1.3.1第1节 正方形的性质与判定
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所以EF=HG. 所以△AEF≌△BHG（SAS）. 所以∠1=∠3. 所以∠2=∠3. 因为∠2+∠CDE=90°，∠3+∠ABH=90°， 所以∠ABH=∠CDE.
6.正方形面积是1cm2,它的边长是 1cm，对角线长 2cm .
7.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使 AE=AC，则∠BCE的度数是 22.5°.
情景导入
情景导入
问题： 观察上面的图案，你认为什么样的四边形是 正方形？他们有哪些共同的特征？
1.有一组 邻边相等 ，并且有一个角是 直角的平行 四边形叫做正方形.
2.正方形的四个角都是 直角 ，四条边 相等 .
3.正方形的对角线 相等且 互相垂直平分 .
新识探究
正方形 矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
课堂小结
正方形的性质 ：
边： 正方形的对边平行且相等. 角： 正方形的四个角都是直角. 对角线： 正方形的两条对角线互相垂直平分且相 等，每一条对角线平分一组对角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
布置作业
完成 “课后作业”
C.AE=DG D.∠AGD=∠DAG
10.（鄂州中考）如图正方形ABCD的边长为4，E、F 分别为DC、BC中点. （1）求证：△ADE≌△ABF. （2）求△AEF的面积.
解：(1)因为四边形ABCD为正方形， 所以AB=AD，∠B=∠D=90°,DC=CB, 又因为E、F分别为DC、BC中点， 所以DE=BF，
点点对接
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE=∠DOF=90°， AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） 又DG⊥AE， ∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°. ∴∠EAO=∠FDO. ∴△AEO≌△DFO. ∴OE=OF.
点点对接
例2：如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意 一点，DE⊥AG，垂足为点E，延长DE交AB于点F.在线 段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH. 求证：∠ABH=∠CDE.
新识探究
正方形性质:
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
知识点一
1.正方形的边长为2cm,则它的对角线长为 2 2cm ， 面积为 4cm2.
2.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB 的度数为（ C ）
A.10° B.12.5° C.15° D.20°
解析：如图，要证∠ABH=∠CDE，可证明∠2=∠3.根据已知 条件可证明△ABG≌△DAF，得到∠1=∠2，AF=BG， DF=AG.由AG=DE+HG，可得EF=HG.因此可证明 △AEF≌△BHG，得到∠1=∠3.由此可得∠2=∠3.
点点对接
证明：正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°. 因为DE⊥AG， 所以∠2+∠EAD=90°. 因为∠1+∠EAD=90°， 所以∠1=∠2. 因为∠ABG=∠DAF=90°， 所以△ABG≌△DAF（ASA）. 所以BG=AF，AG=DF，∠BGA=∠AFD. 因为AG=DE+HG，DF=DE+EF.
新识探究 正方形
实验与观察二：转动菱形模型
新识探究
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
是正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形 是正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
新识探究
平行四边形，矩形，菱形，正方 形的关系!
新识探究
平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间有什么关系？
8.（凉山州中考）如图，菱形ABCD中，
∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正
方形ACEF的周长为（ C ）
A.14
B.15 C.16 D.17
9.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE 于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（ D ）
A.AG=BE B.△ABG≌△BCE
知识点一
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，
且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确
的是（ C ）
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90°
D.AG⊥BE
知识点二
4.正方形ABCD对角线相交于点O，AC=16cm,则DO= 8cm， BO= 8cm，∠OCD= 45.°
5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ C ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角
点点对接
例1：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O ，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.求证： OE=OF.
解析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形 的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°， AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO ，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.
平行四边形
矩正菱
形
方 形
形
新识探究
矩形
邻边 相等
正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边 相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.
新识探究
所以，正方形具有矩形的性质，同时又 具有菱形的性质.
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四 条边都相等.
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且 互相垂直平分.
所以△ADE≌△ABF（SAS）.
（2）由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2，
∴S△AEF =S正方形ABCD -S△ADE -S△ABF -S△CEF
=4×4- 1 ×4×2- 1 ×4×2- 1 ×2×2
2
2
2
=6.
（北师大版）
第一章 特殊平行四边形
第1节 正方形的性质与判定
第1课时
教学目标
1.掌握正方形的概念、性质，并能灵活运用. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和 区别. 3.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计 算.
教学重难点
重点：正方形的概念与性质. 难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.
6.正方形面积是1cm2,它的边长是 1cm，对角线长 2cm .
7.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使 AE=AC，则∠BCE的度数是 22.5°.
情景导入
情景导入
问题： 观察上面的图案，你认为什么样的四边形是 正方形？他们有哪些共同的特征？
1.有一组 邻边相等 ，并且有一个角是 直角的平行 四边形叫做正方形.
2.正方形的四个角都是 直角 ，四条边 相等 .
3.正方形的对角线 相等且 互相垂直平分 .
新识探究
正方形 矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
课堂小结
正方形的性质 ：
边： 正方形的对边平行且相等. 角： 正方形的四个角都是直角. 对角线： 正方形的两条对角线互相垂直平分且相 等，每一条对角线平分一组对角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
布置作业
完成 “课后作业”
C.AE=DG D.∠AGD=∠DAG
10.（鄂州中考）如图正方形ABCD的边长为4，E、F 分别为DC、BC中点. （1）求证：△ADE≌△ABF. （2）求△AEF的面积.
解：(1)因为四边形ABCD为正方形， 所以AB=AD，∠B=∠D=90°,DC=CB, 又因为E、F分别为DC、BC中点， 所以DE=BF，
点点对接
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE=∠DOF=90°， AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等） 又DG⊥AE， ∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°. ∴∠EAO=∠FDO. ∴△AEO≌△DFO. ∴OE=OF.
点点对接
例2：如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意 一点，DE⊥AG，垂足为点E，延长DE交AB于点F.在线 段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH. 求证：∠ABH=∠CDE.
新识探究
正方形性质:
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角 对角线：相等
互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
知识点一
1.正方形的边长为2cm,则它的对角线长为 2 2cm ， 面积为 4cm2.
2.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，则∠AEB 的度数为（ C ）
A.10° B.12.5° C.15° D.20°
解析：如图，要证∠ABH=∠CDE，可证明∠2=∠3.根据已知 条件可证明△ABG≌△DAF，得到∠1=∠2，AF=BG， DF=AG.由AG=DE+HG，可得EF=HG.因此可证明 △AEF≌△BHG，得到∠1=∠3.由此可得∠2=∠3.
点点对接
证明：正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°. 因为DE⊥AG， 所以∠2+∠EAD=90°. 因为∠1+∠EAD=90°， 所以∠1=∠2. 因为∠ABG=∠DAF=90°， 所以△ABG≌△DAF（ASA）. 所以BG=AF，AG=DF，∠BGA=∠AFD. 因为AG=DE+HG，DF=DE+EF.
新识探究 正方形
实验与观察二：转动菱形模型
新识探究
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
是正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形 是正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
新识探究
平行四边形，矩形，菱形，正方 形的关系!
新识探究
平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间有什么关系？
8.（凉山州中考）如图，菱形ABCD中，
∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正
方形ACEF的周长为（ C ）
A.14
B.15 C.16 D.17
9.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE 于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（ D ）
A.AG=BE B.△ABG≌△BCE
知识点一
3.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，
且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确
的是（ C ）
A.BE=AF
B.∠DAF=∠BEC
C.∠AFB+∠BEC=90°
D.AG⊥BE
知识点二
4.正方形ABCD对角线相交于点O，AC=16cm,则DO= 8cm， BO= 8cm，∠OCD= 45.°
5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ C ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角
点点对接
例1：已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O ，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.求证： OE=OF.
解析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形 的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°， AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO ，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.
平行四边形
矩正菱
形
方 形
形
新识探究
矩形
邻边 相等
正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边 相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.
新识探究
所以，正方形具有矩形的性质，同时又 具有菱形的性质.
正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四 条边都相等.
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且 互相垂直平分.
所以△ADE≌△ABF（SAS）.
（2）由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，
且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2，
∴S△AEF =S正方形ABCD -S△ADE -S△ABF -S△CEF
=4×4- 1 ×4×2- 1 ×4×2- 1 ×2×2
2
2
2
=6.
（北师大版）
第一章 特殊平行四边形
第1节 正方形的性质与判定
第1课时
教学目标
1.掌握正方形的概念、性质，并能灵活运用. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和 区别. 3.会运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计 算.
教学重难点
重点：正方形的概念与性质. 难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.