2019年高考数学一轮复习课时分层训练50统计图表数据的数字特征用样本估计总体文北师大版20180409320

课时分层训练(五十)统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，x n的平均数
B．x1，x2，…，x n的标准差
C．x1，x2，…，x n的最大值
D．x1，x2，…，x n的中位数
B[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程序，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B．]
2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9­3­11，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) 【导学号：00090330】
图9­3­11
A．45 B．50
C．55 D．60
B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.
∴该班学生人数n＝15
0.3
＝50.]
3．(2017·南昌模拟)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图9­3­12所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是( )
图9­3­12
A．10 B．11
C．12 D．13
C[∵甲组学生成绩的平均数是88，
∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，
∵乙组学生成绩的中位数是89，∴n＝9.
∴m＋n＝12.故选C．]
4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9­3­13中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )
图9­3­13
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
D[对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]
5．(2018·黄冈模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B[∵数据x1，x2，x3，…，x n是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，x n＋1为世界
首富的年收入，则x n ＋1远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，故这n ＋1个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到x n ＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．] 二、填空题
6．(2018·长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．从某地一环保人士某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图9­3­14.根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数约为________．(该年为365天)
图9­3­14
146 [该样本中AQI 大于100的频数是4，频率为2
5，
由此估计该地全年AQI 大于100的频率为2
5
，
估计此地该年AQI 大于100的天数约为365×2
5
＝146.]
7．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________．
16 [已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2
＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2
＝22
×64，所以其标准差为22
×64＝2×8＝16.]
8．(2017·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
【导学号：00090331】
2 [易知x 甲＝90，x 乙＝90.
则s 2甲＝15
[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2
]＝4.
s 2乙＝1
5
[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2
]＝2.]
三、解答题
9．(2017·郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9­3­15所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.
图9­3­15
(1)求出m ，n 的值；
(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2
甲和s 2
乙，并由此分析两组技工的加工水平．
[解] (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝1
5(9＋n ＋10＋11
＋12)＝10， 3分 ∴m ＝3，n ＝8.
5分
(2)s 2甲＝15
[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2
]＝5.2，8分
s 2乙＝1
5
[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2
]＝2，
10分
∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2
乙，
∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.
12分
10．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
图9­3­16
(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月
的人均水费．
[解](1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
3分
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3. 5分
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表
如下：
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝
10.5(元). 12分
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·淮北模拟)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位：℃)制成如图9­3­17所示的茎叶图，已知甲地该月11时的平均气温比乙地该月11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月11时的平均气温的标准差为( )
图9­3­17
A．2 B． 2
C．10 D．10
B[甲地该月11时的气温数据(单位：℃)为28,29,30,30＋m,32；
乙地该月11时的气温数据(单位：℃)为26,28,29,31,31，
则乙地该月11时的平均气温为(26＋28＋29＋31＋31)÷5＝29(℃)，
所以甲地该月11时的平均气温为30 ℃，
故(28＋29＋30＋30＋m＋32)÷5＝30，解得m＝1，则甲地该月11时的平均气温的标准
差为
1
－2＋－2＋0－2＋－2＋－2] 5
＝2，故选B．]
2．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9­3­18所示．
图9­3­18
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
(1)3(2)6 000[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋
0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－
0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.] 3．(2018·武汉模拟)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理制度，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了某年100位居民的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5]，(0.5,1]，…，(4,4.5]分成9组，制成了如图9­3­19所示的频率分布直方图.
【导学号：00090332】
图9­3­19
(1)求a的值；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值； (3)已知平价收费标准为4元/吨，议价收费标准为8元/吨．当x ＝3时，估计该市居民的月平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
[解] (1)由(0.08＋0.16＋a ＋0.40＋0.52＋a ＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a ＝0.30.
(2)∵前6组的频率之和是(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85，
前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.4＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， ∴2.5≤x ＜3，
由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9. (3)设该市居民月均用水量为t 吨，相应的水费为y 元，
则y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4t ，0≤t ≤3，3×4＋t －，3＜t ≤4.5，
即y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
4t ，0≤t ≤3，8t －12，3＜t ≤4.5.
由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如下：
1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元)．。