上海崇明县城东中学2018-2019学年高二数学理测试题含解析

上海崇明县城东中学2018-2019学年高二数学理测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为
，焦距为2，则线段AB的长是（）
A．B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．
【解答】解：∵e=，2c=2，c=1
∴a=，c=1，
则b==1，
∴椭圆的方程为+y2=1，
联立
化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，
代入直线得出y=1，或y=
则A（0，1），B（，）
∴|AB|=，
故选：B
2. 命题“已知为实数，若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数
是（）
A、0
B、1
C、
2 D、4
参考答案：
C
略
3. p＞0是抛物线y2=2px的焦点落在x轴上的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】p＞0?抛物线y2=2px的焦点落在x轴上，反之不成立．
【解答】解：p＞0?抛物线y2=2px的焦点落在x轴上，反之不成立，例如取p=﹣1，则抛物线的焦点在x轴上．
故选：A．
4. 下列命题中正确的是（）
A、的最小值是2
B、的最小值是2
C、的最大值是
D、的最小值是
参考答案：
C
5. （多选题）设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，与垂直相交于点P，且，分别与轴相交于点A，B，则的面积可能是（）
A．1 B．C．D．
参考答案：
BC
设（不妨设），则由导数的几何意义易得切
线的斜率分别为由已知得切线
的方程分别为，切线的方程为，即
．分别令得又与的交
点为．∵，∴，∴，故选BC．
6. 等差数列的前项和为，若
A．12 B．10
C．8 D．6
参考答案：
C
7. （5分）（2015春?石家庄校级期末）已知数列{a n}满足a2=102，a n+1﹣a n=4n，
（n∈N*），则数列的最小值是（）
A．25 B．26 C．27 D．28
参考答案：
B
【考点】数列递推式；数列的函数特性．
【专题】综合题；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】利用累加法可求得a n，表示出后利用基本不等式可求得其最小值，注意求通项时验证n=1的情形．
【解答】解：由a n+1﹣a n=4n得，
a3﹣a2=8，a4﹣a3=12，a5﹣a4=16，…，a n﹣a n﹣1=4（n﹣1），
以上各式相加得，a n﹣a2=，所以a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n≥2），
而a2﹣a1=4，所以a1=a2﹣4=98，适合上式，
故a n=102+（n﹣2）（2n+2）（n∈N*），
=﹣2=26，
当且仅当即n=7时取等号，
所以数列的最小值是26，
故选B．
【点评】本题考查由数列递推式求数列通项、基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
8. 方程与的曲线在同一坐标系中的图象是
（）
参考答案：
A
9. 将甲，乙两名同学5次数学测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）
A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定
参考答案：
A
【考点】茎叶图．
【分析】利用茎叶图中的数据和中位数的定义即可得出结论．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得
甲、乙二人的中位数分别是x甲=79，x乙=82，
且在茎叶图中，乙的数据更集中，
∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．
故选：A．
【点评】本题考查了中位数的求法与方差的判断问题，是基础题．解题时要注意茎叶图的性质的灵活运用．
10. 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）
A．1 B．C．D．﹣1
参考答案：
A
【考点】62：导数的几何意义．
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【解答】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数，，则的最大值为____________，最小值为
_________。

参考答案：
12. 等差数列{a n}的前n项的和s n=pn2+n（n+1）+p+3，则p= ．
参考答案：
-3
考点：等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，把条件代入化简求出a n，由当n=1时，a1=s1求出
a1，代入a n列出关于p的方程求出p的值．
解答：解：因为等差数列{a n}的前n项的和s n=pn2+n（n+1）+p+3，
所以当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1
=pn2+n（n+1）+p+3﹣[p（n﹣1）2+n（n﹣1）+p+3]
=（2p+2）n﹣p，
当n=1时，a1=s1=2p+5，也适合上式，
即2p+5=（2p+2）×1﹣p，解得p=﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：本题考查等差数列的通项公式，以及数列的前n项的和s n与a n的关系式应用，属于基础题
13. 抛物线上的点到直线的距离的最小值
是 __________ ；
参考答案：
14. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是__________；标准方程是．
参考答案：
；
15. 已知点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右
焦点，且|F1F2|=，I为△PF1F2的内心，若λS=λS+S成立，则λ的值为．
参考答案：
﹣1
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），三角形PF1F2的内切圆的半径为r，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式可得e=1+，运用双曲线的定义和三角形的面积公式，化
简整理可得λ==，即可得到所求值．
【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），三角形PF1F2的内切圆的半径为r，
由，即为2ac=b2=c2﹣a2，
由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，
解得e=1+（1﹣舍去），
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
由，可得
r|PF1|=r|PF2|+λr|F1F2|，
即为|PF1|﹣|PF2|=λ|F1F2|，
即有2a=2λc，
即λ===﹣1．
故答案为：﹣1．
16. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则
B= ．
参考答案：
【考点】余弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【分析】由条件利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，
又cosB==﹣，
∴B=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
17. 已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1＜x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)＞x2f(x2)；②x1f(x1)＜x2f(x2)；
③；④.其中正确结论的序号是__________．
参考答案：
②③
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （10分）（2015?延边州一模）如图，△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上，已知AB∥DE，AC=CB．
（l）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AD=2，且tan∠ACD=，求⊙O的半径r的长．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段．
分析：（1）如图所示，连接OC．由AB∥DE，可得，由于OD=OE，可得OA=OB．由于AC=CB，可得OC⊥AB．即可得出直线AB是EO的切线．
（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．由tan∠ACD=，可得
tan∠F=．由于△ACD∽△AFC，可得，再利用切割线定理可得：AC2=AD?
（AD+2r），即可得出．
解答：（1）证明：如图所示，连接OC．
∵AB∥DE，∴，∵OD=OE，∴OA=OB．∵AC=CB，∴OC⊥AB．∴直线AB是EO的切线．
（2）解：延长AO交⊙O于点F，连接CF．由（1）可得∠ACD=∠F．
∵tan∠ACD=，∴tan∠F=．
∵△ACD∽△AFC，
∴，
而AD=2，∴AC=4．
由切割线定理可得：AC2=AD?（AD+2r），
∴42=2×（2+2r），解得r=3．
点评：本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. (本小题满分12分)
如图：在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD‖BC ,
∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD, PA=3, AD=2, AB=, BC=6.
(1)求证：BD⊥平面PAC
(2)求二面角B-PC-A的大小.
参考答案：
解：（1）以为原点，射线分别为轴正向建立空间直角坐标系，则,,,
,
----------------------------------(6分)（2）平面的法向量为
平面的法向量为（过程略）
-----------------------------（12分）
略
20. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入(单位：元）与营运天数满足
.
（1）要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；
（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？
参考答案：
（1）要使营运累计收入高于800元，则
所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在内取值
（2）每辆单车每天的平均营运收入为
当且仅当时等号成立，解得，
即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.
21. 已知数列{a n}满足.
(Ⅰ)若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
(Ⅱ)是否存在a1，使数列{a n}为等比数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.
参考答案：
由题意，
，
，………………2分
若成等差数列，则，即
解得
………………6分
(2)若数列为等比数列
则必成等比数列，则，即
解得，此时，公比
………………10分
又，
所以，不存在，使数列为等比数
列。

………………12分
22. （本小题12分）已知命题函数在单调递减，命题
任意，使得.若“且”为真，求实数的取值范围.
参考答案：
解：对于：在恒成立，即在恒成立，在的最大值是3，①………3分
对于：②………6分“且”为真假假………8分
由①②知的取值范围为：或.………12分
略。