保持ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子

保持ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子
杨阳;任苗苗;邵勇
【摘要】In this paper it studies invertible linear operators which preserve Moore-Penrose inverse of matrices over ai-semirings, and it is completely characterized that invertible linear operators which preserve Moore-Penrose inverse of matrices over special classes of semirings, including chain semiring, distributive lattice and general Boolean algebras.%研究了保持ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的可逆线性算子，并完全刻画了保持链半环、完全分配格、n元布尔半环等特殊ai-半环上矩阵 Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2015(000)008
【总页数】5页(P37-41)
【关键词】ai-半环;线性算子;Moore-Penrose逆
【作者】杨阳;任苗苗;邵勇
【作者单位】西北大学数学系，西安 710127;西北大学数学系，西安 710127;西北大学数学系，西安 710127
【正文语种】中文
【中图分类】TN911.72
设 (S,+,⋅,0,1)是一个（2，2，0，0）-型代数，其中 +和⋅是二元运算，0和1是零元运算。

若S满足下列条件：
（1）(S,+,0)是可换幺半群。

（2）(S,⋅,1)是幺半群。

（3）a ⋅(b+c)=a ⋅b+a ⋅c,(a+b)⋅c=a ⋅c+b ⋅c(∀a,b,c∈S)。

（4）0⋅a=a⋅0=0(∀a∈S)。

（5）0≠1。

则称(S,+,⋅,0,1)是半环。

若对任意的a∈S,有a+a=a,则称S为加法幂等元半环。

即ai-半环。

若(S,⋅,1)是可换的，则称S是可换的。

若对任意的a,b∈S,a+b=0蕴含
a=b=0,则称S是反环。

设S是ai-半环。

Mn(S)表示S上n阶矩阵的全体，I是n阶单位矩阵，Ο是n阶零矩阵。

对于任意的A∈Mn(S),ai j表示(i,j)处的元素，并记AT为 A的转置。

设A,B∈Mn(S)。

定义 Mn(S)上的+和⋅如下：
容易验证，在上述定义的运算下，(Mn(S),+,⋅,Ο,I)是半环（见文献[1-3]）。

设A,B∈Mn(S)。

若存在G∈Mn(S),使得满足下列条件：
则称G是 A的Moore-Penrose逆。

将G记作A+（见文献[4]）。

设T是Mn(S)上的一个算子。

若对任意的A,G∈S,G是A的Moore-Penrose逆
蕴含T(G)是T(A)的Moore-Penrose逆，则称T保持矩阵Moore-Penrose逆。

线性保持问题是矩阵论中最活跃的课题之一。

它主要是对保持映射、关系、子集等不变量的线性算子进行分类。

许多学者探讨了保持半环上矩阵不变量的线性算子。

Song，Kang，Dolzan和Oblak在文献[1，5]中研究了保持幂等矩阵的线性算子。

Beasley，Song，Kang和Btown在文献[6-7]中研究了保持term rank的线性算子。

Bu和任苗苗在文献[8-9]中研究了保持矩阵{1}-逆的线性算子。

曹重光在文献[10]中研究了环上矩阵保群逆的线性算子。

曹重光，郝立丽在文献[11]中研究了域上保持群逆的线性算子。

一些学者研究了不同代数系统上保持矩阵M-P逆的线性算子。

刘玉，张显在文献[12]中研究了域上保持矩阵Moore-Penrose逆的线性算子。

曹重光在文献[13]中研究了矩阵空间上Moore-Penrose逆的线性算子。

张显，曹重光在文献[14]中研究了半环上强保持矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子。

在上述研究的基础上，本文研究ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子，刻画保持几类特ai-半环上矩阵的Moore-Penose逆的可逆线性算子。

1 预备知识
为了方便叙述，Z+表示正整数的全体，-n表示{1,2,…,n}(n∈Z+)。

设C是链，其中0是最小元，1是最大元，且0≠1。

定义C上的+和⋅如下：
a+b=max{a,b},a⋅b=min{a,b}
则(C,+,⋅,0,1)成为半环，称其为链半环。

显然，链半环一定是ai-半环，且是反环。

如不作特别说明，下文出现的S均表示ai-半环。

设A∈Mn(S) 。

定义λA=[λaij]n×n,Aλ=[aijλ]n×n 。

A的乘方定义如下：
设T是Mn(S)上的算子。

若T满足对任意的A,B∈Mn(S),a∈S有
T(A+B)=T(A)+T(B),T(aA)=aT(A),T(Aa)=T(A)a,则称T是Mn(S)上的线性算子。

设A,B∈Mn(S)。

则A和B的Schur积A°B∈Mn(S),定义如下：
设A∈Mn(S)。

若存在B∈Mn(S),使得AB=BA=I,则称A是可逆矩阵。

对任意矩阵P,如果P的每一行和每一列都只有一个非零元，且非零元是1，那么称P是排列矩
阵。

值得注意的是，若 P是排列矩阵，则PPT=PTP=I。

文献[3]证明了Mn(B1)中排列矩阵是仅有的可逆矩阵（其中B1是二元布尔代数）。

Ei j∈Mn(S)表示(i,j)位
置为1，其余位置为0的矩阵。

称这样的Eij是原子。

记Eij={Eij|i,j∈}。

对任意的Eij,Ekl∈En,容易得到当j=k时，Eij⋅Ekl=Eil；当j≠k时，Eij⋅Ekl=Ο（见文献[1]）。

2 保持特殊ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子
引理2.1[1]设S是可换反环，是线性算子。

则T是可逆的充分必要的条件是存在{(i,j)|i,j∈}上的排列α和可逆元bij∈S,i,j∈,使得T(Eij)=bijEα(i,j)。

设U(S)表示S中所有逆元的集合。

定理2.1设S是可换ai-半环且S是反环，T是Mn(S)上的线性算子。

若T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子，则存在P,B∈Mn(S),使得：
其中 P 是排列矩阵，bij∈U(S)(∀i,j∈)。

证明对任意的Eij,Eji∈En,有：
从而有Eji是Eij的Moore-Penrose逆。

由于T是保持矩阵Moore-Penrose逆
的可逆线性算子，则T(Eji)是T(Eij)的Moore-Penrose逆。

即
又由引理2.1知，存在{(i,j)|i,j∈上的排列α和bij,bji∈U(S)(i,j∈),使得：
令T(Eij)=bijEpq,T(Eji)=bjiErs。

则可推出bijbjibij=bij,bjibijbji=bji,且(i,j)=(p,q)。

从而有，bijbji=1,T(Eji)=bjiEqp。

接下来，讨论i,j与 p,q的关系。

对任意的Eij,Ekl∈En,(Eij)+=Ekl当且仅当Ekl=Eji。

由T是可逆线性算子，则存在σ∈Sn（n次对称群），使得对任意的i∈,T(Eii)=biiEσ(i),σ(i)。

又由推出。

在
Mn(S)中取。

定义 Mn(S)上的算子T1：T1(X)=PTT(X)P。

易验证，T1仍是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

并且对任意的i∈-n,T(Eii)=biiEii。

假设p≠i,p≠j(i≠j)。

令 A=Eij+Eji+Epp。

由 A+=A且T是保持矩阵Moore-Penrose逆，可得到(T(A))3=T(A)。

而
矛盾。

从而有 p=i或 p=j。

类似地，q=j或q=i。

因此，T(Eij)=bijEi,j或 bijEji。

当n≤2时，结论显然成立。

下面讨论n≤3的情形。

对某个 E ij∈En(i≠j),设T1(Eij)=bijEij。

假设存在k≠i,j使得T1(Eik)=bikEki。

则由(Eii+Eij+Eik)+=Eii+Eji+Eki可推出：
即
矛盾。

因此，对任意的Ers∈En,有T1(Ers)=brsErs。

从而有：
故T(X)=PT1(X)PT=P(X°B)PT。

类似地，若对Eij∈En,T1(Eij)=bijEji,则存在B∈Mn(S)使得T(X)=P(XT°B)PT。

证毕。

3 保持有界分配格上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子
上一章讨论了保持ai-半环上矩阵Moore-Penrose逆的线性算子的表达式。

本章给出特殊的ai-半环——有界分配格上保持矩阵Moore-Penrose逆的线性算子的刻画。

设(L,,,0,1)是一个有界分配格，其中0是最小元，1是最大元。

定义L上的+和⋅如下：
故 (L,,,0,1)是一个 ai-半环。

显然 (L,,,0,1)也是反环。

易知，链半环是有界分配格。

定理3.1设C是链半环，T是Mn(C)上线性算子。

则T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子的充分必要条件是存在排列矩阵P∈Mn(C),使得：
证明 (⇒)。

设C是链半环，T是C上保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

由引理2.1知，存在排列矩阵P和B=[bij]n×n（bij为可逆元），使得对任意的X∈Mn(C),有T(X)=P(X°B)PT(∀X∈Mn(C)),或T(X)=P(XT°B)PT(∀X∈Mn(C))。

又C中的可逆元只有1，因此，T(X)=PXPT(∀X∈Mn(C)),或
T(X)=PXTPT(∀X∈Mn(C))。

(⇐)。

设 T(X)=PXPT(∀X∈Mn(C))。

易验证，T是可逆的。

对任意的A,G∈Mn(C)。

若 A=AGA;G=GAG;(AG)T=AG;(GA)T=GA,则
故T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

类似可证T(X)=PXTPT的情形。

注1当S为B1时，结论同样成立。

接下来，讨论L是有界分配格的情况。

下文中，L均表示有界分配格。

引理3.1[15]设A∈Mn(L)。

则A可逆的充分必要条件是：
此时，A-1=AT。

由上述引理知，Mn(L)中的逆矩阵就是排列矩阵，那么很容易到下面定理。

定理3.2设L是有界分配格，T是Mn(L)上的线性算子。

则T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子的充分必要条件是存在可逆矩阵U∈Mn(L),使得：
推论3.1设L是有界分配格，T是Mn(L)上的线性算子。

若T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子，则T(I)=I。

给定k∈Z+。

设 Bk是 k元素集合Sk的幂集，σ1,σ2,…,σk表示 Sk的单元素子集。

φ记为0，Sk记为1。

定义：A+B=A∪B,A⋅B=A∩B(∀A,B∈Bk)。

则(Bk,+,⋅,0,1)
成为半环，称 Bk为广义布尔代数（见文献[1-3]）。

设L是有界分配格。

对任意的a∈L,称b∈L为a的余元素，是指ab=1,ab=0。

若对任意的a∈L都有余元素，则称 L是有余的分配格。

显然(Bk,+,⋅,0,1)是有余的分配格。

对于矩阵A∈Mn(B1),A的第l个组成部分Al∈Mn(Bk)。

定义如下：Al在(i,j)位置的元素是1当且仅当 aij⊇σl。

特别的，对于α∈Bk。

如果α⊇σl,那么αl=1。

否则，αl=0。

则 A可唯一地表示为称其为A的典范形式（见文献[1-3]）。

由于上述分解的唯一性和Bk中单元素集合两两正交幂等知，对任意的
A,B∈Mn(Bk),α∈Bk,l∈有(A+B)=Al+Bl,(AB)l=AlBl和(αA)l=αlAl。

给定 Mn(Bk)上的线性算子T,对于任意的l∈-k,定义Tl:Mn(Bk)→Mn(B1)如下：
又由T的线性性质可得
引理3.2[1]如果T是Mn(Bk)(k≥1)上的可逆线性算子，那么对于任意的是可逆线
性算子。

引理3.3设T是Mn(Bk)(k≥1)上的线性算子。

如果T保持矩阵Moore-Penrose 逆，那么对于任意l∈,Tl保持矩阵Moore-Penrose逆。

证明对于任意的A,G∈Mn(Bk)。

由于T是保持矩阵Moore-Penrose逆，对任意的A,G∈Mn(C)。

若
则
从而有：
故Tl保持矩阵Moore-Penrose逆。

引理3.4[3]设A∈Mn(Bk)(k≥1)。

则 A是可逆矩阵的充分必要条件是对于任意的l∈-k,Al是可逆矩阵。

特别的，如果A是可逆矩阵，那么A-1=AT。

定理3.3设T是A∈Mn(Bk)(k≥1)上的线性算子。

则T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子的充分必要条件是存在可逆矩阵U∈Mn(Bk),使得
T(X)=其中 Yl=Xl或
证明 (⇒)。

由引理3.2和3.3知，对任意的是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

又由定理3.1知，存在排列矩阵Pl∈Mn(B1),使得Tl(X)=,其中；或者,其中。

从而对任意的有：
其中。

令。

由引理3.3知，U是可逆矩阵。

故
(⇐)。

易证，T是可逆的。

对任意的A,G∈Mn(Bk),设,其中 (∀l∈-k)Cl=Al或设,其中 (∀l∈-k)Dl=Gl或。

若 A=AGA;G=GAG;(AG)T=AG;(GA)T=GA，则对任意的l∈,有：
成立。

那么
从而有：
故T是保持矩阵Moore-Penrose逆的可逆线性算子。

总结：本文研究了ai-半环上矩阵的Moore-Penrose逆的线性算子，刻画保持几类特ai-半环上矩阵的Moore-Penose逆的可逆线性算子。

拓展了线性保持问题
和M-P逆问题的相关结论。

由于作者能力和知识的局限性，本文还有提升和拓展的地方，希望大家批评指正。

【相关文献】
[1]Song S Z，Kang K T，Beasley L B.Idempotent matrix preservers over Boolean
algebras[J].J Korean Math Soc，2007，44（1）：169-178.
[2]Song S Z，Kang K T，Jun Y B.Linear preservers of Boolean nilpotent matrices[J].J Korean Math Soc，2006，43（3）：539-552.
[3]Song S Z，Kang K T.Linear maps that preserve commuting pairs of matrices over general Boolean algebra[J].J Korean Math Soc，2006，43（1）：77-86.
[4]陈艳平，谭宜家.关于半环上矩阵的广义逆[J].福州大学学报，2007，35（6）：797-802.
[5]Dolzan D，Oblak P.Idempotent matrices over antirings[J].Linear Algebra Appl，2009，431（5/7）：823-832.
[6]Beasley L B，Song S Z，Kang K T，et al.A comparison of term ranks of symmetric matrices and their preservers[J].Linear Algebra Appl，2013，438（10）：3745-3754.
[7]Beasley L B，Btown D E，Guterman A E.Preserving regular tournaments and term rank-1[J].Linear Algebra Appl，2009，431（5/7）：926-936.
[8]任苗苗，邵勇，赵宪钟.保持两类特殊半环上矩阵{1}-逆的线性算子[J].西北大学学报，2012，42（1）：7-11.
[9]Bu C J.Invertible linear maps preserving{1}-inverse of matrices over PID[J].J Appl Math Computing，2006，22（3）：255-265.
[10]曹重光.环上矩阵保群逆的线性算子[J].科学通报，1992，20（9/17）：1828-1832.
[11]郝立丽，曹重光.保群逆的线性算子[J].黑龙江大学学报，2003，20（2）：32-35.
[12]刘玉，张显.保持矩阵M-P逆的线性算子[J].南昌大学学报，1997，21（4）：364-368.
[13]Cao C G.Linear operators that preserve M-P inverse of matrices[J].Northeastern Math，1993，9（2）：255-260.
[14]Zhang X，Cao C G.Linear operators strongly preserving M-P inverses of matrices over some antinegative commutative semirings[J].Journalof MathematicalResearch and Exposition，1999，19（3）：508-514.
[15]赵翠魁.分配格中矩阵的可逆条件[J].内蒙古大学学报：自然科学版，1991，22（4）：477-480.。