广东省深圳市高三数学第二次调研考试试题 理(深圳二模)新人教A版

2013年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科）
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
① 体积公式：13
V S h V S h =⋅=⋅柱体锥体，，其中,,V S h 分别是体积、底面积和高； ② 独立性检验中的随机变量：2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()()()()
，其中n a b c d =+++为样本容量．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i 为虚数单位，则1i i
+等于 A ．0 B ．2i
C ．1i +
D ．1i -+ 2．函数
f x =() A ．12(，)
B ．12[，)
C ．12-∞+∞()()，
， D ．12(，] 3．设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“3x y +≥”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
侧（左）视图
俯视图 正（主）视图 （第9题图）
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是
A ．2x y =
B ．sin y x =
C ．2log y x =
D ．||y x x =
5．如果函数sin π02πf x x θθ=+<<()()()的最小正周期为T ，且当2x =时取得最大值，那么
A ．π22T θ==，
B ．1πT θ==，
C ．2πT θ==，
D ．π12T θ==， 6．若抛物线2y ax =的焦点与双曲线22
1124
x y -=的右焦点重合，则a 的值为 A ．4
B ．8
C ．16
D ． 7．设01a b <<<，则下列不等式成立的是
A ．33a b >
B ．11a b <
C ．1b a >
D ．lg 0b a -<()
8．若平面向量b 与34=-()a ，
的夹角是180︒，且||10=b ，则=b A ．34-()，
B ．68-()，
C ．68-()，
D ．86-()，
9．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形，则此几
何体的体积是
A ．20π3
B ．6π
C ．10π3
D ．16π3
10．非空数集{}*123n A a a a a n =∈N ，，，，()中，所有元素的算术平均数记为E A ()，即123n a a a a E A n
++++=()．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ⊆；②E B E A =()()，则称B 为A 的一个“保均值子集”．据此，集合{}12345，，，，的“保均值子集”有
A ．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部
分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答
11．P x y (，)是以41A
()，，16B --()，，32C -()，为顶点的三角形及其内部上的任一点，则43x y -的最大值为 ．
12．下图是用二分法求方程220x -=近似解的程序框图，若输入12120.3x x ε===，，
，则输出的m 是 ．（注：框图中的“＝”，即为“←”或为“：＝”）
13．已知公比为2的等比数列{}n a 中，2581114172013a a a a a a a ++++++=，则该数列前21
项的和21S = ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的
得分．
14．（几何证明选讲）
如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切于点A ，割线PC
与O 相交于点B ，C ，且3PA =
，PC =32AB =
，则AC = ．
15．（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，已知两圆1:2cos C ρθ=和2:2sin C ρθ=，则过两圆圆心的直线的极坐标方程是 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分） B O A （第14题图）
在ABC
∆中，角A B C
、、的对边分别为a b c
、、，已知3
a=，5
b=，7
c=．（1）求角C的大小；
（2）求
π
sin
3
B+
()的值．
17．（本小题满分12分）
2013年3月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化
．．．．海砂
．．的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：
（1）根据表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
（2）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：
18．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC AA ==
，且AC =，
点D 是AB 的中点．
（1）证明：1//AC 平面1B CD ；
（2）证明：平面1ABC ⊥平面1B CD ．
19．（本小题满分14分）
各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--（*n ∈N ），其中n S 为{}n a 前n 项和．
（1）求1a ，2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数m 、n ，使得向量22n a m +=(，)a 与向量53n n a a +=-+(，)b 垂直？说明理由．
20．（本小题满分14分）
如图，椭圆22
22:1 0x y E a b a b +=>>()
的离心率e =，经过椭圆E 的下顶点A 和右焦点F 的直线l 与圆C :222724
x y b +-=()相切． （1）求椭圆E 的方程；
（2）若动点P 、Q 分别在圆C 与椭圆E 上运动，求PQ 取得最大值时点Q 的坐标．
21．（本小题满分14分） 1C 1B 1A A D B
C
（第18题图） （第20题图）
已知函数2ln 120f x x ax a x a =--->()()()．
（1）求函数f x ()的最大值；
（2）求函数f x ()在区间12e a
()，上的零点的个数（e 为自然对数的底数）； （3）设函数y f x =()图象上任意不同的两点为11A
x y (，)、22B x y (，)，线段AB 的中点为00C x y (，)，记直线AB 的斜率为k ，证明：0k f x '>()．。