运筹学大M法

s3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
s.t. x1 2 x2 x3 x4 11 4 x1 x2 2 x3 x5 x6 3 2 x1 x3 x7 1 x j 0, j 1,2, ,7
特殊情况
▪ 1、无可行解：线性规划最优解中存在人工变量大于零，则此线性规划无可行解 ；
▪ 2、无界解：在求目标函数最大值的问题中，在某次迭代的单纯形表中，如果存 在着一个不满足符号条件的检验数，并且该列的系数向量的每个元素都小于或等 于零，则此线性规划问题无界。
▪ 3、无穷多最优解：对于某个最优的基本可行解，如果存在某个非基变量的检验 数为零，则此线性规划问题有无穷多最优解；
▪ 4、退化：在单纯形法计算过程中，基变量有时存在两个以上相同的最小比值， 这样在下一次迭代中就有一个或几个基变量等于零，这称之为退化。
➢ 退化易产生循环迭代，为避免循环，遵守以下两条原则： 在所有检验数小于零的非基变量中，选一个下标最小的作为调入变量； 在存在两个以上最小比值时，选一个下标最小的作为调出变量。
练习题
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第二节 大M法
▪ 如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单 位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成 一个单位向量组。
▪ 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。 ▪ 两种方法可控制人工变量取值。
➢ 大M法 ➢ 两阶段法
例
min F 3 x 1 x 2 x 3 s .t. x 1 2 x 2 x 3 11 4 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x3 1 x j 0 , j 1,2 ,3
例：加入人工变量x6，x7后，
原模型变为：
maxF' 3x1 x2 x3 0x4 0x5 M(x6 x7) s.t. x1 2x2 x3 x4 11 4x1 x2 2x3 x5 x6 3 2x1 x3 x7 1 xj 0, j 1,2, ,7
用单纯形法求解
▪ 此时，各系数矩阵、向量为：
1 2 1 1 0 A4 1 2 0 1
2 0 1 0 0
▪ A矩阵不存在完全单位向量组。
▪ 应人工地构建一个完全单位向量组。
人为增加两列
1 2 1 1 0 0 0 A4 1 2 0 1 1 0
2 0 1 0 0 0 1
▪ 相当于又加入两个变量 x6、x7
调整后的A矩阵还原成约束条件为：
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5， 将数学模型标准化
max F ' 3 x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 2 x 2 x 3 x 4 11 4 x1 x2 2 x3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
观察约束条件系数矩阵A
max F 2 x 1 x 2 x 3 x 4 s .t . x1 x2 2 x3 x4 2 2 x1 x2 3x3 x4 6 x1 x2 x3 x4 7 x j 0, j 1,2,3,4,
大M法
▪ 引入人工变量x5，x6，x7，将原问题化为
maxF 2x1 x2 x3 x4 M(x5 x6 x7 ) s.t. x1 x2 2x3 x4 x5 2 2x1 x2 3x3 x4 x6 6 x1 x3 x3 x4 x7 7 xj 0, j 1,2, ,7
c 3 1 1 0 0 M M
1 2 1 1 0 0 0 A4 1 2 0 1 1 0
2 0 1 0 0 0 1
11 B 3
1
结论
∵cj-zj均为非正数 ∴得到最优解和最优值。
x1=4，x2=1，x3=9，x4=x5= x6=x7=0， minF= -maxF’=-2
例2：用大M法求解
▪ 由于加入的两个变量只起辅助计算的作用，不能影
响目标函数和约束条件，因此它的取值只能是0。
大M法的原理
▪ 引入一个非常大的正数M，用来制约人工变量 的取值，并使目标函数变为：
mF a x cjxjM xt (xt为人工变
这样，如果计算结果xt≠0，那么由于M是一个 非常大的正数，可以使得F<0，也就是使F无法达 到最大值。所以，M也被称为罚金系数，这种方法 称为大M法。