湘教版八年级数学课件-正方形

一組鄰邊相等
有一個角是直角
菱形
正方形
有一個角是直角 矩形 一組鄰邊相等
圖2-58
結論
可以知道：
正方形的四條邊都相等，四個角都是直角. 正方形的對角線相等，且互相垂直平分.
結論
由於正方形既是菱形，又是矩形，因此：
正方形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的 對稱中心.
正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線， 以及過每一組對邊中點的直線都是它的對稱軸.
在Rt△ECN中，
由畢氏定理得EN2=CN2+CE2，
即(8-x)2=x2+42，
解得x=3，故選A.
x
中考 試題
例2
如圖，ABCD是正方形，點G是BC上 的任意一點，DE⊥AG於E，BF∥DE， 交AG於F. 求證：AF=BF+EF.
解析 ∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°. ∵ DE⊥AG，∴ ∠DEG=∠AED=90°. ∴ ∠ADE+∠DAE=90°. 又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°， ∴ ∠ADE=∠BAF. ∵BF∥DE， ∴ ∠AFB=∠DEG=∠AED.
例1 如圖2-59，點E是正方形ABCD的邊AB上任意一點， 過點D作DF⊥DE交BC的延長線於點F.
求證：DE = DF.
證明 ∵ 四邊形ABCD為正方形，
∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.
∵ DF⊥DE，
圖2-59
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，
又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°， ∴ ∠1 =∠2. ∴ △AED≌△CFD （ASA）. ∴ DE = DF.
圖2-60
∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四邊形 A'B'C'D'是菱形. 又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°， ∴ ∠2 +∠3 = 90°.
∴ ∠D′A′B′= 90°. ∴ 四邊形 A'B'C'D'是正方形.
圖2-60
練習
1. 已知正方形的一條對角線長為4cm， 求它的邊長和麵積.
∠AFB=∠AED,
在△ABF和△DAE中，∠ADE =∠BAF , ∴ △ABF≌△DAE(AAASD).=AB.
∴ BF=AE. ∵ AF=AE+EF， ∴ AF=BF+EF.
結束
平行四邊形？
4. 什麼樣的圖形叫作成中心對稱？什麼樣的圖形叫作中 心對稱圖形？ 它們二者有何區別與聯繫？
5. 三角形中位線定理是什麼？
6. 矩形、菱形、正方形各具有哪些性質，如何判定一 個四邊形為矩形、菱形、正方形呢？
中心對稱及中心對稱圖形
多邊形
四邊形
平行四邊形
矩形 菱形
正方形
三角形的中位線
1. 平行四邊形的性質與判定是本章的重點，注意從邊、 角、對角線等方面來分析平行四邊形的特徵. 矩形、 菱形、正方形均為特殊的平行四邊形，圖形越特殊， 它的性質就越多，注意體會一般與特殊的關係.
如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，
使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕
為MN，則線段CN的長是
（
）A
A. 3cm
B.4cm
C.5cm
D.6cm
解析 因為四邊形MFEN是由四邊形AMND翻折得到，
故DN=EN.
又因為E是BC的中點，
所以 CE = 設CN=x，
1 2
BC
=
4
則DN=EN=8-x.
答：邊長為 2 2 cm , 面積為 8 cm2.
2. 如果一個矩形的兩條對角線互相垂直，那麼這個 矩形一定是正方形嗎？為什麼？
答：一定是. 由兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得 此矩形的四條邊都相等，即為正方形.
小結與復習
1. n邊形內角和公式是什麼？這個公式是如何推導 出來的？
2. n邊形外角和是多少？ 3. 平行四邊形有哪些性質？怎樣判定一個四邊形為
本節內容 2.7
正方形
觀察
裝修房子鋪地板的磚（如下圖）大都是正方形 的形狀，它是什麼樣的四邊形呢？它與平行四邊形、 矩形、菱形有什麼關係？矩形呢？
圖2-57
正方形既是矩形又是菱形.
正方形的四條邊都 相等，四個角都是直角.
我們把有一
平行四邊形
2. 成中心對稱是對兩個圖形說的，它表示兩個圖形之間 的對稱關係，中心對稱圖形是對一個圖形說的，它表示 某個圖形的特徵.
3. 對特殊的四邊形，還要注意從對稱性的角度把握 其特徵，並領會它們的內在聯繫與區別.
4. 注意體會本章中的互逆命題，如平行四邊形、矩形、 菱形的性質和判定定理等.
中考 試題
例1
求證：四邊形
是正方形.
A'B'C'D'
圖2-60
證明 ∵ 四邊形ABCD為正方形， ∴ AB = BC = CD = DA.
又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′， ∴ D′A = A′B = B′C = C′D.
又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， ∴ △AA′D′≌△BB′A′ ≌△CC′B′≌△DD′C′.
圖2-59
說一說
觀察示意圖2-58，說一說如何判斷一個四邊 形是正方形？
也可以先判定四邊形是 菱形，再判定這個菱形有一 個角是直角.
可以先判定四邊形 是矩形，再判定這個矩 形有一組鄰邊相等.
例2 如圖2-60， 已知點A′，B′， C′， D′分別是正方形
ABCD 四條邊上的點， 並且AA′= BB′= CC′= DD′.