格致高三数学综合练习2016410

高三数学综合练习（20164）
班级姓名
一、填空题（14×4=56分） 1、 已知
11x
yi i
=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 2、 已知线性方程组的增广矩阵为116 02a ⎛⎫
⎪⎝⎭，若该线性方程组解为42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
则实数a =__
3、 执行如右上图所示的程序框图，若输入，则输出的值为
4、 若n
x
x )2(2+是
5、 （理）已知集合{}1|
0,|1x A x B x x b a x -⎧⎫
=<=-<⎨⎬+⎩⎭
，若“1a =”是“A B φ≠ ”的充分条件，则实数b 的取值范围是。

（文）已知集合{}{}
2
1,3,21,3,A m B m =--=，若B A ⊆
，则实数m =
6、 （理）已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线的焦点距离是1，
则椭圆E 的标准方程是 （文）已知一条渐近线为x y 4
3
=
，且经过点()
的双曲线，则该双曲线的标准方程为______ 7、数列{}n a 的通项公式1
,1,21
1,3
3n n
n n a n ⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=
8、从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法
数为 ;
9、我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 2
1
=。

类比这个结论，在空间中，果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R ，那么凸多面体的体积V 、表面积S ＇与内切球半径R 之间的关系是。

10、在圆2
2
5x y x +=内，过点53,22⎛⎫
⎪⎝⎭
有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差11,63
d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，那么n 的可能取值为
11、已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆的切线，A B 、是切
2x =y 01222
2
=+--+y x y x
点，是圆心，那么四边形面积的最小值是
12、（理）已知曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 2ρθ=，π
4cos (00)2
ρθρθ=<，
≥≤，则曲线1C 与2C 交点的极坐标为．
（文）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为
13、（理）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量
ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差D ξ=
（文）若P 为ABC ∆内一点，且20PB PC PA ++=
，在ABC ∆
内随机撒一颗豆子，则此豆子落在PBC ∆内的概率为
14、已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a
x x
=->有且仅有3个零点，
则实数a 的取值范围是
1、2i -
2、1
3、32
4、180
5、（理）()2,2b ∈-（文）1
6、（理）22
195x y += （文）
19
1622=-y x 7、898、1129、R S V '=31
10、4，5，6，7 11
、、
（理）4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
（文）、
（理）2
30d （文）1214、34,45⎛⎤
⎥⎝⎦
二、选择题（5×4=20分）
15、下列命题：
（1）若直线上两点到平面的距离距离相等，则这条直线和这个平面平行； （2）若直线,a b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且只有一个； （3）直四棱柱是直平行六面体；
（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥。

其中正确的命题个数为
（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3
16、满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的 最小n 值是（ ）
C
PACB
（A ） 9（B ）10（C ）11（D ）12
17（理）若P 是以12,F F 为焦点的双曲线上任意一点，过焦点作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足
M 的轨迹是曲线C 的一部分，则曲线C 是
（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线
（文）已知M 椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上任意一点，P 是线段OM 的中点，则12PF PF ⋅
（A ）没有最大值，也没有最小值（B ）有最大值，没有最小值
（C ）有最大值和有最小值（D ）有最小值，没有最大值
18、如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=︒、分别在BC 和PO 上，且
,2((0,3])CM x PN x x ==∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体积V 与x 的变化关系，
其中正确的是（）
参考答案
15、B 16、D17、理）A 文）C 18、A 三、解答题（12+14+14+16+18=74分）
19、某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0．4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，1：作时间为n 天．
（I ）工作n 天，记三种付费方式薪酬总金额依次为,,n n n A B C ，写出,,n n n A B C 关于n 的表达式； （II ）如果10n =，你会选择哪种方式领取报酬？
解:（Ⅰ）三种付酬方式每天金额依次为数列，，，它们的前项和依次分别为 依题意，
第一种付酬方式每天金额组成数列为常数数列，． 3分 第二种付酬方式每天金额组成数列为首项为4，公差为4的等差数列， 则．-----------------------------------6分 第三种付酬方式每天金额组成数列为首项是0．4，公比为2的等比数列，
则． ----------------------------------9分
{}n a {}n b {}n c n n n n C B A ,,{}n a n A n 38={}n b ()n n n n n B n 2242
142+=⨯-+
={}n c ()
()
124.02
1214.0-=--=
n n
n C
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，
， ， ．
所以．--------------------------------------------------11分 答：应该选择第三种付酬方案．----------------------------------------------12分 20、)0,0(),sin ,(cos ),
sin )1(,(cos πβαλββαλα<<<>=-=设是平面上的两个向量，且
-+与互为垂直.
（1）求λ的值； （2）若αβtan ,3
4
tan ,54求==
⋅的值. 解析：（1）由题设，得=-=+⋅-22||||)()(ααλ22
2
sin sin )1(--
,0sin ,00sin )2(0sin sin )1(2
2222>≠∴<<=-=--∴λαπααλλααλ又即
02=-∴λ
λ故的值为2.
--------------------------4分
（2）)sin ,(cos ),sin ,(cos ,ββαα==-+垂直时与 )cos(sin sin cos cos βαβαβα-=+=⋅b a
-------------6分
02,0,54)cos(<-<-<<<=
-∴βαπ
πβαβα则 4
3
)tan(-=-βα-------------10分
24
7
tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =--+-=
+-=∴ββαββαββαα-------12分
21、如图，三棱锥P ABC -中，PC 平面ABC ，2,,PC AC AB BC D ===是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。

（1）求证：AB ⊥平面PCB ； （2）（理）求二面角C PA B --的余弦值；
10=n 38038==n A n 220222=+=n n B n ()
2.409124.010=-=n C 101010C A B <<
（文）求P ABC V -
解：（1）PC ⊥ 平面ABC 又AB ⊂平面ABC
PC AB ∴⊥
CD ⊥ 平面PAB
又AB ⊂平面PAB CD AB ∴⊥ 且PC CD C =
AB ∴⊥平面PCB
（2）（理）取AP 的中点E ，连结,CE DE
2,PC AC CE PA CE ==∴⊥ CD ⊥ 平面PAB ,CD PA PA ∴⊥∴⊥平面CDE CED ∴∠为二面角C PA B --的平面角 由（1）知：AB ⊥平面PCB
又AB BC BC =∴=
在直角三角形PCB 中，
PC BC PB CD PB ⋅=
==
==
在直角三角形CDE 中，DE COS CED CE ∠=
=
∴二面角C PA B --的大小余弦值为
3。

（文）1122323P ABC V -⎛=
⋅= ⎝ 注意：理科还可用空间向量处理。

22、设a R ∈，把三阶行列式
2
35
1
40421x a x
+中按第一行第二列元素的余子式记为()f x ，且关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,0-。

各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，点列()()
,n n a S n N *
∈在函
数()y f x =的图像上。

（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()2
0n a n b k
k =>，求21
lim 2
n n n b b →∞
-+的值；
（3）令2,21,2n
n n a n k c c n k =+⎧⎪=⎨=⎪⎩，求数列{}n c 的前2012项中满足6m c =的所有项之和。

简解：（1）()2
1
014
4
2x a f x x ax x
+==+ 不等式()0f x <的解集为()2,0-()2111
242
a f x x x ⇒=
⇒=+ （2）已知得：()2
14222n n n n n S a a a a n -=+⇒⇒-=≥
又122n a a n =⇒=
2
(0)n
a n n
b k
k k ==>
1
,01221211lim lim ,12232,1n n n n n n k b k k b k k →∞→∞⎧-<<⎪⎪
--⎪===⎨++⎪
>⎪⎪⎩
（3）当21n k =+时，263n n c a n n ===⇒= 当2n k =时，欲使2
6322
t n n t n
c c n ===
=⇒⇒=⋅ 满足题意的所有项之和：29
33232323069+⋅+⋅++⋅=
23、已知22
1x y m n R m >n m n
++=?椭圆，常数、，且. (1)当2521m n ==，时，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于点P ，与y 轴交于点Q ，若2
Q F F P =
，
求直线PQ 的斜率；
(2)过原点且斜率分别为(1)k k k -≥和的两条直线与椭圆22
1x y m n
+
=的交点为A B C D 、、、(按逆时针顺序排列，点A 位于第一象限内)，试用k 表示四边形ABCD 的面积S ；
(3)求S 的最大值．
（文）已知函数R x x f y ∈=),(满足)()1(x af x f =+，a 是不为0的实常数。

（1）若当10≤≤x 时，)1()(x x x f -=，求函数[]1,0),(∈=x x f y 的值域； （2）在（1）的条件下，求函数[)N n n n x x f y ∈+∈=,1,),(的解析式；
（3）若当10≤<x 时，x x f 3)(=，试研究函数y f (x)=在区间()+∞,0上是否可能是单调函数？
若可能，求出a 的取值范围；若不可能，请说明理由。

解 (1) 2521m n ==Q ，，
22
1(2)2521
x y F \
+=-的左焦点为，0． ……………………2分 设满足题意的点为00(,)(0)P x y Q t 、，．2QF FP =u u u r u u r
又，
∴00(2)2(2)t x y --=+，，，0032x t y ì=-ïïíï=-ïî
即． ……………4分
2
0000y 9()1y 2521P x y +==?
由点，在椭圆上，得，于是． ………5分
025
PQ QF t k k y \==
=-=?
．……………6分 (2)12k k k l y =kx l y =-kx x y ³Q 过原点且斜率分别为和-(1)的直线:，:关于轴和轴对称，
ABCD \四边形是矩形. ……………8分
设点A 00()x y ，．
联立方程组2222
1.x y mn
x m n n mk y kx ìïï+=ï=íï+ï=ïî
，得于是0x 是此方程的解，故2
02
.mn
x n mk
=
+ ………10分 2
0002444(1)m n k
S x y k x k n m k
\===
?+． ……………………12分
(3)2
44(2)mnk mn
S n n mk mk k
=
=++由可知，． 设()(1)n
g k mk k k
=+?，则()[1)g k +?在，
上是单增函数． ………13分 理由：对任意两个实数12[112k k k <k 违、，+)，且，则
121212
()()()n n
g k g k mk mk k k -=+
-+ ＝1212
11
()(
)m k k n k k -+- 121212
()
mk k n
k k k k -=-． …………14分 211212120110.0m n k k k k mk k n k k >>>砛>->-<Q ，，，又，
12121212
()
0()()0mk k n
k k g k g k k k -\-<-<，即． ∴()[1)g k +?在，上是单增函数，于是min ()(1)g k g m n ==+． ……16分 44(1)mn mn
S k n
m n
mk k
\=
?
++当且仅当时，等号成立．
max 4mn
S m n
\=
+． (18)
（文）（1）[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈∴∈+
--=41,0)(,1,0,41)2
1
()(2x f x x x f 。

（2）当n x n+1(n 0,n Z)≤≤≥∈时,
()()()()211112n n n n f x af x a f x a f x n --=-=-==- ， ()()()1n n f x a x n n x ∴=-+-。

（3）当n x n+1(n 0,n Z)≤≤≥∈时,()()()()2
11112n
n n n f x af x a f x a f x n --=-=-==- ，
n x n n a x f -⋅=∴3)(；
显然[]Z n n n n x a x f n x n n ∈≥+∈⋅=-,0,1,,3)(当0>a 时是增函数， 此时[]
n n n a a x f 3,)(∈∴，
若函数y f (x)=在区间[)0+∞，上是是单调增函数，则必有n n a a 31≥+，解得：3≥a ； 显然当0<a 时，函数y f (x)=在区间[)0+∞，上不是单调函数； 所以3≥a 。