函数的奇偶性

y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 …
O
x
f (x)=|x|
y
问题： 问题： 1、对定义域中的每一个x， 对定义域中的每一么 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？ 关系？
x … -2 -1 0 1 2 …
O x
y … 2 1 0 1 2 …
数y=f(x)ˆ?图 y=f(x)ˆ?图 ˆ? 关 y轴对称
1、对 义 个x，-x„ „ºˆ)ˆ“ 义 内； f(x)=f(2、都 f(x)=f(-x)
果对 f(x)ˆ?ˆ“ ˆ?ˆ“义 果对 数f(x)ˆ?ˆ“义 内 f(f(x)， 个x，都 f(-x)= f(x)，那么 数f(x) Šù叫 叫 数。
1 f ( x) = x
x …
y 3
-2
-1
1
2 …
y … -0.5 -1
1 0.5 …
2
1
•M
O 1 2
（x，f（x）） ， （ ））
3 x
-3
M `•
-2
-1 -1
（-x，-f（x）） ， （ ））
-3
-2
因为点M`在函数图象上， 因为点 在函数图象上， 在函数图象上 所以其坐标又为（ ， （ ）） 所以其坐标又为（-x，f（-x））
-1
.
3、若奇函数f(x)在【3，7】上有最小值5，则 f(x)在【-7，-3】上有最 大 值为 -5 。
1 4 +1
x
1 4、若 f（x） a + x 为奇函数,求常数a的值. = 4 +1
4、若 为奇函数,求常数a的值. 解：∵f（x）是奇函数 ∴f（-x）=-f（x） 1 1 即 a+ − x = -a- x
判定函数奇偶性基本方法: 判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 先看定义域是否关于原点对称, 再看f( x)与f(x)的关系 f(的关系. 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称. 看图象是否关于原点或y轴对称.
习题: 习题:
例1 判断下列函数的奇偶性 1.y=+1,x∈ 1.y=-2x2+1,x∈R; 是偶函数 是奇函数 2.f(x)=2.f(x)=-x｜x｜; 3.y=-3x+1; 不是奇函数也不是偶函数 3.y=,x∈ 3,-2,4.f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2}; 非奇非偶函数 5.y=0,x∈ 5.y=0,x∈[-1,1]; 既是奇函数也是偶函数
4 +1
= f（x） a +
1 4x +1
4 +1
2a= -
1 4 x + 1
-
1 4−x + 1
= -（ ）= -1
4 x + 1 + 4−x + 1 （4 − x + 1）（4 x + 1）
）
= -（ ∴a = -0.5
4 x + 1 + 4−x + 1 1 + 4 x + 4−x + 1
函数y=f(x)的图象 的图象 函数 关于原点对称
1、对定义域中的每一 、 个x，-x是也在定义 ， 是也在定义 域内； 域内； 2、都有 、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域内任意 的定义域内任意 如果对于函数 一个x，都有f(-x)=- f(x)，那么函数 一个 ，都有 ，那么函数f(x) 就叫做奇函数。
1+ x 6. f ( x) = ( x −1) 1− x
非奇非偶函数
例2： 1、已知f（x）为偶函数，在（-∞，0）上是增 函数，则在（0， ∞ ）上是（ B ） A.增函数 B.减函数 C.无法确定 2、若f(x)、g(x)都是奇函数， h(x)=af(x)+bg(x)+2,且h(3)=5，则=