2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题02 函数概念与基本初等函数2(含解析)

第二章 函数概念与基本初等函数2与指数函数、对数函数数相关的综合问题【背一背重点知识】1. 指数函数与对数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，当01a <<时，指数函数与对数函数在定义域上都是单调递减，当1a >时指数函数与对数函数在定义域上都是单调递增； 2．指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线y x =对称；３. 画指数函数(0,x y a a =>且1)a ≠的图象，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，画对数log (0,a y x a =>且1)a ≠函数的图象应抓住三个关键点：()()1,1,1,0,,1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【讲一讲提高技能】必备技能：1. 利用指数函数、对数函数的性质比较大小解不等式方法： (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； 底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较；２．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解；３．求解指数函数、对数函数有关的复合函数问题，首先熟知指数函数、对数函数的定义域，值域，单调性等相关性质，其次是复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助＂同增异减＂这一性质分析判断，最终将问题转化为内层函数相关问题加以解决； 典型例题：例1定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,()(1)(2),0,x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则(2015)f 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】：当0x >时，()()()12,f x f x f x =---()()()123,f x f x f x -=---得出()()3,f x f x =--得()()6,f x f x +=∴周期为6.()()2201533661(1)log 21,f f f ∴=⨯-=-==故选C ．例2设01a <<，函数()()2log 22x xa f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),log 3a -∞D ．()log 3,a +∞分析：由01a <<，得a y log x =在()0,+∞上的减函数，若使()0f x <，则()2log 220x x a a a --<，从而可得2221x x a a -->，令x t a =，有0t >，可转化为2230t t -->，解可得t 的取值范围，由指数函数的性质，分析可得答案．本题考查指数、对数函数的运算与性质，解题时，要联想这两种函数的图象，特别是图象上的特殊点，这是解决本题的关键．【练一练提升能力】1.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是 （ ）A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-【答案】A【解析】若0a >，则1122()log 0log 001af a a a a a -=>⇒>⇒<<；若0a <，则22()log ()0log ()00110af a a a a a a -=->⇒-<⇒<-<⇒-<<；综上得，选A .2. 当102x <≤时，4log x a x <（0a >且1a ≠），则a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B函数的图象【背一背重点知识】1. 熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如1y x x=+的函数； 2. 对于函数的图象要会作图、识图、用图：作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 3. 常见的函数数字特征有：（1）函数奇偶性：奇函数)()(x f x f -=-；偶函数)()(x f x f =-；（2）函数单调性：单调递增0)()(2121>--x x x f x f 或0))()()((2121>--x f x f x x ；单调递增0)()(2121<--x x x f x f 或0))()()((2121<--x f x f x x 。

（3）函数周期性：周期为T ：)()(x f T x f =+或)2()2(Tx f T x f -=+； （4）对称性：关于y 轴对称：)()(x f x f =-；关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。

【讲一讲提高技能】 1.必备技能：1．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论，求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．２．识图：在观察分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质，结合函数的解析式，从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函数，找准解析式与图象的对应关系．３．用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究，有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解，方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 2.典型例题：例1如图所示，()f x 是定义在区间[],c c -()0c >上的奇函数，令()()g x af x b =+，并有关于函数()g x 的三个论断：①若0a >，对于[]1,1-内的任意实数(),m n m n <，()()0g n g m n m->-恒成立；②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b =； ③a R ∀∈，()g x 的导函数()'g x 有两个零点； 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③分析：①对于[],c c -内的任意实数(),m n m n <，()()0g n g m n m->-恒成立，可根据函数的单调性来进行判断；②若0b =，则函数()g x 是奇函数，由函数解析式的形式判断即可；③由()g x 的极值点的个数，判断导函数()'g x 有多少个零点．求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题．例2已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ )分析：我们可以利用函数的性质，定义域、值域，及根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握．【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由x y a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A 符合题意，故选A ． 【练一练提升能力】1. 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）【答案】A2. 若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）【答案】B【解析】由函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象知，3a =，则A 中，3xy -=，当1x =时，13y =，故A 错；B 中，3y x =，当1x =时，1y =，且为奇函数，故B 正确；C 中，3()y x =-，当1x =时，1y =-，故C 错；D 中，3log ()y x =-，当3x =-时，1y =，故D 错，故选B ．D函数零点、方程根的个数【背一背重点知识】１．如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． ２．用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 【讲一讲提高技能】 1必备技能：1．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数()f x ，()g x ，即把方程写成()()f x g x =的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系．２．确定函数零点的常用方法：①解方程判定法，若方程易求解时用此法；②零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；③数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解．３．注意：①函数()y f x =的零点即方程()0f x =的根，是数不是点；②若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b <，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，()()0f a f b >，()f x 在区间(),a b 上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要． 2典型例题：例1根据表格内的数据，可以断定方程03=--x e x 的一个根所在区间是（ ）A 、-1,0（）B 、0,1)（C 、1,2（）D 、2,3（）【答案】C 【解析】试题分析：构造函数()3xf x e x =--，由上表可得()10.372 1.630f -=-=-<，()0132f =-=-，()()()1 2.724 1.28,27.395 2.390,320.08614.080f f f =-=-=-=>=-=>，()()120f f ⋅<，所以方程的一个根所在区间为()1,2，故选C.例2函数()12sin f x x x π=--的所有零点之和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【练一练提升能力】1. 实系数一元二次方程220x ax b ++=的一个根在()0,1上，另一个根在()1,2上，则31b a --的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．()1,3 C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D2. 设方程220xx ++=和方程2log 20x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()()2f x x p x q =+++，则（ ）A ． ()()()203f f f =<B ． ()()()023f f f <<C ． ()()()302f f f <=D ． ()()()032f f f <<【答案】A.（一） 选择题（12*5=60分）1.函数22x y x-=的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】2.已知()lg f x x =，则()1y f x =-的图象是下图中的（ ）【答案】A 【解析】试题分析：由于()lg f x x =，因此()()1lg 1y f x x =-=-，而当1x =时()()1lg 1y f x x =-=-无意义，因此排除选项B,D ；当0x =时，()()10lg 100y f =-=-=，排除选项C ；故答案为A3. 在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x的零点所在的区间为（ ） A. )41,0( B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43( 【答案】B.【解析】根据零点存在性定理分别验证各选项即可，即对于A 选项，0231)0(<-=-=f，02)41(41<-=e f ，所以不能判断)41,0(上函数是否有零点；对于B 选项，02)41(41<-=e f ，01)21(21>-=e f ，所以在区间)41,0(上函数有零点；对于C 选项，01)21(21>-=e f ，0)43(43>=e f ，所以不能判断)43,21(上函数是否有零点，所以C 选项不正确；对于D 选项，0)43(43>=e f ，01)1(>+=e f ，所以不能判断)1,43(上函数是否有零点，所以D 选项不正确.综上所述，应选B.4．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-)7()7(3)3()(6x ax x a x f x ，若数列}{n a 满足)(n f a n =，且}{n a 单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．)3,2(B ．)3,1(C ．)3,49(D ．)3,49[【答案】A【解析】由题设得:()8630123373a a a a a -⎧->⎪>⇒<<⎨⎪>-⨯-⎩,故选A.5．设函数122 11log ()1x x x x f x -⎧≤⎨->=⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[-1，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞） 【答案】D 【解析】6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意的x R ∈，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[1,0]x ∈-时，1()()12x f x =-，若在区间(1,3]-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(2,4) C ．(3,5) D ．(4,6)【答案】C 【解析】7．已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=01ln 022x x x x x x f ，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）.A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]- 【答案】D【解析】当0≤x 时，()022≤+-=x x x f 恒成立，由()ax x f ≥得，ax x x ≥-22，整理得()022≥+-x a x ，由于()()022≥+-=x a x x f 恒成立，()00=f ，()022≥+--∴a ，解得2-≥a ，0>x 时，由于()x f 最小值是0，若()ax x f ≥恒成立，满足0≤ax ，即0≤a ，同时满足以上两个条件02≤≤-a ，故答案为D.８．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B９．函数()122log 1xf x x =-的零点个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ）4 【答案】B【解析】由题意得，令122log 10x x -=，则121log 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，或121log 2xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为函数12log y x =单调递增，图象在第一、四象限，而函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减，则y 与1y 在第一象限有交点，即方程121log 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭有解，同里y 与212xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在第四象限有交点，故方程121log 2xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有解，所函数()f x 的零点个数为2个，即正确答案为B.10．已知对数函数()log a f x x =是增函数（0a >且1a ≠），则函数(||1)f x +的图象大致是（ ）【答案】B 【解析】11．设函数,134)1(44)(2⎩⎨⎧>+-≤-=）（x x x x x x f 若方程m x f =)(有三个不同的实数解，求m 的取值范围（ ）A ．01m m ><-或B ．1m >-C ．10m -<<D ．0m < 【答案】C 【解析】试题分析：画出分段函数()x f y =的图像，若m y =与其有3个交点时，如图得到m 的取值范围是01<<-m ，故选C ．12．已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3【答案】A填空题（4*5=20分） 13. 函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a 。