+-=-； 当32x ππ<<时，可得1135323262a ππ--+-=-； 当322x ππ<<时，可得10323222
a ππ-+-=-． 综上可得，a 的取值范围是(-∞，
32]2π-． 故答案为：43；(-∞，32]2
π-． 【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[]x 的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。