2016届浙江省金丽衢十二校高三上第一次联考文科数学试卷

2015-2016学年度???学校2月月考卷1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．0y =B ．sin 2y x =C ．lg y x x =+D ．22x x y -=+2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若543=+a a ，则6S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．203．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥C ．若l m ⊥，l α⊥，则//m αD ．若l α⊥，m α⊥，则//l m4．设两直线1l ：(3)453m x y m ++=-与2l ：2(5)8x m y ++=，则“12//l l ”是“1m <-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数22()(2)1x af x a x -=<-在区间(1,)+∞上的最小值为6，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．126．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22221xya b +=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A ．2[,1)3 B ．1[,]32C ．1[,1)3D ．1(0,]3 7．设a ，b R ∈，定义：||(,)2a b a b M a b ++-=，||(,)2a b a b m a b +--=，下列式子错误的是（ ）A ．(,)(,)M a b m a b a b +=+B ．(||,||)||||m a b a b a b +-=-C ．(||,||)||||M a b a b a b +-=+D ．((,),(,))(,)m M a b m a b m a b =8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6c b -=，2c b a +-=，且O 为此三角形的内心，则AO CB ⋅= （ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．已知全集U R =，集合{|2}A x x =≥，{05}B x =≤<，则A B = ，()U C A B = ．10．若双曲线221y x m-=的一个焦点为(0,2)，则m = ，该双曲线的渐近线方程为 ．11．设函数tan[(1)],01()ln ,12x x f x x x π-<≤=>⎧⎪⎨⎪⎩，则(())f f e ，函数()1y f x =-的零点为 ．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 ，表面积为 ．13．设m R ∈，实数x ，y 满足23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若|2|18x y +≤，则实数m 的最小值是 ．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知AD =，23A π=，1b =，则1c c +的值为 ． 15．已知函数2()(32)6f x x a x a =-++，其中0a >，若有实数b 使得2()0(1)0f b f b ≤⎧⎨+≤⎩成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知向量(sin ,2sin )a x x = ，(2cos ,sin )b x x =- ，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()y f x =在3[,]48ππ-上的值域．17．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面A B C D ，底面A B C D 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠= ，2AB AD DC ===4PA =且E 为PB 的中点．（1）求证：//CE 平面PAD ；（2）求直线CE 与平面PAC 所成角的正切值．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(2)a a a =≠-，122n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设2n n n b S =+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是单调递增数列，求实数a 的取值范围．19．已知函数2()log ()x a f x a t =+，其中0>a 且1≠a ．（1）当2a =时，若x x f <)(无解，求t 的范围；（2）若存在实数m ，n （m n <），使得[],x m n ∈时，函数()f x 的值域都也为[],m n ，求t 的范围．20．已知抛物线C ：2(0)y ax a =>，过点(0,1)P 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点．（1）若抛物线C 的焦点为1(0,)4，求该抛物线的方程；（2）已知过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，交于点M ，以线段AB 为直径的圆经过点M ，求实数a 的值．参考答案1．C【解析】试题分析：A ：0y =既是奇函数，又是偶函数；B ：sin 2y x =是奇函数；C ：lg y x x =+的定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；D ：()22x x y f x -==+其定义域为R 关于原点对称，且()()22()x x f x f x ----=+=，故为偶函数，故选C ． 考点：函数的奇偶性判定．2．C【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴16346()()661522a a a a S ++=⨯=⨯=，故选C ． 考点：1．等差数列的前n 项和；2．等差数列的性质．3．D【解析】试题分析：A ：l 与m 的可能的位置关系有相交、异面、平行，故A 错误；B ：根据线面垂直的判定可知B 错误；C ：//m α或m α⊂，故C 错误；D ：根据线面垂直的性质可知D 正确，故选D ．考点：1．线面平行的判定与性质；2．线面垂直的判定与性质．4．A【解析】试题分析：若12//l l ，则(3)(5)421m m m ++=⨯⇒=-或7-，经检验，当1m =-时，1l 与2l 重合，∴7m =-，故是充分不必要条件，故选A ．考点：1．两直线的位置关系；2．充分必要条件．5．B【解析】试题分析：2222(1)4(1)22()2(1)44111x a x x a a f x x x x x --+-+--===-++≥---4=，当且仅当22(1)11a x x x --=⇒=-时，等号成立，∴3462a =⇒=，故选B ． 考点：基本不等式求最值．6．C【解析】试题分析：如下图所示，∵线段1PF 的中垂线经过2F ，∴2122PF FF c ==，即椭圆上存在一点P ，使得，22PF c =，∴12[,1)3c a c c a c e a -≤≤+⇒=∈，故选C ．考点：椭圆的离心率．【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1．根据题意，解出a ，b ，c ，计算离心率c e a =；2．根据题意，建立一个含有a ，b ，c 的齐次方程，计算b a 或c a 的值；3．如果求离心率的范围，可以找a ，b ，c 的齐次不等式．7．B【解析】试题分析：∵, (,), a a b M a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，, (,), b a b m a b a a b ≥⎧=⎨<⎩，∴((,),(,m M a b m a b m a b =，D 正确；(,)(,)M a b m a b a b +=+，A 正确；(||,||)m a b a b +-==||, 0||||||, 0a b ab a b a b ab +<⎧⎨-=+≥⎩，B 错误；(||,||)M a b a b +-== ||||||, 0||||||, 0a b a b ab a b a b ab +=+≥⎧⎨-=+<⎩，C 正确；故选B ． 考点：函数型新定义问题．【思路点睛】本题是一个新定义问题，定义了两个新的函数，但其本质还是一个关于某一个字母的分段函数，在判断每个选项时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．8．C【解析】试题分析：如下图所示，过O 作OD AB ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，∴()||||||||AO CB AO AB AC AO AB AO AC AD AB AE AC ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅ ， 又∵O 为ABC ∆内心，∴||||||||||||AD AB AE AC AD c AD b ⋅-⋅=⋅-⋅，(||||||)||22a b c BD BC CE c b a AD ++-+++-==， ∴()()()62c b c b a AO CB AO AB AC AO AB AO AC -+-⋅=⋅-=⋅-⋅== ，故选C ．考点：1．三角形内心性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．9．{|0}x x ≥，{|02}x x ≤<．【解析】试题分析：∵{|2A x x =≥，{05}B x =≤<，∴{|0A B x x =≥ ，(){|02}U C A B x x =≤< ．考点：集合的运算．10．3，y =．【解析】试题分析：由题意得，2123m m +=⇒=，故双曲线方程为2213y x -=，渐近线方程为y =．考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的渐近线．11．0，e ．【解析】试题分析：∵t a n [(1)],01()ln ,12x x f x x x π-<≤=>⎧⎪⎨⎪⎩，∴()l n f e e ==，(())(1)tan 00f f e f ===，若01x <≤：()1tan[(1)]12f x x π=⇒-=，方程无解；若1x >：()1ln 1f x x x e =⇒=⇒=．考点：1．分段函数；2．分类讨论的数学思想．12．3，4+ 【解析】试题分析：根据三视图可知，该几何体为如下三棱锥P ABC -，∴其体积11141332V Sh ==⋅⋅=表面积11114412242222S =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+考点：1．三视图；2．空间几何体的体积与表面积．13．3-．【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组23603260x m x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的区域，由题意可知，不等式组所表示的区域应为|2|18x y +≤所表示的平面区域的子集，从而可知36m -≤≤．考点：线性规划的运用．【思路点睛】线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题角度有：1．求线性目标函数的最值；2．求非线性目标的最值；3．求线性规划中的参数，本题即利用区域的包含，求解参数的取值范围．14．2．【解析】试题分析：∵11sin 22S bc A a AD ABC ==⋅∆，即126c a ⋅=，即23c a =，根据余弦定理2222cos A a b c bc =+-，有21312()2c c c =+-⋅-，即2(1)0c -=，即1c =，∴12c c+=． 考点：正余弦定理解三角形．15．，(0,][5,)2+∞ ．【解析】试题分析：∵2()(32)6(3)(2)f x x a x a x x a =-++=--，∴若32a =：则213b b =+=，舍去； 若32a >：则222222()03294921(1)0312221f b b a b a b a f b b a b a ≤≤≤⎧≤≤⎧⎧⎪⇒⇒⇒≤≤-⎨⎨⎨+≤≤+≤≤≤-⎪⎩⎩⎩，由题意可知问题等价于不等式组有解，∴2195a a -≥⇒≥；若32a <：则22()023(1)0213f b a b f b a b ≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨+≤≤+≤⎩⎩222224942212a b a b a b ⎧≤≤⎪⇒⇒≤≤⎨-≤≤⎪⎩，由题意可知问题等价于不等式组有解，∴24202a a ≤⇒<≤，综上，实数a 的取值范围是(0,[5,)2+∞ ． 考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路；2．含字母参数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论，比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．16．（1）π；（2）]12,2[--．【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变形将()f x 的表达式化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式，即可求解；（2）利用（1）中化简后的函数解析式换元后结合正弦函数sin y x =的性质即可求解．试题解析：（1）()sin 2(1cos 2)f x x x =--1)42sin(2-+=πx ，故函数)(x f 的最小正周期为π；（2）设=t 42π+x ，当]83,4[ππ-∈x 时，ππ≤≤-t 4，又∵函数t y sin =在]2,4[ππ-上为增函数，在],2[ππ上为减函数，则当4π-=t 时t sin 有最小值22-；当2π=t 时t sin 有最大值1，故)(x f y =在]83,4[ππ-上的值域为]12,2[--． 考点：1．平面向量数量积的坐标表示；2．三角恒等变形；3．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．17．（1）详见解析；（2）13． 【解析】试题分析：（1）取PA 的中点Q ，连接QE ，QD ，可证明四边形QECD 是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；（2）可以通过过E 作平面PAC 的垂线，将线面角作出，再求其正切值，亦可通过建立空间直角坐标系，求得平面PAC 的法向量后求解．试题解析：（1）取PA 的中点Q ，连接QE ，QD ，∵E 为PB 的中点，∴//QE AB 且12QE AB =， ∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===， ∴//QE CD 且QE CD =，∴四边形QECD 是平行四边形， ∴//EC QD ，又∵EC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//EC 平面PAD ；（2）方法一：过E 作平面PAC 的垂线，记垂足为O ，连接CO ，则ECO ∠就是直线CE 与平面PAC 所成角，过B 作BN AC ⊥，记垂足为N ，∵PA ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面A B C D ∴PA BN ⊥，又∵PA ，AC ⊂平面PAC ，且P A A C A = ，∴BN ⊥平面PAC ， ∴//EO BN ，又∵E 是AB的中点，∴12EO BN ==，过E 作EM AB ⊥于M ，连接CM ，可得CE =在R t CE O ∆中，CO =则tan EO ECO CO ∠==∴直线CE 与平面PAC 所成角的正切值为1326；方法二：建立直角坐标系如图所示，设直线CE 与平面PAC 所成角大小为α，则(0,0,0)A，C ，(0,0,4)P，E ，∴(,0,2)CE =-，AC =，(0,0,4)AP = ，设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则有040AC n AP n z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，故不妨(1,2,0)n =-，则||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n α⋅=<>===⋅，从而可得cos α=tan 13α=，∴直线CE 与平面PAC 所成角的正切值为1326．考点：1．线面平行的判定与性质；2．线面垂直的判定与性质；3．线面角的求解． 18．（1）详见解析；（2）3(,)2-+∞． 【解析】试题分析：（1）利用已知条件结合11n n n a S S ++=-可得到数列{}n S 的一个递推公式，再根据条件即可得证；（2）分析题意可知问题等价于10n n a a +->对任意*n N ∈恒成立，作差参变量分类后即可求解．试题解析：（1）由题意有n n n n n S a S S 2211+==-++，即n n n S S 231+=+，∴1112332322n n n n n n nn n n b S S b S S +++++⋅===++，又∵2a ≠-，∴120b a =+≠，∴数列{}n b 是以2+a 为首项，3为公比的等比数列；（2）题(1)得1113)2(32--⋅+=⋅=+n n n n a b S ，∴1(2)32n n n S a -=+⋅-①，211(2)32(2)n n n S a n ---=+⋅-≥②， 两式相减得12232)2(---⋅⋅+=n n n a a ，2n ≥，而1a a =不符合上式， 又∵数列{}n a 是单调递增数列，∴2120a a a -=+>，得2a >-， 且1211(2)232(2)2320n n n n n n a a a a ---+-=+⋅⋅--+⋅⋅+>，2n ≥， 即214(2)32n n a --+⋅>，化简得n a )32(892⋅>+，即23->a ，综上可得，实数a 的取值范围是3(,)2-+∞．考点：1．数列的通项公式；2．数列的单调性；3．恒成立问题．【思路点睛】数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列，故数列的单调性的常用判定方法：1．利用数列的背景函数来研究其单调性；2．利用1n a +与n a 的大小关系来判断其单调性． 19．（1）14t ≥；（2）104t <<． 【解析】试题分析：（1）分析题意可知，不等式无解等价于222x x t +≥恒成立，参变分离后即再进一步等价为2max (22)x x t ≥-+，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令0k a u =>，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于t 的不等式即可求解．试题解析：（1）∵222log (2)log 2x x t x +<=，∴222xx t +<无解，等价于222xxt +≥恒成立，即222()xxt g x ≥-+=恒成立，即max ()t g x ≥，求得21max 1()(1)224g x g --=-=-+=，∴14t ≥；（2）∵2()log ()xa f x a t =+是单调增函数，∴()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即22m m n na t aa t a+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，问题等价于关于k 的方程20kk aa t -+=有两个不相等的解，令0k a u =>，则问题等价于关于u 的二次方程20u u t -+=在(0,)u ∈+∞上有两个不相等的实根，即1212000u u u u +>⋅>∆>⎧⎪⎨⎪⎩，即014t t ><⎧⎪⎨⎪⎩，得104t <<．考点：1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．20．（1）2x y =；（2）14a =． 【解析】 试题分析：（1）将条件中的抛物线的方程化为抛物线的标准方程，再根据抛物线的焦点坐标为(0,1)即可建立关于a 的方程，从而求解；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，从而首先可将过A ，B 的抛物线的切线方程求出，再根据以线段AB 为直径的圆经过点M ，从而可知0MA MB ⋅=，建立关于a 的方程，即可求解．试题解析：（1）抛物线的方程可化为：y a x 12=，则4141=a ，1=a ，∴抛物线的方程为2x y =；（2）假设存在直线1l ，2l ，使得以线段AB 为直径的圆经过点M ，∵直线l 与抛物线相交于两点，∴直线l 斜率存在；设直线l 的方程为1+=kx y ，代入抛物线方程中得：012=--kx ax ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则a k x x =+21，ax x 121-=，设过A 作抛物线2ax y =的切线方程为：11()y m x x y =-+代入2ax y =，消去y 得0112=-+-y mx mx ax ，由0∆=可得12ax m =，∴1l 的方程：)(21121x x ax ax y -=-，同理可得 2l 的方程：)(22222x x ax ax y -=-， 由中点坐标及直线1l 的方程可知1212(,)2x x M ax x +即，(,1)2kM a-，则211(,1)2k MA x ax a =-+ ，222(,1)2k MB x ax a=-+ ，∵以线段AB 为直径的圆经过点M ，∴MA MB ⊥ ，则22222212121212122()()(1)(1)()2224k k k k MA MB x x ax ax x x x x a x x a a a a ⋅=--+++=-+++ ()2121221a x x x x ⎡⎤++-+⎣⎦22111()404k a a a=-+-=①，∵以线段AB 为直径的圆经恒过点M 即①式恒等，则2110141440a a a a⎧-=⎪⎪⇒=⎨⎪-=⎪⎩． 考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．抛物线的切线方程；3．平面向量数量积的坐标表示．【方法点睛】函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．。