上海澧溪中学七年级下册数学期末试卷测试卷 （word版，含解析）

上海澧溪中学七年级下册数学期末试卷测试卷 （word 版，含解析） 一、解答题
1．已知直线AB //CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按逆时针方向每秒3°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．
（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB '与QC '的位置关系为 ； （2）若射线QC 先转15秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为多少秒时，PB ′//QC ′．
2．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且
100EOF ∠=︒．
（1）求BEO OFD ∠+∠的值；
（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出
EMN FNM ∠-∠的值；
（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且
50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．
3．已知，如图1，射线PE 分别与直线AB ，CD 相交于E 、F 两点，∠PFD 的平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设∠PFM ＝α°，∠EMF ＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0
（1）α＝ ，β＝ ；直线AB 与CD 的位置关系是 ；
（2）如图2，若点G 、H 分别在射线MA 和线段MF 上，且∠MGH ＝∠PNF ，试找出∠FMN 与∠GHF 之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3），分别与AB 、CD 相交于点M 1和点N 1时，作∠PM 1B 的角平分线M 1Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1
FPN Q
∠∠的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 4．阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整． 证明：过点E 作EF //AB ， 则有∠BEF ＝ ． ∵AB //CD ， ∴ // ， ∴∠FED ＝ ．
∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
①如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； ②如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
5．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC 的BC 边放置于长方形直尺DEFG 的EF 边上． （1）根据图1填空：∠1＝ °，∠2＝ °； （2）现把三角板绕B 点逆时针旋转n °．
①如图2，当n ＝25°，且点C 恰好落在DG 边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n ＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n 的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
二、解答题
6．如图1，E 点在BC 上，A D ∠=∠．180ACB BED ∠+∠=︒．
（1）求证：//AB CD
（2）如图2，//,AB CD BG 平分ABE ∠，与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数．
（3）保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分,EBK DN ∠平分CDE ∠，作
//BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．
7．如图1，E 点在BC 上，∠A ＝∠D ，AB ∥CD ． （1）直接写出∠ACB 和∠BED 的数量关系 ；
（2）如图2，BG 平分∠ABE ，与∠CDE 的邻补角∠EDF 的平分线交于H 点．若∠E 比∠H 大60°，求∠E ；
（3）保持（2）中所求的∠E 不变，如图3，BM 平分∠ABE 的邻补角∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说理由．
8．如图1，//AB CD ，E 是AB 、CD 之间的一点．
（1）判定BAE ∠，CDE ∠与AED ∠之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若BAE ∠、CDE ∠的两条平分线交于点F ．直接写出AFD ∠与AED ∠之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G 得图3，若AGD ∠的余角等于2E ∠的补角，求BAE ∠的大小．
9．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b ，使直线b 经过点P ，且//b a ，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的 线．
（2）已知，如图3，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠．求证：//BE CF （写出每步的依据）．
10．已知ABC ，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F ．
（1）如图1，若点D 在边BC 上， ①补全图形； ②求证：A EDF ∠=∠．
（2）点G 是线段AC 上的一点，连接FG ，DG ．
①若点G 是线段AE 的中点，请你在图2中补全图形，判断AFG ∠，EDG ∠，DGF ∠之间的数量关系，并证明；
②若点G 是线段EC 上的一点，请你直接写出AFG ∠，EDG ∠，DGF ∠之间的数量关系．
三、解答题
11．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；
（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；
（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADP
ACB ABC
∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
变，请说明理由．
12．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 上一点，将△ABD 沿AD 翻折后得到△AED ，边AE 交BC 于点F ．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ． ① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
13．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角
BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则
CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
14．如图1，CE 平分ACD ∠，AE 平分BAC ∠，90EAC ACE ∠+∠=
()1请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；
()2如图2，当90E ∠=且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使
MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 点移动时，问BAE ∠与MCD ∠否存在确定的数量关系？并
说明理由．
()3如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持
不变，①当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD 的反向延长线上运动时（点C 除外），CPQ CQP ∠+∠与BAC ∠有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．
15．如图1，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABD ，DE 平分∠BDC ． （1）求证：∠BED ＝90°；
（2）如图2，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EDF＝α，∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G，试用含α的式子表示∠BGD的大小；
（3）如图3，延长BE交CD于点H，点F为线段EH上一动点，∠EBM的角平分线与
∠FDN的角平分线交于点G，探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系，请直接写出结
论：．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根
解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝
3°×10=30°，
过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，
∴∠POQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；
②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；
③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t ﹣360＝45+3t ， 解得，t ＝45；
综上，当射线PB 旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB ′∥QC ′． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
2．（1） ；（2）的值为40°；（3）． 【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解； （2）过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM
解析：（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）5
3
．
【分析】
（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；
（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得
11
180100AEG AEG KFD KFD n n ∠+∠+︒-∠-∠=︒，
即可得关于n 的方程，计算可求解n 值． 【详解】
证明：过点O 作OG ∥AB ，
∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，
∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，
∴∠260BEO DFO +∠=︒；
（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，
∵EM 平分∠BEO ，FN 平分∠CFO ， 设BEM OEM x CFN OFN y ∠=∠=∠=∠=，， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒
∴21802260BEO DFO x y ∠+∠=+︒-=︒， ∴x -y =40°，
∵MK ∥AB ，NH ∥CD ，AB ∥CD ， ∴AB ∥MK ∥NH ∥CD ，
∴EMK BEM x HNF CFN y KMN HNM ∠=∠=∠=∠=∠=∠，，， ∴EMN FNM EMK KMN HNM HNF ∠+∠=∠+∠-∠+∠（） x KMN HNM y =+∠-∠-
=x -y =40°，
故EMN FNM ∠-∠的值为40°；
（3）如图，设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，
∵AB ∥CD ， ∴AKF KFD ∠=∠，
∵AKF EHK HEK EHK AEG ∠=∠+∠=∠+∠， ∴KFD EHK AEG ∠=∠+∠，
∵50EHK NMF ENM ∠=∠-∠=︒，
∴50KFD AEG ∠=︒+∠，
即50KFD AEG ∠-∠=︒，
∵AEG n OEG ∠=∠，FK 在∠DFO 内，DFK n OFK ∠=∠． ∴1180180CFO DFK OFK KFD KFD n
∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ ， 1AEO AEG OEG AEG AEG n
∠=∠+∠=∠+∠， ∵260BEO DFO ∠+∠=︒，
∴100AEO CFO ∠+∠=︒， ∴11180100AEG AEG KFD KFD n n
∠+∠+︒-∠-∠=︒， 即(180)1KFD AEG n ⎛⎫ ⎪⎝∠⎭
+-∠︒＝， ∴115080n ⎛⎫ ⎪⨯⎭
︒︒⎝+＝， 解得53
n = ．
经检验，符合题意， 故答案为：53． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 3．（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，
【分析】
（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；
（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；
（3）作的平分线交的延长线于
解析：（1）20，20，//AB CD ；（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；（3）1FPN Q
∠∠的值不变，12FPN Q
=∠∠ 【分析】
（1）根据2(402)|20|0αβ-+-=，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证//AB CD ； （2）先根据内错角相等证//GH PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出
180FMN GHF ∠+∠=︒；
（3）作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证//ER FQ ，得1FQM R =∠∠，设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，得出12EPM R ∠=∠，即可得12FPN Q
=∠∠．
【详解】
解：（1）2(402)|20|0αβ-+-=，
4020α∴-=，200β-=，
20αβ∴==，
20PFM MFN ∴∠=∠=︒，20EMF ∠=︒，
EMF MFN ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
故答案为：20、20，//AB CD ；
（2）180FMN GHF ∠+∠=︒；
理由：由（1）得//AB CD ，
MNF PME ∴∠=∠，
MGH MNF ∠=∠，
PME MGH ∴∠=∠，
//GH PN ∴，
GHM FMN ∴∠=∠，
180GHF GHM ∠+∠=︒，
180FMN GHF ∴∠+∠=︒；
（3）1FPN Q ∠∠的值不变，12FPN Q
=∠∠； 理由：如图3中，作1PEM ∠的平分线交1M Q 的延长线于R ，
//AB CD ，
1PEM PFN ∴∠=∠，
112PER PEM ∠=∠，12
PFQ PFN =∠∠， PER PFQ ∴∠=∠，
//ER FQ ∴，
1FQM R ∴∠=∠，
设PER REB x ==∠∠，11PM R RM B y ==∠∠，
则有：1
22y x R y x EPM =+∠⎧⎨=+∠⎩， 可得12EPM R ∠=∠，
112EPM FQM ∴∠=∠， ∴112EPM FQM ∠=∠． 【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
4．（1）∠B ，EF ，CD ，∠D ；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据∠ABC ＝60°，
解析：（1）∠B ，EF ，CD ，∠D ；（2）①65°；②180°﹣1122
a β+ 【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED 的度数；
②如图2，过点E 作EF ∥AB ，当点B 在点A 的右侧时，∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED 的度数．
【详解】
解：（1）过点E 作EF ∥AB ，
则有∠BEF ＝∠B ，
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，
∴∠FED ＝∠D ，
∴∠BED ＝∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ；
故答案为：∠B ；EF ；CD ；∠D ；
（2）①如图1，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF ＝∠EBA ．
∵AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ．
∴∠FED ＝∠EDC ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝30°，∠EDC ＝1
2∠ADC ＝35°，
∴∠BED ＝∠EBA +∠EDC ＝65°．
答：∠BED 的度数为65°；
②如图2，过点E 作EF ∥AB ，有∠BEF +∠EBA ＝180°．
∴∠BEF ＝180°﹣∠EBA ，
∵AB ∥CD ， ∴EF ∥CD ． ∴∠FED ＝∠EDC ． ∴∠BEF +∠FED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ．
即∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ，
∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，
∴∠EBA ＝12∠ABC ＝12α，∠EDC ＝12∠ADC ＝12
β， ∴∠BED ＝180°﹣∠EBA +∠EDC ＝180°﹣1122
a β+． 答：∠BED 的度数为180°﹣1122
a β+． 【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 5．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE ，再根据两直线平行，同位角相 解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n °，∠2=90°+n °；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE ，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE ，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG ，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2； ②结合图形，分A B 、B C 、AC 三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】
解：（1）∠1=180°-60°=120°，
∠2=90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，
∵DG∥EF，
∴∠1=∠ABE=120°-n°，
∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，
∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG
=360°-90°-（180°-n°）
=90°+n°；
②当n=30°时，∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°+60°=90°，
AB⊥DG（EF）；
当n=90°时，
∠C=∠CBF=90°，
∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n =120°时，
∴AB ⊥DE （GF ）．
【点睛】
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
二、解答题
6．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论； （2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再 解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，可得ACB CED ∠=∠，所以//AC DF ，可得A DFB ∠=∠，又A D ∠=∠，进而可得结论； （2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，根据//AB CD ，可得//////AB EM HN CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB ∠比DHB ∠大60︒，列出等式即可求DEB ∠的度数；
（3）如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM ∠的度数．
【详解】
解：（1）证明：如图1，延长DE 交AB 于点F ，
180ACB BED ∠+∠=︒，180CED BED ∠+∠=︒，
ACB CED ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
A DF
B ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
DFB D ∴∠=∠，
//AB CD ∴；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠， 12ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠，
∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒
解得100α∠=︒
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠，
12
PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 7．（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据ABCD 可得∠DFB=∠D ，则
∠DFB=∠A ，可得ACDF ，根据平行线的性质得∠A
解析：（1）∠ACB +∠BED =180°；（2）100°；（3）40°
【分析】
（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据AB //CD 可得∠DFB =∠D ，则∠DFB =∠A ，可得AC //DF ，根据平行线的性质得∠ACB +∠CEF =180°，由对顶角相等可得结论；
（2）如图2，作EM //CD ，HN //CD ，根据AB //CD ，可得AB //EM //HN //CD ，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB 比∠DHB 大60°，列出等式即可求∠DEB 的度数； （3）如图3，过点E 作ES //CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM 的度数．
【详解】
解：（1）如图1，延长DE 交AB 于点F ，
//AB CD ，
DFB D ∴∠=∠，
A D ∠=∠，
A DF
B ∴∠=∠，
//AC DF ∴，
180ACB CEF ∴∠+∠=︒，
180ACB BED ∴∠+∠=︒，
故答案为：180ACB BED ∠+∠=︒；
（2）如图2，作//EM CD ，//HN CD ，
//AB CD ，
//////AB EM HN CD ∴，
1180EDF ∴∠+∠=︒，MEB ABE ∠=∠， BG 平分ABE ∠，
12
ABG ABE ∴∠=∠， //AB HN ，
2ABG ∴∠=∠，
//CF HN ，
23β∴∠+∠=∠， ∴1
32
ABE β∠+∠=∠， DH 平分EDF ∠，
132
EDF ∴∠=∠， ∴1122
ABE EDF β∠+∠=∠，
1()2EDF ABE β∴∠=∠-∠， 2EDF ABE β∴∠-∠=∠，
设DEB α∠=∠，
1180180()1802MEB EDF ABE EDF ABE αβ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠-∠=︒-∠，
DEB ∠比DHB ∠大60︒，
60αβ∴∠-︒=∠，
1802(60)αα∴∠=︒-∠-︒，
解得100α∠=︒．
DEB ∴∠的度数为100︒；
（3）PBM ∠的度数不变，理由如下：
如图3，过点E 作//ES CD ，设直线DF 和直线BP 相交于点G ，
BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，
12
EBM MBK EBK ∴∠=∠=∠， 12
CDN EDN CDE ∠=∠=∠， //ES CD ，//AB CD ，
////ES AB CD ∴，
DES CDE ∴∠=∠，
180BES ABE EBK ∠=∠=︒-∠，
G PBK ∠=∠，
由（2）可知：100DEB ∠=︒，
180100CDE EBK ∴∠+︒-∠=︒，
80EBK CDE ∴∠-∠=︒，
//BP DN ，
CDN G ∴∠=∠，
12
PBK G CDN CDE ∴∠=∠=∠=∠， PBM MBK PBK ∴∠=∠-∠
1122
EBK CDE =∠-∠ 1()2
EBK CDE =∠-∠ 1802
=⨯︒ 40=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 8．（1），见解析；（2）；（3）60°
【分析】
（1）作EF//AB ，如图1，则EF//CD ，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE ，∠2＝∠CDE ，从而得到∠BAE ＋∠CDE ＝∠AED ；
（2）如图2，
解析：（1）BAE CDE AED ∠+∠=∠，见解析；（2）12AFD AED ∠=∠；（3）60° 【分析】
（1）作EF //AB ，如图1，则EF //CD ，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE ，∠2＝∠CDE ，从而得到∠BAE ＋∠CDE ＝∠AED ；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF ，根据角平分线的定义得到∠BAF ＝1
2∠BAE ，∠CDF ＝12∠CDE ，则∠AFD ＝12（∠BAE ＋∠CDE ），加上（1）的结论得到
∠AFD ＝12∠AED ；
（3）由（1）的结论得∠AGD ＝∠BAF ＋∠CDG ，利用折叠性质得∠CDG ＝4∠CDF ，再利用
等量代换得到∠AGD ＝2∠AED －32
∠BAE ，加上90°－∠AGD ＝180°－2∠AED ，从而可计算出∠BAE 的度数．
【详解】
解：（1）BAE CDE AED ∠+∠=∠
理由如下：
作//EF AB ，如图1，
//AB CD ，
//EF CD ∴．
1BAE ∴∠=∠，2CDE ∠=∠，
BAE CDE AED ∴∠+∠=∠；
（2）如图2，由（1）的结论得AFD BAF CDF ∠=∠+∠，
BAE ∠、CDE ∠的两条平分线交于点F ，
12
BAF BAE ∴∠=∠，12CDF CDE ∠=∠， 1()2
AFD BAE CDE ∴∠=∠+∠， BAE CDE AED ∠+∠=∠，
12
AFD AED ∴∠=∠； （3）由（1）的结论得AGD BAF CDG ∠=∠+∠，
而射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G ，
4CDG CDF ∴∠=∠， 11422()22
AGD BAF CDF BAE CDE BAE AED BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠= 322
AED BAE ∠-∠， 901802AGD AED ︒-∠=︒-∠，
390218022
AED BAE AED ∴︒-∠+∠=︒-∠， 60BAE ∴∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
9．（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据
解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过P 点折纸，使痕迹垂直直线a ，然后过P 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b ；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到ABC BCD ∠=∠，再利用角平分线的定义得到23∠∠=，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】
（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
故答案为垂；
（2）证明：BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠（已知），
12∠∠∴=，33∠=∠（角平分线的定义），
//
AB CD（已知），
∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），
ABC BCD
∴∠=∠（等量代换），
2223
23
∴∠=∠（等式性质），
∴（内错角相等，两直线平行）．
BE CF
//
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
10．（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得
∠EDF+∠AFD=180°，∠
解析：（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-
∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，
∠A+∠AFD=180°，进而得出∠EDF=∠A；
（2）①过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到
∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．
【详解】
解：（1）①如图，
②∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，
∴∠EDF=∠A；
（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF．
如图2所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，
∴∠AFG +∠EDG =∠FGH +∠DGH =∠DGF ；
②∠AFG -∠EDG =∠DGF ．
如图所示，过G 作GH ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴GH ∥DE ，
∴∠AFG =∠FGH ，∠EDG =∠DGH ，
∴∠AFG -∠EDG =∠FGH -∠DGH =∠DGF ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等．正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
11．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，
∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =
2βα-；（3）不变化，12
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平
分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；
（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E ，
∴∠E=12
（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC=12
×（50°+40°）=45°；
（2）延长BC 交AD 于点F ，
∵∠BFD=∠B+∠BAD ，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ，
∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，
∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12
∠BCD =∠B+∠BAE －12
（∠B+∠BAD+∠D ） = 12
（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，
即∠AEC=.2βα
-
（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：
如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ，
,PQ MN ⊥
90,DOC BOE ∴∠=∠=︒
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，
ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，
∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠
90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠
90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠
AD 平分∠BAC ，
,BAD CAD ∴∠=∠
,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠
2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠
1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
12．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，
解析：(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）；
当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
13．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE ，由此可证∠M+∠CFE=90°．
【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD 是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD ，
∵AE 是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF ，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD ，∠CEF=∠DAF+∠B ，
∴∠CEF=∠CFE ；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF 为∠BAG 的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF ，
∵∠CAE=∠GAF ，
∴∠CAE=∠DAF ，
∵CD 为AB 边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
14．（1）详见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析. 【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再
解析：（1）详见解析；（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°，理由详见解析；（3）详见解析.
【详解】
试题分析：（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；
（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故
∠BAC=∠PQC+∠QPC．
试题解析：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，
∠ACD=2∠ACE．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；
（2）∠BAE+1
2
∠MCD=90°．证明如下：
过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE．∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1
2
∠MCD=90°；
（3）①∠BAC=∠PQC+∠QPC．理由如下：
如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
②∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．理由如下：
如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ．
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．
点睛：本题考查了平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键．15．（1）见解析；（2）∠BGD＝；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°
解析：（1）见解析；（2）∠BGD＝90
2
a
︒-
；（3）2∠BGD+∠BFD＝360°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），根据平行线的性质∠ABD+∠BDC＝180°，从而根据∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）即可得到答案；
（2）过点G作GP∥AB，根据AB∥CD，得到GP∥AB∥CD，从而得到∠BGD＝
∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG，然后根据∠EBD+∠EDB＝90°，∠ABD+∠BDC＝180°，
得到∠ABE+∠EDC＝90°，即∠ABE+α+∠FDC＝90°，再利用角平分线的定义求出
2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α即可得到答案；
（3）过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB，从而得到AB∥GM∥FN∥CD，得到∠BGD＝
∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，根据BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°
﹣∠3），∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），即可求解.
【详解】
解：（1）证明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝1
2
∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝1
2
∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝1
2
（∠ABD+∠BDC），
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．（2）解：如图2，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD，
∴GP∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGP，∠PGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGP+∠PGD＝∠ABG+∠CDG＝90
2α
-
；
（3）如图，过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝1
2∠FBP＝1
2
（180°﹣∠3），
∠6＝1
2∠FDQ＝1
2
（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+1
2（180°﹣∠3）+1
2
（180°﹣∠5），
＝180°+1
2
（∠3+∠5），
＝180°+1
2
∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质和三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。