云南省楚雄州元谋县一中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理

元谋一中2017——2018学年下学期期中考试
高二理科数学试卷
(时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则=z （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i 22+ D ．i 22-
2、已知命题0,0:3
>>∀x x p ，那么p ⌝是（ ）
A ．0,03
≤>∀x x B ．0,03
00≤≤∃x x C ．0,03
≤<∀x x D ．0,03
00≤>∃x x 3、抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是（ ） A ．
2
5
B ．5
C ． 10
D ．20 4、在ABC ∆中，“21sin =
A ”是“6
π
=A ”的（ ）
A ．必要非充分条件
B ．充分非必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
5、下列命题中，正确的是（ ）
A ．2
2,x R x x
>∈∀
B ．命题“p 且q 为真”是命题“p 或q 为真”的必要不充分条件
C ．“若22bm am ≤，则b a ≤”的否命题为真
D ．若实数]1,1[,-∈y x ，则满足12
2
≥+y x 的概率为
4
π
6、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为3
4
y x =±，且其右焦点为（5,0），
则双曲线C 的方程为（ ）
A ．
221916x y -= B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22
143
x y -= 7、在6
22⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 的二项展开式中，含3x 项的系数为（ ）
A. 160-
B. 20
C. 20-
D. 160
8、设椭圆1222=+m y x 和双曲线13
22
=-x y 的公共焦点分别为21,F F ，P 为这两个曲线的一
个交点，则21PF PF ⋅的值为（ ）
A ．32
B ．3
C ．23
D ．62
9、中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A.
1818
A 种 B.
2020
A 种 C.
23
1031810
A A A 种 D.
218
218
A A 种
10、如图1，在矩形OABC 内：记抛物线2
1y x =+与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分），在矩形OABC 内随机撒一粒豆子，则豆子落到区域M 内的概率为（
）
A.
118 B.16 C. 112 D. 1
3
11、已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，
且双曲线过点22
32(,)a b p p
，则该双曲线的离心率是（ ） A ．
264 B ．104 C ．132
D ．2
12、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数()y f x '=,当0x ≠时， ()
()0f x f x x
'+
>，若11()22a f =
，2(2)b f =--,)3
1
(ln )31(ln f c =,则（ ）
A.b c a >>
B.a b c >>
C. c a b >>
D. a c b >>
二、填空题：把正确答案填在题中的横线上（每小题5分，共20分）
13、已知),,()2
1(2为虚数单位i R b a bi a i
∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+b a . 14、在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有__________种. 15、
已知抛物线的焦点
和点
，
是抛物线上一点，则
的最小值
是 ．
16、已知函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(10分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据： （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（参考公式：∑∑==∧
--=
n
i i
n
i i
i x
n x
y
x n y
x b 1
2
21，^
^
^
a y
b x =-）
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
18、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA
BE ，
4AB PA ==，2BE =．
（1）求证：CE 平面PAD ；
（2）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；
19、(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，一个顶点为()2,0A ，离心率为2，直线
()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）当AMN ∆的面积为9
时，求k 的值．
20、(12分)已知函数()2
1ln 2
f x x a x =
-)(R a ∈ （Ⅰ）若函数)(x f 的图象在2=x 处的切线方程为y x b =+，求b a ,的值； （Ⅱ）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围．
21、(12分)如图，已知在四棱锥ABCD P -中，O 为AB 中点，POC ⊥平面平面ABCD ；
BC AD //，BC AB ⊥，2====AB BC PB PA ，3=AD .
（1）求证：平面⊥PAB 面ABCD （2）求二面角C PD O --的余弦值.
22、（12分）设函数()ln f x x x =(0)x >. （1）求函数()f x 的最小值；
（2）设2
()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；
（3）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y ,22(,)B x y 12()x x <两点，求证：
121
x x k <
<
元谋一中2017——2018学年下学期期中考试
高二理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 7- 14. 18 15. 9 16. )2
1
,0( 三、解答题（本大题共70分） 17、(10分)
解析：（1）由系数公式可知，
266.54 4.5 3.566.563
4.5, 3.5,0.7
5864 4.5x y b -⨯⨯-===
==-⨯
9
3.50.70.352a =-⨯
=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+．
（2）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤． 18、(10分)解析：
（1）设PA 中点为G ，连结EG DG ，， 因为PA //BE ，且42PA BE ==，， 所以BE //AG 且BE AG =， 所以四边形BEGA 为平行四边形， 所以EG //AB ，且EG AB =．
因为正方形ABCD ，所以CD //AB CD AB =，， 所以EG //CD ，且EG CD =， 所以四边形CDGE 为平行四边形， 所以CE //DG ．
因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE //平面PAD ．
（2）如图，建立空间坐标系，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()4,0,2E ，()0,0,4P ，()0,4,0D ， 所以()4,4,4PC =-，()4,0,2PE =-，()0,4,4PD =-．
设平面PCE 的一个法向量为(),,m x y z =，所以00
200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩
⎪⎩．
令1x =，则1
12x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以()1,1,2m =．
设PD 与平面PCE 所成角为α，
则sin cos ,66m PD m PD PD m
α⋅=
<>=
=
=． 所以PD 与平面PCE 19、(12分)解析：（1）由题意得：⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a a c ，解得b =
所以椭圆C 的方程为22
1
42x y +=．
（2）由()22
1142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124240k x k x k +-+-=，
设点,M N 的坐标分别为
()()1122,,,x y x y ，
则
()()22112212122
2
424
1,1,,1212k k y k x y k x x x
x x k k -=-=-+
==++
所
以
MN =
=
=
又因为点()
2,0A 到直线
()
1y k x =-的距离
d =
所以AMN ∆
的面积为
41
2k S MN d ==
由
=
，解得2k =±．
20、(12分)
(1)因为：)0()('>-
=x x
a
x x f ，又)(x f 在2=x 处的切线方程为b x y += 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-12
222ln 2a
b a 解得：2ln 2,2-==b a (2)若函数)(x f 在),1(+∞为增函数．则0)('≥-
=x
a
x x f 在),1(+∞上恒成立 即：2x a ≤在),1(+∞上恒成立．所以有1≤a 21、(12分) 证明：
BC AD //，BC AB ⊥，
2BC AB ==，3
=AD .
3225OC AD CD ∴===，，=+=222BC OB OC 5
OC CD ∴⊥ 即CD POC ⊥平面
CD PO ∴⊥
AB PB PA ==，O
为
AB
中点
∴AB PO ⊥∴⊥PO 底面ABCD
∴
⊥CD 平面P O C ∴ 平面⊥P A B 面ABCD ……………6分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则
)3,0,0(P ，
)0,3,1(-D ，)0,2,1(C
∴
(0,0,3),(1,3,0),
(1,2,3),(2,1,0)
OP OD CP CD ==-=--=-
假设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x m =， 平面PCD 的法向量为),,(222z y x n =则
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，01=z ，即)0,1,3(=， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n CD n CP 可得⎩⎨⎧=+-=+--020*******y x z y x ，取32=x ，得322=y ，52=z ， 即)5,32,3(
=n
∴4
3
40
1035,cos =
=
>=< 故二面角C PD O --的余弦值为4
3
.……………12分
22、(12分)
（1）)0(1ln )('
>+=x x x f ，令0)('
=x f ，得e
x 1=
． ∵当)1,0(e
x ∈时，0)('
<x f ；当),1(+∞∈e
x 时，0)('
>x f ∴当e x 1=
时，e
e e x
f 1
1ln 1)(min -==． 。

4分 （2）)0(1ln )(2
>++=x x ax x F ，则)0(1
212)(2'
>+=
+=x x
ax x ax x F ． ①当0≥a 时，恒有0)('
>x F ，则)(x F 在),0(+∞上是增函数；
②当0<a 时，令0)('
>x F ，得0122>+ax ，解得a
x 21
0-
<
<； 令0)('
<x F ，得0122<+ax ，解得a
x 21-
>
． 综上，当0≥a 时，)(x F 在),0(+∞上是增函数；
当0<a 时，)(x F 在)21,0(a -
上单调递增，在),21
(+∞-a
上单调递减．。

8分 （3）
．
要证，即证，等价于证，令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．。