第六章 空间滤波N

第六章 空间滤波 习题
[6.1] 利用阿贝成像原理导出相干照明条件下显微镜的最小分辨距离公式，并同非相干照明下的最小分辨距离公式比较。

解：在显微镜下观察的微小物体可近似看作是一个点，且物近似位于物镜的前焦点上，如附图6.1所示。

对于相干照明，系统的截止频率由物镜孔径限制的最大孔径角0θ决定，即由镜头边缘对物平面中心所张的最大孔徑角0θ决定。

故f
D
f c λλ
θ2sin 0
≈
=。

截止频率的倒数即为相干系统可分辨的最小空间周期c δ或分辨距离，即
D f c λθλ
δ2sin 0
==。

对于非相干照明，由瑞利判据及图2.5.6可知其分辨距离为0sin f f δ
θθ
=≈。

亦即
1.22/0.61(2/)f D f D δλλ==。

由此可见，非相干照明时显微镜的分辨率大约为相干
照明时的两倍。

附图6.1 习题[6.1]图示
[6.2] 在f 4系统输入平面处放置40线/mm 的光栅，入射光波长为632.8nm ，为了使频谱面上至少能够获得5±级衍射斑，并且，相邻衍射斑间距不少于2mm ，求透镜的焦距和直径。

解：设光栅尺寸很大，可近似看成无穷大，则其透过率函数可表示成：
()⎪⎭
⎫
⎝⎛*⎪⎭⎫ ⎝⎛=d x d a x x t comb 1rect
其频谱为： ()∑⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛=m x x d m f d ma c d a f T δsin 即谱点位置由d
m
f x =确定，其空间坐标为：
()2 0, 1, 2,x x ff m f d m λλ===±±
相邻衍射斑之间的间距为：d f x
λ=∆，由此求得焦距为：mm 79=∆=λ
xd f
物透明片位于透镜前焦面，谱面在后焦面，谱面上的±5级衍射斑对应于能够通过透镜的最大空间频率，即要求
d
f D f x 5
21sin ==
=
λλ
θ
故所求透镜直径为 10
10 20mm f
D x d
λ==∆=
[6.3] 利用f 4系统做阿贝-波特实验，设物函数)(11y x τ为一正交光栅：
11111111122211()x x y y x y rect comb rect comb a b b a b b τ⎡
⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=**⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣
⎦
其中，21,a a 分别为y x ,方向上缝的宽度，21,b b 则是相应的缝间隔。

频谱面上得到如附图6.2（a ）所示的频谱。

分别用附图6.2（b ）（c ）（d ）所示的3种滤波器进行滤波，求输出面
上的光强分布。

附图6.2 习题[6.3]图示
解：（1）采用滤波器（b ）时
()2
231133211142,sin cos x a a I x y c C b b b π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）采用滤波器（c ）时，有两种可能的结果，参见图6-1-11和图6-1-12。

（3）采用滤波器（d ）时，输出面上将得到余弦光栅结构的强度分布，其方向与滤波狭缝的方向垂直，周期为b ’，它与物光栅周期12,b b 的关系为：
2
12221
111⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+='b b b
[6.4] 用相衬法观测一位相物体，若人眼可分辨的最小对比度V=0.03，所用光波波长
=λ600 nm ，试问：
（1） 当位相板上零级谱的振幅透过率1=τ时，可观察到的最小位相变化是多少？
（2） 当01.0=τ时，可观察到的最小位相变化又是多少？ 解：定义对比度为：
(),x y V -=
处的强度背景强度背景强度
则由式（6.2.6）及题设，应有：
()()03.0,2,22
22==-+=τ
φτττφτy x y x V 遂得
（1）
当1=τ时，ππ
φ0075.02
015.0min =⨯
=
（2） 当01.0=τ时，π
π
φ000075.02
01.0015.0min
=⨯
⨯=
[6.5] 用相衬法来检测一块透明玻璃的不平度，用λ=632.8 nm 的光照明，设人眼能分辨的最小对比度V=0.03，玻璃的折射率0n =1.52，求在下面两种情况下玻璃的不平度：
（1） 使用完全透明的位相板； （2） 使用光强透过率为
25
1
的位相板。

解：仿上题有 ()
03.0,2==
τ
φy x V
（1）使用完全透明的位相板时1=τ，ππ
φ
0075.02
015.0=⨯
=；而
l n G ∆=
λ
π
φ2，故56.12==
∆π
λφ
G n l nm ；
（2）0.2 ,=0.0150.20.0015 ,
2πτφπ==⨯⨯=故 0.00150.31 2G l nm n λ
=⨯=
[6.6] 当泽尼克相衬显微镜的相移点还有部分吸收，其强度透过率等于α()01α<<时,
求观察到的像强度表示式。

解：按题设，其强度吸收为α，透镜后焦面上的振幅透射率函数遂可表示为：
()⎪⎩⎪⎨
⎧
≤
±=其他
1
2
,,22f
y x a
i y x λε
τ
其中ε为一小量，相当于相移点的大小。

当透明物体经过透镜理想成像时，像场振幅分布为：
()⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+±=
M y M x i i M
y x U i 3333,1,φα ① M 为放大倍数。

像的光强度分布为：
()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--±≈
=M y M x M y x U y x I i i 3322
3333,21,,φαα ② 上式表明像的对比度是αφ2。

当相移点没有这种吸收时，像的对比度为2φ。

又由于
1α<，故使用有吸收的相移点，能使像的对比度改善。

[6.7] 用CRT 记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为0.2mm ，图像最高空间频率为10线/mm 。

如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，那么空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何？设傅里叶变换物镜的焦距'f =1000mm ，
=λ632.8nm 。

解：扫描点的表达式为：
()()∑∑--=m
n
ny y mx x y x f 010111,,δ
其频谱为
()()
∑∑∑∑⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==+-m n y x m
n
ny f mx f i y x y n f x m f y x e
f f F y x 00002,1,0
0δπ 可见其频谱仍是点状结构，其位置由下式确定：
202,y n
f y x m f x ==λλ
点状结构是高频成分，可采用低通滤波器将其滤掉。

低通滤波器的孔半径为：
mm 164.30
2==
=x f
x r λ
能传递的最高空间频率为：mm 51
sin 0
max 线====
x f r λλθρ 高于此值的空间频率成分将被滤除，故输出图像的分辨率为m m 5线
[6.8] 某一相干处理系统的输入孔径为边长等于30mm 的方孔，第一个变换透镜的焦距为100mm ，波长是632.8nm 。

假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较，问此模片在焦平面上的定位必须是精确到何种程度？ 解：按题意，系统的光瞳函数为：()⎪⎭
⎫
⎝⎛=30,30rect ,
y x y x P
设系统的输入面位于透镜的前焦面，物透明片的复振幅分布为()11,y x f ，考虑到系统孔径有限，透镜后焦面上的场分布为：
()()()()y x y x y x f f f f f F y x y x f F f f U 30,30sinc ,90030,30rect ,,111
1*=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛= 式中f
y
f f x f y x λλ22,==
；由上式可见，频谱面上能分辨的细节由()y x f f 30,30sinc 决定。

将sinc 函数由最大值降为零的宽度取为最小分辨单元，即令
130 ,130=∆=∆y x f f
遂有 m f
y x μλ1.230
22==
∆=∆
由于频谱平面模片也有同样的细节，故其对准误差最大也不允许超过它的一半，约m μ1。

[6.9] 在f 4系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d =4，线宽a =1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响：
（1） 写出傅里叶平面2P 上的频谱分布表达式；
（2） 写出输出面上的复振幅和光强分布表达式；
（3） 在频谱面上放置一高通滤波器，挡住零频分量，写出输出面上的复振幅和光强
分布表达式；
（4） 若将一个π位相滤波器：
⎩
⎨⎧≤=其它 0,, )(0
02222y x y x e y x H i π
放在2P 平面的原点上，写出输出面上复振幅和光强的表达式。

（00,y x 表示一很小的定值）
解：（1）()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 4141sinc 4141sinc sinc 41x x x
x f f f f T δδ
（2）()()⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*=
4comb rect 4133
3x x x t
()()
()2
332
334comb rect 161⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*==x x x t x I
（3）
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*=4rect 414comb rect 413333x x x x t
()()
()2
3332
334rect 4comb rect 161⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*==x x x x t x I （4）
()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛*+-=4rect 414comb rect 41rect 4133333x x x x x t
[6.10] 如附图6.3所示，欲将字母F 、H 、L 中的现条除去，应采用怎样的滤波器？试分别算出相应的结果（设透镜焦距f =1 m,入射光波长λ＝632.8nm ）。

附图6.3 习题[6.10]图示
解：附图6.3 中各字母上的线条具有光栅结构，其透过率函数可写成
1111()x x t x rect comb a d d ⎛⎫⎛⎫
=* ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若将各图像置于4f 系统的输入面，则其频谱为：
() sin ()() = sin x x x x m T f c af comb df a am m c f d d d δ∞=-∞=⎛⎫⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭∑ 式中
22/, x f x f x λ=为频谱面上的位置坐标。

上式说明图像中的线条经透镜1L 变换后，
在频谱面上形成一系列分立的频谱，其中心位置分别是：
220, , , , f
f m f
x d
d d
λλλ=±
±
±
因此，若令/ ,x f d λ=则在与相应线条垂直的方向上，把距离中心为 ±x 、±2x 、±3x 、…等位置涂黒，就是所要求的滤波器。

按照题设透镜焦距 f = 1 m,入射光波长632.8 nm ,λ=则对于F 、H 、L 三个图形，()
01.5cos301,299 mm ,F d
=⨯=()
0 d
1cos45H =⨯=0.707mm,
()0 d 0.5cos 00.5 L mm =⨯=.代入公式 f
x d
λ= 算得：
()()()0.487 ,300.895 mm , 45 x 1.266 mm ,0.F H L x mm ===方向；x 方向；方向
连绵阴雨，没出息的又想你了。

闺蜜说我过得不快乐，不然不会想到你，至少不会那么的想你。

好吧，我承认。

都没人接受我的好，没人需要我陪着了。

以前爱你，很累，但却很快乐，因为你也会有需要我的瞬间，即使短，但总会有些许的存在感。

并非青梅竹马，却至那以后爱上的人都像你。

只不过，以后还未到来。

无意间翻看浏览量，你的名字仿若闪光般映入眼帘，这一刻不知是怎样的感觉，欣喜，失落，麻木，装作无所谓，也只有你能让我瞬间不知该晴或雨。

即使离别两载，也挥之不去有你的好。

记忆中有你的时光总是那么的美好，却不知为何，落于笔下的文字却总那么心痛。

看着身边有人默默无闻的爱着另一个人，当她问及时，却不得不安慰她说：“你别多想，咱们只是朋友，最最好的那种。

”
落于耳畔，酸楚的咀嚼，脑中心里全都是你。

“你不会还喜欢我呢吧？”良久以后“没有了吧”轻触屏幕发给了那边满不在乎的你。

“那就好”你放心了，可惜，你却看不见紧握屏幕的我的手。

原来，我于你，从来都是一种负担。

你要飞翔而我爱的太重……。