离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲讲义_耿素云_张立昂ch6
合集下载
离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编
17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得 由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所 以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双 射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的 证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学第2章-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂--ppt课件
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
离散数学第五版第九章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(1)若：G1G2是满射旳，则称为满同态，这时也称
G2是G1旳同态像，记作G1 ~G2 。 (2)若：G1G2是单射旳，则称为单同态。
(3)若：G1G2是双射旳，则称为同构，记作 G1 G。2 (4)若G1=G2，则称是群G旳自同态。
39
9.2 代数系统
例16： 设V=<R+,•>，其中•为一般成法。对任意xR+令 1(x)=|x|， 2(x)=2x, 3(x)=x2, 4(x)=1/x, 5(x)=-x,则分析他们是否为V到V旳同态，假如 是，则分别为何同态。
设和*是S上旳两个可互换旳二元运算,假如对于任意旳
x，yS有
x*(xy)=x
x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如：幂集P(S)上旳和运算满足吸收律。即A,BP(S)
有
A(A B)=A
A(A B)=A
14
9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元旳定义（定义9.6）
设为S上旳二元运算,假如存在 el (或 er)S使得对于任何
（2）当n=2时，则函数f:S×SS为S上旳二元运算。
(x，y)=z
（3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上旳三元运算。
(x，y，z)=t
6
9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一 个数旳相反数、倒数是否为这些集合上旳一元运 算？
例5：在幂集P(S)上，假如要求全集为S，则求集合旳 绝对补运算～是否为P(S)上旳一元运算？
xS都有
el x = x(或 x er =x) 则称 el (或er )是S中有关运算旳一种左幺元(或右幺
元)。若eS有关运算既是左幺元又是右幺元，则称e 为S上有关运算旳幺元。
G2是G1旳同态像，记作G1 ~G2 。 (2)若：G1G2是单射旳，则称为单同态。
(3)若：G1G2是双射旳，则称为同构，记作 G1 G。2 (4)若G1=G2，则称是群G旳自同态。
39
9.2 代数系统
例16： 设V=<R+,•>，其中•为一般成法。对任意xR+令 1(x)=|x|， 2(x)=2x, 3(x)=x2, 4(x)=1/x, 5(x)=-x,则分析他们是否为V到V旳同态，假如 是，则分别为何同态。
设和*是S上旳两个可互换旳二元运算,假如对于任意旳
x，yS有
x*(xy)=x
x(x*y)=x
则称运算*和满足吸收律。 例如：幂集P(S)上旳和运算满足吸收律。即A,BP(S)
有
A(A B)=A
A(A B)=A
14
9.1二元运算及其性质
四、单位元和幺元
1. 幺元旳定义（定义9.6）
设为S上旳二元运算,假如存在 el (或 er)S使得对于任何
（2）当n=2时，则函数f:S×SS为S上旳二元运算。
(x，y)=z
（3）当n=3时，则函数f:S×S×SS为S上旳三元运算。
(x，y，z)=t
6
9.1二元运算及其性质
例4：在整数集合Z、有理数集合Q、实数集合R上，一 个数旳相反数、倒数是否为这些集合上旳一元运 算？
例5：在幂集P(S)上，假如要求全集为S，则求集合旳 绝对补运算～是否为P(S)上旳一元运算？
xS都有
el x = x(或 x er =x) 则称 el (或er )是S中有关运算旳一种左幺元(或右幺
元)。若eS有关运算既是左幺元又是右幺元，则称e 为S上有关运算旳幺元。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
离散数学_高等教育出版社配套PPT课件_屈婉玲_耿素云_张立昂ch6
AB = AB = A
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
广义运算
1. 集合的广义并与广义交 定义6.10 广义并 A = { x | z ( zA xz )} 广义交 A= { x | z ( zA xz )} 实例 {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3} {{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1} {{a}}={a}， {{a}}={a} {a}=a， {a}=a
| A B C |
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
14
6.3 集合恒等式
集合算律 1．只涉及一个运算的算律： 交换律、结合律、幂等律
交换 结合 幂等 AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A AB=BA (AB)C= A(BC) AA=A AB=BA (AB)C =A(BC)
25
基本要求
熟练掌握集合的两种表示法 能够判别元素是否属于给定的集合 能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关 系 熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算） 掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法
26
练习1
1．判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) {} (4) {} (5) { a, b } { a, b, c, {a, b, c}} (6) { a, b } { a, b, c, {a, b}} (7) { a, b} { a, b, {{a, b}}} (8) { a, b} { a, b, {{a,b}}}
注意 和 是不同层次的问题
4
空集、全集和幂集
1．定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 实例： { x | xR x2+1=0 } 定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A， A x (xxA) T (恒真命题) 推论 是惟一的 2. 定义6.5 幂集：P(A)={ x | x A } 实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n. 3. 定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
11
集合的表示法
列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法{ x | P(x) } 如N={ x | x是自然数 } 说明: (1)集合中的元素是确定的. (2)集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (3)集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (4)有时两种方法都适用, 可根据需要选用. 常用集合 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间[a,b],(a,b)等
4
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
5
教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
12
包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
• 参考书1：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张 立昂编,高等教育出版社, 2015年3月第二版;
集合的表示法
列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法{ x | P(x) } 如N={ x | x是自然数 } 说明: (1)集合中的元素是确定的. (2)集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (3)集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (4)有时两种方法都适用, 可根据需要选用. 常用集合 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间[a,b],(a,b)等
4
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
5
教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
12
包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
• 参考书1：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张 立昂编,高等教育出版社, 2015年3月第二版;
离散数学 屈婉玲代数结构PPT课件
(4)AA={{a x b| 4x5≥|0a,∧bxQ} Z}, 运算为普通加法和乘法.
(5)
，运算为普通加法和乘
解法 (2), (4), (5) 不是环第.7为页/共什38么页 ？
(1) 是环, 是整环, 也是域.
(3) 是环, 不是整环和域.
7
环的性质
定理 设<R,+,·> 是环，则 (1) a∈R， a·0 = 0·a = 0 (2) a,b∈R， (a)b = a(b) = ab (3) a,b∈R， (a)(b) = ab (4) a,b,c∈R，a(bc) = abac， (bc)a = baca
格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, ∘>是具有两个二元运算的代数系 统,
若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则
可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗第b19,页a/共∨38页b = a ∘ b.
根据定理,可以给出格的另 19 一个等价定义.
第8页/共38页
8
环中的运算
例 在环中计算 (a+b)3, (ab)2 解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab)=a2baab+b2
第9页/共38页
则 称 < R , + , ·> 是 一 个 环 . 第1页/共38页
1
离散数学第五版第四章(耿素云屈婉玲张立昂编著) ppt课件
证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3}
(AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>}
(A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>}
所以：等式不成立 （3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)
证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3}
(A-B)×(C-D)=
(xAyB) (xAyC)
<x,y>A×B <x,y>A×C
<x,y>(A×B)(A×C) PPT课件
9
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (4)（BC）×A= (B×A)(C×A）
证明： 对于任意的<x,y>
<x,y>（BC）×A
PPT课件
24
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例5：设A={a,b}，R是P(A)上的包含关系， R={<x,y>|x,yP(A)xy}
解：P(A)={,{a},{b},{a,b}} R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>, <{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
PPT课件
16
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。 （1）A×B=A×CB=C 证明：若A=，B={1}，C={2} 则A×B=A×C=，而BC。 所以：命题真假不定
PPT课件
17
7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA
离散数学第4章_高等教育出版社_屈婉玲_
注：A，B是元语言符号，表示任意的合式公式。同时，不同的一阶语言使用不同的非逻辑集合L，但他们 构造合式公式的规则是一样的。一阶逻辑研究一阶语言的一般性质，而不是针对某个特定的一阶语 言。 21
4.2 一阶逻辑公式及其解释
定义4.5 在公式∀ xA和∃x A中，称x为 指导变元，A为量词的辖 域。在∀ x和∃x 的辖域中，x的所有出现都称为 约束出现， A中不是约束出现的其他变项均称为 自由出现。
第四章 一阶逻辑基本概念
命题逻辑具有一定的局限性，例如： 凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以，6能被2整除. 问：如何符号化？
解决方法：引入量词
1
第四章 一阶逻辑基本概念
引入量词，以期达到表达出个体与总体之间的内在联系和数 量关系，这是 一阶逻辑 所研究的内容。
2
4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的3个要素： 1. 个体词：指研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的 客体，一般用小写字母表示。例如：小王，小李，中国， 3 等。特别地，将表示具体或特定的客体的个体词称作 个体常项，抽象或泛指的个体词称为个体变项。 并称个体变项的取值范围为 个体域。如N，R等。 特别 地，宇宙间一切事物组成的个体域称为 全总个体域。
15
4.1 一阶逻辑命题符号化
对于含n元谓词的命题，在符号化时应注意以下几点： （4）命题的符号化形式不惟一。 例4.5（3）
16
第四章 一阶逻辑基本概念
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以，6能被2整除. 问：如何符号化？
(∀x （M(x) → F(x)）) M(6) → F(6)
17
4.2 一阶逻辑公式及其解释
13
类似的，请看课本 例4.3 P57，及 例4.4-4.5