山西省太原市第五中学2019届高三下学期阶段性考试(5月)数学(文)试题

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山西省太原市第五中学2019届高三下学期阶段性考试（5月)
数学（文)试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．若复数z 满足()142z i i +=- (i 为虚数单位)，则z = ( ) A B C D
2．若集合{}
{
}
2
01,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⋂=∅
B ．A B R ⋃=
C ．A B ⊆
D ．B A ⊆
3．凤鸣山中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(),i i x y （1,2,3,i n =L ），用最小二乘法近似得到回归直线方程为
ˆ0.8585.71y
x =-，则下列结论中不正确的是（ ） A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本的中心点()
,x y
C ．若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg . 4．在三角形ABC 中,π
1,6
AB AC C =∠=
,则B ∠=（ ） A ．π4 B ．
π4或π2 C ．3π4
D ．π4
或3π4
…
…
…
○
…
…
答
※
※
题
※
※
…
…
…
○
…
…
5．在等比数列{}n a中，若21
a=，
864
2
a a a
=+，则
6
a的值是（）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．已知平面向量α
u v
，β
u v
满足1
α=
u v
，2
β=
u v
，()2
ααβ
⊥-
u v u v u v
，则2αβ
+
u v u v
的值是（）
A B．7 C D．10
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球
的体积为（）
A B．
26
3
πC．πD．
3
8．已知函数()()
sin(0,)
2
f x x
π
ωϕωϕ
=+><，其图像相邻两条对称轴之间的
距离为
2
π
，且函数
12
f x
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
是偶函数，则下列判断正确的是（）
A．函数()
f x的最小正周期为2π
B．函数()
f x在区间
3
,
4
π
π
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上单调递增
C．函数()
f x的图象关于直线
7
12
x
π
=-对称
D．函数()
f x的图象关于点
7
,0
12
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称
9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线
22
22
1
x y
a b
-=（0
a>，0
b>）的右支与焦点为F
的抛物线22
x py
=（0
p>）交于A，B两点，若||||4||
AF BF OF
+=，则该双曲
线的渐近线方程为（）
A．y=B．2
y x
=±C．y x
=D．
1
2
y x
=±
10．已知函数f(x)＝x sin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f
1
ln
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＜2f(1)的解集
A ．(e ，＋∞)
B ．(0，e)
C ．10,
e ⎛⎫
⎪⎝⎭
∪(1，e) D ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
11．已知正四面体ABCD 的棱长为1，平面α与该正四面体相交.对于实数d （01d <<），记正四面体ABCD
的四个顶点中到平面α的距离等于d 的点的个数为m ，那么下列结论中正确的是（ ） A ．m 不可能等于2 B ．m 不可能等于3 C ．m 不可能等于4
D ．以上三个答案都不正确
12．已知函数f (x )={a ⋅2x ,x ≤0,
log 12
x,x >0. 若关于x 的方程f(f (x ))=0有且仅有一个实数解，
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(−∞,0)
B ．(0,1)
C ．(−∞,0)∪(0,1)
D ．(0,1)∪(1,+∞)
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．设l 1为曲线f(x)=e x +x
(e 为自然对数的底数)的切线，直线l 2的方程为2x −y +3=0，且l 1//l 2，则直线l 1与l 2的距离为__________．
14．设变量x ，y 满足约束条件20,20,280,x x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则目标函数3z x y =+的最大值为
______.
15．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
√10
2
，则tan 2α等于________．
16．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22
(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB
中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为______.
17．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为4,
3π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，点B 的极坐标为4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的直角坐标方程为：22(1)1y x +-=.
（1）求曲线C 和直线AB 的极坐标方程；
…订…………※内※※答※※题※…订…………
………订…………○……__________考号：___________
………订…………○……
（1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小（不必算出中位数）；
（2）完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 表3：
21．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为
3
，AB =
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点
P ，M 均在第四象限．若BPM V 的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值． 22．已知函数2()e x f x ax ax x =+-，1a >.
（1）若曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 的值； （2）证明：当0x <时，函数()f x 存在唯一的极小值点为0x ，且01
02
x -<<. 23．已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；
（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】试题分析：
，所以
．故选D ．
考点：复数乘除运算及模长计算． 2．C 【解析】 【分析】
由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 【详解】
求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误；
{}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；
且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．D 【解析】 【分析】
根据回归直线方程可以判断y 与x 具有正线性相关关系，回归直线过样本的中心点()
,x y ，该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，该中学某高中女生身高为160cm ，只能估计其体重，不能得出体重一定是多少. 【详解】
根据回归直线方程ˆ0.8585.71y
x =-，但看函数图象是单调递增，可以判断y 与x 具有正线性相关关系，所以A 选项说法正确；
回归直线过样本的中心点()
,x y ，所以B 选项说法正确；
根据斜率得该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，所以C 选项说法正确；
该中学某高中女生身高为160cm ，根据回归直线方程只能估计其体重，D 选项说“可断定其体重必为50.29kg ”，这种说法错误. 故选：D 【点睛】
此题考查线性回归直线相关概念辨析，考查基础知识的掌握情况. 4．D 【解析】 【分析】
根据正弦定理求解. 【详解】
由正弦定理得1π
,sin πsin sin sin 24sin 6
AB AC B B C B B =∴===
或3π4
B =，选D. 【点睛】
本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．A 【解析】 【分析】
设出公比，再由21a =可以得到{}n a 的所有项，最后利用等式8642a a a =+列出方程，可得公比和6a 的值。

【详解】
设公比为q ，因为21a =，则2242a a q q =⋅=，4462a a q q =⋅=，66
82a a q q =⋅=.
又因为8642a a a =+，所以642
2q q q =+，化简得：()()
222120q q q +⋅-=.
因为0q ≠，所以2
2q =.故()
2
442
2622 4.a a q q q
=⋅====
故选：A 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题。

6．C
【解析】 【分析】
根据()2ααβ⊥-u v
u v u v
可求得αβ⋅u v u v
，再计算2αβ+=
u v u v
【详解】
由于(
)
2ααβ⊥-u v u v u v
，所以()
2022ααβααβ=⋅-=-⋅u v u v u v u v u v u v
，又因为1α=u v ，故12
αβ⋅=u v u v .
所以有2αβ+===u v u v .
故选：C 【点睛】
本题考查向量的数量积运算，属于中档题。

7．A 【解析】 【分析】
设外接球半径为r ，球心到底面的距离为x ，根据球心到四个顶点距离相等列出方程，再用球的体积公式计算外接球体积。

【详解】
设外接球半径为r ，设球心离底面的距离为x ，
则r x ==
解得：x =
r ==
所以外接球的体积为3
43V ==⎝⎭. 故选：A 【点睛】
本题考查三视图和外接球体积的公式，属于中档题。

8．B
【解析】图像相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，即三角函数的周期为22,,22
π
π
ππωω⨯=∴
==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
,又12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭是偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,
解得3
π
ϕ=
,所以()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
.A 项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,2
3
2
k x k k Z
π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈,
解
得
单
调
递
增
区
间
为
5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=
+∈,错误;D 项, 由2,3
x k k Z π
π+=∈,解得对称中心是,0,26k k Z ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭
,错误;综上所述,应选B. 9．C 【解析】 【分析】
设A ，B 两点坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，双曲线和抛物线联立得到方程组，再利用韦达定理和抛物线的定义，可得,a b 之间的比例关系，进而求得渐近线方程。

【详解】
设A ，B 两点坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，联立得到方程组()22
222102x y x a b x py ⎧-
=>⎪⎨⎪=⎩
，
消去x 得到2
2221py y a b
-=，化简得22222
20a y pb y a b -+=，因为交于两点，
所以()()24422
2
2
4440p b a b b
pb a pb a ∆=-=+->，故2
pb a
>.
且根据韦达定理有2
122
2pb y y a +=
又因为||||4||422
p
AF BF OF p +==⋅=， 再根据抛物线定义有1||2p AF y =+和2||2
p BF y =+. 所以代入得到12y y p +=.
所以2
122
2pb y y p a
=+=，消去p 有222a b =.
所以该双曲线的渐近线方程为2
b y x x a =±=±. 故选：C 【点睛】
本题考查双曲线和抛物线的方程和定义，属于中档题。

10．D 【解析】
'()sin cos sin 2(2cos )f x x x x x x x x =+-+=+，则0x >时，'()0,()f x f x >单调递增，
且2
()sin cos()()()f x x x x x f x -=+-+-=，则()f x 为偶函数，即有()()f x f x =，则
不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x
+<可以转化为(ln )(1)f x f <，即有ln 1x <，即
1ln 1x -<<，解得1
(,)x e e
∈，故选D.
11．D 【解析】 【分析】
取与正四面体相交的特殊平面，即可判断出ABC 都不正确. 【详解】
当平面α经过点A 、D 与BC 的中点时，可得B 、C 两点到平面α的距离1
2
d =，因此A 不正确；
当平面//α平面BCD 时，可得B 、C 、D 三点到平面α的距离()01d ∈，，因此B 不正确；
当平面α经过三条棱AD 、AB 、AC 的中点时，可得A 、B 、C 、D 四点到平面α的距
离()01d ∈，，因此C 不正确；综上可得：只有D 正确.
【点睛】
本题考查了正四面体的性质、线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 12．C 【解析】
试题分析：由函数f(x)={a ⋅2x ,x ≤0,
log 12
x,x >0. 可知，在x ≤0部分.当a >0时a ⋅2x >0.当a <0时
a ⋅2x <0.当a =0时a ⋅2x =0恒成立.因为关于x 的方程f(f(x))=0有且仅有一个实数解，所以只能是f(x)=1只有一个解.当x >0时有一个解x =1
2.所以要使在x <0上没解，有前面
可得a <0成立.当a >0时要使0<a <1才能成立.故选C. 考点：1.分段函数的性质.2.方程的解的问题. 13．
2√5
5
【解析】因为f ′(x)=e x +1，故设切点的坐标为A(t,t +e t )，则直线l 1的斜率为k =f ′(t)=e t +1，由题设可得e t +1=2，即e t =1，也即t =0，所以切点为A(0,1)，点A(0,1)到直线2x −y +3=0距离d =
√5
=
2√55，应填答案2√5
5。

点睛：求解本题的关键是搞清楚曲线的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离最小，同时在切点处的导函数值是切线的斜率这一几何意义。

求解时先设切点坐标为，再运用求导法则求出函数的导数，进而借助两直线平行建立关于切点横坐标的方程，求出切点坐标，最后运用点到直线距离公式使得问题获解。

14．9 【解析】 【分析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值.
作出不等式对应的平面区域如图：
由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，
由图象可知当直线3y x z =-+，经过点A 时，直线3y x z =-+的截距最大， 此时z 最大，由2280x x y =⎧⎨
+-=⎩，得2
3x y =⎧⎨
=⎩
，即()23A ，， 此时z 的最大值为3239z =⨯+=， 故答案为：9. 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义，属于中档题. 15．－3
4
【解析】
由条件得(sin α＋2cos α)2＝5
2， 即3sin 2α－8sin αcos α－3cos 2α＝0.
∴3tan 2α－8tan α－3＝0.∴tan α＝3或tan α＝－1
3， 代入tan 2α＝2tanα1－tan 2α
＝－3
4
.
16．4 【解析】 【分析】
先求出点M 的轨迹方程，再结合点到直线垂足最短来求出最大值。

【详解】
设A 点坐标为()4,0-，
显然A 点坐标符合方程(4)y k x =+与2
2
(2)4x y ++=。

所以设线段AB 中点M 坐标为(),x y ，
则B 点坐标为()24,2x y +，因B 点坐标符合圆的方程，
所以22
(242)44x y +++=，即为22
(3)1x y ++=.
故M 在圆22
(3)1x y ++=上，除去点A 所以M 到直线3460x y --=的距离h d r ≤+ 其中d 为圆心()3,0-到直线3460x y --=的距离，
r 为圆22(3)1x y ++=的半径.
所以有
14h ≤
=，
所以M 到直线3460x y --=的距离的最大值为4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查点到直线的距离和曲线的方程，是一道很好的综合题。

17．（1）2sin ρθ=；cos 2ρθ= （2）y x = 【解析】 【分析】
（1）由222
x y ρ+=，sin y ρθ=，能求出曲线C 的极坐标方程，把点A 的极坐标和点B
的极坐标都化为直角坐标，求出直线AB 的直角坐标方程，由此能求出直线AB 的极坐标方程；
（2）设射线:l θα=，代入曲线C ，得：2sin M ρα=，代入直线AB ，得：2
cos M ρα
=，由4OM ON ⋅=，得到tan 1α=，由此能求出射线l 所在直线的直角坐标方程.
【详解】
（1）因为曲线C 的直角坐标方程为：2
2(1)1y x +-=.
所以22
20x y y +-=，
因为222
x y ρ+=，sin y ρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为22sin ρρθ=，即2sin ρθ=，
因为点A 的极坐标为4,
3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，点B 的极坐标为4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
所以点A 的直角坐标为(2,，点B 的直角坐标为(2,2)， 所以直线AB 的直角坐标方程为2x =， 所以直线AB 的极坐标方程为cos 2ρθ=.
（2）设射线:l θα=，代入曲线C ，得：2sin M ρα=， 代入直线AB ，得：2
cos M ρα
=， 因为||||4OM ON ⋅=， 所以
2
2sin 4cos αα
⋅=， 所以tan 1α=，
所以射线l 所在直线的直角坐标方程为y x =. 【点睛】
本题考查直线、圆的极坐标方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，属于中档题.
18．(1)答案见解析；(2) T n =154
−
2n+54⋅3n−1
.
【解析】
试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明{1a n
+1
3}是等比数列，并
求{a n }的通项公式a n ，⑵利用错位相减法即可求得答案；
解析：（1）∵a n+1=a
n a n +4(n ∈N ∗)
∴1
a
n+1
=
a n +4a n
=1+4
a n
(n ∈N ∗)
∴1
a n+1+1
3
=4(1
a n
+1
3
)，(n∈N∗)
∵a1=1，1a
1+1
3
=4
3
，
∴{1a
n +1
3
}是以4
3
为首项，以4为公比的等比数列
∴1
a n +1
3
=4
3
⋅4n−1，
∴1
a n =4n−1
3
，
∴a n=3
4n−1
，(n∈N∗)
（2）b n=(4n−1)⋅n+1
3⋅a n，a n=3
4−1
b n=
n+1
3n−1
T n=b1+b2+⋯+b n
∴T n=2
30+3
31
+⋯+n
3n−2
+n+1
3n−1
①
1 3T n=2
31
+3
32
+⋯+n
3n−1
+n+1
3n
②
①-②得2
3T n=2+1
31
+1
32
+⋯+1
3n−1
−n+1
3n
=1+
1−
1
3n
1−
1
3
−
n+1
3n
=
5
2
−
3
2
⋅
1
3n
−
n+1
3n
∴T n=15
4−2n+5
4⋅3n−1
.
19．（1）证明见解析（2
【解析】
【分析】
（1）证明AF⊥面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明面ABEF⊥面EFDC；（2）连接AE，AC，过点D作DM EF
⊥，垂足为点M，则DM⊥面ABEF，将几何体分为一个四棱锥和一个三棱锥求解即可.
【详解】
（1）因为ABEF为正方形，所以AF EF
⊥.
因为90AFD ∠=︒，所以AF DF ⊥. 因为DF EF F =I ，所以AF ⊥面EFDC ， 又AF ⊂面ABEF .
所以平面ABEF ⊥平面EFDC .
（2）连接AE ，AC ，过点D 作DM EF ⊥，垂足为点M ，则DM ⊥面ABEF
由题知，60DFE CEF ∠=∠=︒.
因为//AB EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ， 所以//AB 平面EFDC ，AB Ì平面ABCD . 因为面ABCD I 面EFDC CD =， 所以//AB CD ，所以//CD EF . 所以四边形EFDC 为等腰梯形.
1
3A EFDC EFDC V AF S -=⋅⋅=
13C ABE D ABE ABE V V DM S --∆==⋅⋅=
所以五面体ABCDEF 的体积A EFDC C ABE V V V --=+= 【点睛】
本题考查平面与平面垂直的证明，利用“分割法”求几何体的体积，考查了学生逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题.
20．（1）图见解析；注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数 （2）有99.9%的把握；填表见解析 【解析】 【分析】
（1）根据矩形的高等于频率比组距，求出每一组高，然后画出两组的频率分布直方图，然后根据中位数是矩形面积的各占50%的位置，求出两种药物后疱疹面积的中位数，然后再比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（2）先根据条件将表格填好，然后利用独立性检验的公式求出2K ，根据表格即可得结果. 【详解】
可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数. （2）表3
2
2
200(70653530)24.5610010010595
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
由于210.828K >.
所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”. 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的画法以及独立性检验的应用和中位数的求解，属于基础题.
21．（1）22
1
94
x y +=；(2)12-．
【解析】
分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22
194
x y +=.
（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.
易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩
可得26
32x k =
+.由方程组22
1,94,
x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩
可得1x =.结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12
-
. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得225
9
c a =，又由222a b c =+，可得23a b =
．由
||AB ,从而3,2a b ==．
所以，椭圆的方程为22
194
x y +=．
（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM V 的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,
x y y kx +=⎧⎨
=⎩消去y ，可得26
32x k =+．由
方程组22
1,94,
x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，
可得1x =．由215x x =，
5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12
k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当1
2k =-时，212x =，1125
x =，符合题
意．
所以，k 的值为1
2
-
．
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22．（1）2a = （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a 的方程，解方程可得a 的值；
（2）设()2x
x
h x ax a e xe =+--，求得导数和单调性，运用零点存在定理即可得证.
【详解】
（1）因为2()e x
f x ax ax x =+-，
得()2e e x x
x ax a x f =+--'， 所以(0)1f a '=-，
因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =， 所以(0)11f a '=-=，即2a =.
（2）设()2e e x x h x ax a x =+--，则()22e e 2(2)e x x x
x a x h a x =--=-+'，
因为0x <，所以22x +<，1x e <. 又因为1a >，所以()0h x '>，
故()(21)e (1)x
h x a x x =+-+在(,0)-∞上为增函数，
又因(0)10h a =->，1211e 022h -⎛⎫
-=-< ⎪⎝⎭
，
由零点存在性定理，存在唯一的01,02x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，有()00h x =. 当()0,x x ∈-∞时，()()0h x f x '=<，即()f x 在()0,x -∞上为减函数，
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答案第15页，总15页 当()0,0x x ∈时，()()0h x f x '=>，即()f x 在()0,x -∞上为增函数，
所以0x 为函数()f x 的极小值点.
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，以及函数零点存在定理，考查方程思想和运算和推理能力，属于中档题.
23．（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<-
【解析】
【分析】
（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥；
（2）求出()()min 23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为
()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．
【详解】
解：（1）当1a =时，2215x x -++≥，
由()5f x ≥得][4,2,3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122
x -
<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++.
（2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<.
因为原命题等价于()221f x x x =-++， 所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。