福建省福州市透堡中学2019年高二数学文联考试卷含解析

福建省福州市透堡中学2019年高二数学文联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线kx-y+1=0，当变动时，所有直线都通过定点（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. “”是“角是第一象限的角”的（）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
若“角是第一象限角”，则“”，“若”，则“角是第一象限角或第三象限角”，所以“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件．故选．
3. 函数的最大值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
4. 已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,M是正方形ABCD所在平面内一动点,点E、F 满足，若点M到直线EF与直线BC的距离之比为1:2，则动点M 的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
参考答案：
B
因为，，且正方体的棱长为4，所以，故点到直线距离，即为点到点距离，于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”.在平面内，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，设点的坐标为，则依据题意可得，化简可得，故动点的轨迹是椭圆.
5. 已知，若，则实数的值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
6. 如图，由若干圆点组成如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则则()
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
7. 三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，则该截面的周长为（）
A．16 B．12 C．10 D．8
参考答案：
B
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，交BC于E，连结PE，则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，由AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，能求出该截面的周长．
【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，点P在AC上，
且AP=2PC，过P作四面体的截面，使截面平行于直线AB和CD，
作PH∥CD，交AD于H，过H作HF∥AB，交BD于F，过FE∥CD，
交BC于E，连结PE，
则四边形PEFH是过P作四面体的截面，且截面平行于直线AB和CD，
∵AP=2PC，三棱锥A﹣BCD的所有棱长均为6，
∴PH=EF=，HF=PE=，
∴该截面PEFH的周长为：4+4+2+2=12．
故选：B．
【点评】本题考查截面的周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间培养．
8. 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（）
A． B．
C． D．
A.
参考答案：
D
9. 抛物线x2=2y的焦点坐标为（）
A．B．C．（0，1）D．（1，0）
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，
从而写出焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线x2=2y中，p=1，∴ =，
∵焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，）．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2py 的焦点坐标为
（0，），属基础题．
10. 执行如图所示程序，若P=0.9，则输出n值的二进制表示为（）
A．11（2）B．100（2）C．101（2）D．110（2）
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体：n=1，满足继续循环的条件，S=；
第二次执行循环体：n=2，满足继续循环的条件，S=；
第三次执行循环体：n=3，满足继续循环的条件，S=；
第四次执行循环体：n=4，满足继续循环的条件，S=；
第五次执行循环体：n=5，不满足继续循环的条件，
故输出n值为5，
∵5（10）=101（2），
故选：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率
是．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；等差数列的性质．
【分析】由题意可得，2b=a+c，平方可得4b2=a2+2ac+c2结合b2=a2﹣c2可得关于a，c的二
次方程，然后由及0＜e＜1可求
【解答】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列
∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①
∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0
∵
∴5e2+2e﹣3=0
∵0＜e＜1
∴
故答案为：
12. 若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________.
参考答案：
解析：当时，；
当时，
13. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，为奇函数，时，
，则在区间(4，5)内满足方程的实数x的值为▲．
参考答案：
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，
∴f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)，
∴f(2+x)=-f(-x)=-f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，函数的周期为，
由题意可得：，则，
当时，，由可得，
据此可得原方程的解为：.
14. 在△ABC中，AB＝3，BC＝5，CA＝7，点D是边AC上的点，且AD＝DC，则·＝________.
参考答案：
-
15. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得
∠BDC=45°，则塔AB的高是米．
参考答案：
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】应用题．
【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有，在△BCD中，CD=10，
∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高
【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，
AB=x，
从而有，
在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°
由正弦定理可得，
可得，=
则x=10
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．
16. 已知直线交抛物线于A、B两点，若该抛物线上存在点C,使得为直角，则的取值范围为___________.
参考答案：
略
17. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线方程为，则该双曲线的离心率是▲
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 是否存在最小的正整数t，使得不等式对任何正整数n恒
成立，
证明你的结论。

参考答案：
解析：取（t，n）=(1，1)，(2，2)，(3，3)，
容易验证知t=1，2，3时均不符合要求．………………………(4分)
当t=4时，若n=l，式①显然成立．n≥2，则
…………………………(8分)≤ … (12分)
<
故①式成立。

因此t=4满足对任何正整数n，①式恒成立。

(16)
19. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
表（一）
P()
附：
（1）估计该市居民中，能做到“光盘”行动的居民比例；
（2）判断是否有90％以上的把握认为“该市居民能否做到”光盘”与性别有关？
参考答案：
（1）25%;（2） 3.030>2.706，所以有90%的把握认为.
20. 如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．求双曲线C的方程．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F（c，0），通过，直线OB方程为，直线BF的方程为
，解得B的坐标，求出A的坐标，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB，求出
a2=3，即可得到双曲线C的方程．
【解答】解：设F（c，0），因为b=1，所以，
直线OB方程为，直线BF的方程为，解得
又直线OA的方程为，则．
又因为AB⊥OB，所以，解得a2=3，
故双曲线C的方程为．
21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和短轴顶点构成面积为4的正方形．（I）求椭圆的标准方程；
（II）过焦点F1，F2作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，求四边形PQRS的面积的最大值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得a=b=c且a2=4，解可得a=2，b=，代入椭圆的方程计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且S?PQRS=4S△POQ，进而设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则S?PQRS可以表示为4S△POQ=2|y1﹣y2|，设直线PQ的方程为x=my﹣，联立直线与椭圆的方程可得（my﹣）2+2y2﹣4=0，由根与系数的关系可
得|y1﹣y2|=4，利用基本不等式分析可得|y1﹣y2|有最大值，又由
S?PQRS=4S△POQ=2|y1﹣y2|，计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图：若四边形F1BF2A为正方形，则有a=b=c；
又由其面积为4，则有a2=4，即a=2，
b=，
则椭圆的标准方程为： +=1；
（Ⅱ）根据题意，过焦点F1，F2作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，结合椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且S?PQRS=4S△POQ，
由（Ⅰ）可得：椭圆的标准方程为： +=1，则其焦点坐标为（±，0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则S?PQRS=4S△POQ=4××|OF1|×|y1﹣y2|=2|y1﹣y2|，
直线PQ不能与x轴平行，则设其方程为x=my﹣，代入椭圆的方程可得：（my﹣）2+2y2﹣4=0，
化简可得：（m2+2）y2﹣2my﹣2=0，
y1+y2=，y1?y2=，
|y1﹣y2|===4，
令t=m2+1，则t≥1，
|y1﹣y2|=4=4，
分析可得：当t=1即m=0时，|y1﹣y2|有最大值2，
此时S?PQRS=4，取得最大值．
22. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】连接BD，BD∩AC=O，连接A1O，则BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，∠BA1O是直线A1B 与平面ACC1A1所成角．
【解答】解：连接BD，BD∩AC=O，连接A1O，则BD⊥AC，BD⊥平面ACC1A1，∠BA1O是直线A1B与平面ACC1A1所成角．
∵DA=DC=4，DD1=3，
∴BO=2，A1B=，
∴直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值=．
【点评】此题考查了直线与平面所成的角，找出直线与平面所成的角是解本题的关键．。