2016年秋高中数学人教A版选修2-1精品课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质

直线m为：4x 5y 25 0
x 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
dmax
思考：最大的距离是多少？
40 25 42 52
65 41
41
第二十二页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
例5、如图，已知椭圆 ax2 by2与直1线x+y-1=0交
于A、B两点， AB 2 A2B,的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2, y2 )
1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 • 椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）
y
B1 (0,b)
(-a,0)
A1 F1
O
(a,0)
F2 A2 x
B2(0,-b)
• 线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a， a叫做椭圆的长半轴长
• 线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b， b叫做椭圆的短半轴长
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
第七页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程 图形
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
范围 a x a,b y b a y a,b x b
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
→ 韦达定理 斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
第二十四页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点3：中点弦问题
例 4 已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
椭圆的焦距与长轴长的比 e c 叫
做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e越接近1，c就越接近a，从而b a2 c2
就越小，椭圆就越扁
2）e越接近0，c就越接近0，从而b a2 c2
就越大，椭圆就越圆
所以a 5,b 4, c 3 25 16
因此长轴长 2a 10 ，短轴长 2b 8
离心率 e c 3 a5
焦点F1(－3,0)和F2(3,0), 椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、
B1(0,－4)、B2(0,4)
第十七页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的 椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴 上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点， 故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为
x2 y2 1 94
⑵ x2 y2 1 或 y2 x2 1
100 64
100 64
练习：P42 T5
第十页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
例3：点M（x，y）与定点F(4,0)的距离和它到直线
的距x离 的25比是常数 ，求点M的轨4 迹。
4
5
练习：P43 T2
第十一页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆 x2 y2 1
思考：当e＝0时，曲线是什么？ 圆
当e＝1时曲线又是 什么？ 线段F1F2
[3]e与a,b的关系: e c a2 b2 1 b2
a
a2
a2
第十六页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心率
焦点和顶点坐标。
解：把已知方程化为标准方程 x2 y2 1
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上
而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵 活运用中点坐标公式及韦达定理，
第二十八页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
变式：
（1）方程 x2 y2 1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4 （2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆，
5 4k 求k的值. k＝1/4
第二十页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
思考：方程Ax2+By2=C何时表示椭圆？ 答：A、B、C同号且A、B不相等时。
考点一：椭圆定义的应用
1．椭圆x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2， 点 P 在椭圆上． 若|PF1|＝4，则|PF2|＝__2______，
则△PF1F2 的周长为__6__2__7_
∠F1PF2 的大小为__1_20_°____．
第十九页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
椭圆的焦距与长轴长的比 e c 叫
做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e越接近1，c就越接近a，从而b a2 c2
就越小，椭圆就越扁
2）e越接近0，c就越接近0，从而b a2 c2
就越大，椭圆就越圆
思考：当e＝0时，曲线是什么？ 圆
当e＝1时曲线又是 什么？ 线段F1F2
出中点坐标和斜率．
第二十五页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构 造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0, y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
又k AB
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率
A1(-a,0), A2(a,0)
B1(0,-b), B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a)
B1(-b,0), B2(b,0)
第八页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心率
焦点和顶点坐标。
解：把已知方程化为标准方程
2c为椭圆的焦距, c为椭圆的半焦距
第二页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
► a、b、c的几何意义
y
B1 (0,b)
(-a,0)
b
a
c
A1
F1
O
F2
(a,0)
A2 x
B2(0,-b)
a2 b2 c2
B1F1 B1F2 B2F1 B2F2 a
第三页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.
4
y
解：设动点M的坐标为(x,y)，
Q M
则Q的坐标为(2x-1,2y)
-2
O A 2 x 因为Q点为椭圆 x2 y2 1 上
的点
4
所以有 (2x 1)2 (2 y)2 1 4
即 (x 1)2 4y2 1 2
所以点M的轨迹方程是 (x 1 )2 4 y2 1 2
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称。 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
第五页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
,
x1
x2
b 1 ab
AB中点M ( b , a ) ab ab
a kMO b
2 2
b
2a
又 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
2 2 2 ( 2b )2 4 b 1 a 1 , b 2
ab ab
3
3第二十九页，编辑于星期五：二十二点 五十二
2、范围： y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
x2 a2
1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
第四页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
3、从对图称形性上：看，ax椭22 圆 by关22 于 1x(轴a 、by轴 0、) 原点对称,
原点是椭圆的中心.
25 16
（2） x2 y 2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
第六页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
x2 y2 1
所以a 5,b 4, c 3 25 16
因此长轴长 2a 10 ，短轴长 2b 8
离心率 e c 3 a5
焦点F1(－3,0)和F2(3,0),
椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、 B1(0,－4)、B2(0,4)
练习：P41 T2
第九页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
第二十三页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点3：中点弦问题
例4 ：已知椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
A2 y
F2
B2
B1
O
x
F1
A1
a y a,b x b
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率
A1(-a,0), B1(0,-b),
A2(a,0) B2(0,b)
A1(0,-a), A2(0,a)
B1(-b,0), B2(b,0)
第十五页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
推广：
在设椭圆的方程时，有时为了方便，我们可 以设椭圆的方程为：
mx2+ny2=1
第二十一页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点1：直线与椭圆的位置关系
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y
最小距离是多少？
第十二页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
第十三页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）
第十四页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
图形 范围 对称性
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y B2
O A1 F1
F2 A2 x
B1
a x a,b y b
即 y12 y12 x12 x22
b2 a2
kAB
y1 y1 x1 x2
b2 a2
x1 x2 y1 y1
b2 a2
x0 y0
直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的 思想方法．
第二十七页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
知识点3：中点弦问题
例4已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
y1 y2 x1 x2
A(x1, y1), B(x2 , y2 )在椭圆上，
x12 a2
y12 b2
1
x22 a2
y22 b2
1
两式相减得：
b2 (x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
第二十六页，编辑于星期五：二十二点 五十二 分。
由b2 (x12 x22 ) a2 ( y12 y12 ) 0
分。

练习：
1、如果椭圆被
x2 36
y2 9
1的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆
x2 5
y2 m
恰1有公共点，则m的范围（
（1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称 轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点 在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 ，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为
x2 y2 1 94
⑵ x2 y2 1 或 y2 x2 1
100 64
100 64
第十八页，编辑于星期五：二十二点 五十二分。