浙江省杭州市2017_2018学年高三数学第一次月考试题2017122502126

浙江省杭州市2017-2018学年高三数学第一次月考试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合{P x =∈R 3}x ≥，{21,x
Q y y x ==-∈R }，则P
Q =
A ．(,3](1,)-∞-+∞
B ．(,3](1,)-∞--+∞
C ．(,1)
[3,)-∞+∞ D ．(,1)[3,)-∞-+∞
2．已知a R ∈,则“|1|||1a a -+≤”是“函数x y a = 在R 上为减函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列不可能成立的是 A ．()2016201620150a S S -= B ．()2016201620140a S S -=
C ．()()20162013201620130a a S S --=
D ．()()20162012201620120a a S S --=
4．已知单位向量a 和b 满足+=
-a b b ，则a 与b 的夹角的余弦值为
A ．13-
B ．23-
C ．13
D ．2
3
5．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则△ABC 的形状一定是
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
6、将函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
图象向右平移m （0m >）个单位，得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则m 的最小值为 A ．
3π B ．4π C ．6
π D ．12π
7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6
f x f π
≤对任意x R ∈恒成立，且
()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B ．,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ C ． 2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤+
+
∈⎢⎥⎣
⎦ D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
8．不等式组220,
10,2340x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为
A ．
1225π B ．1725π C ．3π D ．165
π
9．已知实数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则
151959
149
a a a a a a ++
A ．有最大值
12 B ．有最小值12 C ．有最大值52 D ．有最小值52
10．对于函数()f x ，若存在0Z x ∈，满足()01
4
f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近零
点”．已知函数()()2
0f x ax bx c a =++>有四个不同的“近零点”，则a 的最大值为
A ． 2
B ． 1
C ．
12 D ．1
4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题 (本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．) 11．函数()2cos(4)13f x x π
=+
-的最小正周期为 ▲ ，()3
f π
= ▲ ．
12．已知数列}{n a 中，满足33=a ，且21+=+n n a a ，则=+42a a ▲ ，n a = ▲ ． 13．已知正数y x ,满足1=+y x ，则x y -的取值范围为 ▲ ，
y
x
x +1的最小值为 ▲ ． 14．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数
x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的
“倒函数”，且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时，
()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.
15．设1221,0,(),0,
x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩若x 满足()3f x ≥，则21log ()1x x +-的最大值为 ▲ . 16．正△ABC 的边长为1，向量y x +=，且2
3
21,
1,0≤+≤≤≤y x y x ，则动点P 所形成的平面区域的面积为 ▲ ．
17．已知函数|1|2-=x y 的图象与函数2)2(2++-=x k kx y 的图象恰有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．
三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分15分)
在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，．已知sin sin sin tan A B C C =．
（I ）求22
2
a b c +的值；
（II
）若a =，且△ABC 的面积为4，求c 的值．
19. (本小题满分15分)
如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2
，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．
20． (本小题满分15分)
已知函数4)(2--=ax x x f （a ∈Ｒ）的两个零点为12,,x x 设12x x < . （Ⅰ）当0a >时，证明：120x -<<．
（Ⅱ）若函数|)(|)(2x f x x g -=在区间)2,(--∞和),2(+∞上均单调递增，求a 的取值范围.
21．（本题满分15分）已知函数2
()2ln ,f x x a x a R =+∈． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；
（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
22（本小题满分14分）
数列{}n a 是公差不为零的等差数列，56a =．数列{}n b 满足：13b =，11231n n b bb b b +=⋅⋅⋅+．
()I 当2n ≥时，求证：
11
1
n n n b b b +-=-； ()II 当31a >且3a *∈N 时，3a ，5a ，1
k a ，2k a ，⋅⋅⋅，n k a ，⋅⋅⋅为等比数列．
()i 求3a ；
()ii 当3a 取最小值时，求证：
1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a ⎛⎫
+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪----⎝⎭
．
数学答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 二、填空题 (本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．
,02π 12．32,6-n ， 13．(1,1),3- 14．.1[,1]2
，1
[,2]2
15．22log 5-+ 16．
8
3
3 17． 0≤k 或1=k 或4≥k 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分15分)
解：（I ）由已知sin sin sin tan A B C C ⋅=⋅得2
cos c C ab =．…………………………2分
又222
cos 2a b c C ab +-=， …………………………4分
故2
2
2
3a b c +=，故
22
2
a b c +的值为3． …………………………6分
（II ）由2a =
，2223a b c +=得2
b c =． …………………………8分
由余弦定理得cos 5C =
， 故sin 5
C =． …………………………12分
故
1422c ⋅=，得4c =． …………………………15分 19解 设AB →＝a ，BC →
＝b 为一组基底，
则AE →
＝a ＋23b ，DC →＝13
a ＋
b .
因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线， 所以存在λ和μ使AP →＝λAE →
＝λa ＋23λb ，
DP →
＝μDC →＝1
3
μa ＋μb .
又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋1
3
μ)a ＋μb ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝23＋13μ，2
3λ＝μ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝6
7，μ＝4
7.
所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47
＝8(cm 2
)，
S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17
＝2(cm 2)，
于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2
)．
20．(本小题满分15分)
解： （Ⅰ）证法1：由求根公式得：
1x =
因为0a >
，所以，一方面：10x =<=，…………………4分
另一方面，由120x +==> ，
得1 2.x >- 于是，120.x -<< …………………………7分 证法2：因为()f x 在区间(,)2a -∞ 上单调递减，在(,)2
a +∞ 上单调递增，
所以，当0a > 时，()f x 在区间（-2,0）上单调递减.………………………4分
又因为：(2)(0)2(4)0f f a -⋅=⋅-<，所以：120x -<<．…………………………7分
(Ⅱ) ⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤≤--<+=.
,4;,42;,4)(2212
1x x ax x x x ax x x x ax x g …………………………９分
若,0≤a 则)-)(1x x g ，在（∞上单调递减，从而)(x g 在区间)2,(--∞上不可能单调递增，于是只有0>a . …………………………11分
当 0>a 时，由（1）知：021<<-x ，于是，由)(x g 在),(1x -∞上单调递增可知，)(x g 在)2,(--∞也是单调递增的． …………………………13分
又因为)(x g 在),4(2x a
和),(2+∞x 均单调递增，结合函数图象可知，),4
()(+∞a x g 在上
单调递增，于是，欲使)(x g 在（2，+∞）上单调递增，只需4
2a
≥
，亦即8≤a ． 综上所述，]8,0(∈a a 的范围是. …………………………15分
21．解：（Ⅰ）2'
22()()2a x a f x x x x
+=+=
由'
(1)220f a =+=，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到极小值，故1a =-.
（Ⅱ）由()0f x >，即2
2ln 0,x a x +>对任意[1,)x ∈+∞恒成立.
（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，2
2ln 0,x a x +>得2
2ln x a x
>-
令2()(1)2ln x g x x x
=->，得'2
(2ln 1)()2ln x x g x x -=-； 若1x <<，则'
()0g x >；
若x >'
()0g x <.得()g x 在上递增，在)+∞上递减。

故2
()(1)2ln x g x x x
=->的最大值为g e =-所以a e >-综合（1）（2）得a e >- 22． (本小题满分14分)。