人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件5：第七章 第七章 复数章末复习

例1 已知|z|＝1. (1)求|z－(2＋2i)|的最值； (2)求|z－i|·|z＋1|的最大值．
解：(1)|z－(2＋2i)|表示复平面内单位圆上的点到 点(2,2)的距离，由图 1 可知： |z－(2＋2i)|min＝2 2－1， |z－(2＋2i)|max＝2 2＋1.
(2)由图 2 可知∠AEB＝45°，S△ABE＝21|z－i|·|z＋1|·sin 45°，
要使|z－i|·|z＋1|取最大值，必须 S△ABE 最大，
而(S△ABE)max＝12
2·1＋
22＝
42(2＋
2)，
∴当
z＝
22－
2 2i
时，|z－i|·|z＋1|取最大值为
2＋
2.
跟踪训练 1．已知关于 x 的方程 x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R) 有实数根 b. (1)求实数 a，b 的值； (2)若复数 z 满足| z －a－bi|＝2|z|，求 z 为复数时， |z|有最小值并求出最小值．
解：(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当 k2－5k－6＝0，即 k＝6 或 k＝－1 时，该复数为实数． (2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，该复数为虚数． (3)当kk22－ －53kk－ －64≠＝00，， 即 k＝4 时，该复数为纯虚数． (4)当kk22－ －35kk－ －46＝ ＝00， ， 即 k＝－1 时，该复数为 0.
【答案】8
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考点1 复数的几何意义
1.在复平面内，复数1－1 i的共轭复数对应的点位于 (
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】复数1－1 i＝1－1i＋1i＋i＝12＋12i， 共轭复数对应点的坐标为21，－12，在第四象限． 故选 D．
跟踪训练 2．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求实数 m的取值，使(1)z是纯虚数；(2)z是实数；(3)z在复平面 上的对应点在复平面的第二象限． 解：(1)由lmg2＋m23－m2＋m2－≠20＝，0， 得 m＝3. ∴当 m＝3 时，z 是纯虚数．
(2)由mm22－ ＋23mm－ ＋22＝>00，， 得 m＝－1 或 m＝－2. ∴当 m＝－1 或 m＝－2 时，z 是实数． (3)由mlg2＋m23－m2＋m2－>02，<0， 得 －1<m<3. ∴当－1<m<3 时，复数 z 在复平面上的对应点在复平面的 第二象限．
解：(1)将 b 代入题设方程，得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0， 则 b2－6b＋9＝0，且 a－b＝0，解得 a＝b＝3. (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)， 则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，即(x＋1)2＋(y－1)2＝8. ∴点 Z 在以(－1,1)为圆心，2 2为半径的圆上． 画图可知，z＝1－i 时，|z|min＝ 2.
(二)分类讨论思想 【思想方法解读】分类讨论是一种重要的逻辑方法， 也是一种常用的数学思想，在高考中占有十分重要的 地位．该思想在本章的很多知识中都有体现，常见的 有：对复数分类的讨论、复数对应点的轨迹的讨论、 一元二次方程根的讨论等．
例2 实数k分别为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－ 2(2＋3i)满足下列条件？ (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数； (4)是0.
(三)转化思想 【思想方法解读】复数相等的充要条件是把复数问题转 化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要 数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复 数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到 解题的目的．
例 3 i 是虚数单位，若12＋－7ii＝a＋bi(a，b∈R)，
则 ab 的乘积是
第七章 章末复习
| 体系构建 |
| 核心归纳 |
பைடு நூலகம்
1．复数代数形式z＝a＋bi中，a，b∈R应用复数相等的条 件，必须先化成代数形式． 2．复数分类条件，其前提必须是代数形式z＝a＋bi(a， b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚 数的区别． 3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同 类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z2≥0 不一定成立，|z|2≠z2. 5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的 向量． 6．不全为实数的两个复数不能比较大小．
| 思想方法 |
(一)数形结合思想 【思想方法解读】数形结合既是一种重要的数学思想，又 是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、 复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的 体现．它们的这种意义架起了联系复数与解析几何、平面 几何的桥梁，使得复数问题和几何问题得以相互转化．涉 及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算、 点的轨迹及模的最值问题等．
()
A．－15
B．－3
C．3
D．15
【解析】因为12＋－7ii＝12＋－7ii22＋＋ii＝－1＋3i，
所以 a＝－1，b＝3，故 ab＝－3.
【答案】B
例 4 已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使 az＋2b z ＝(a＋2z)2. 解：∵z＝1＋i，∴az＋2b z ＝(a＋2b)＋(a－2b)i， (a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i. ∵a，b 都是实数， ∴由 az＋2b z ＝(a＋2z)2，得aa－＋22bb＝＝4a2＋ a＋4a2， .
两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0， 解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2. ∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
跟踪训练 3．设 a，b∈R，a＋bi＝111－－27ii(i 为虚数单位)， 则 a＋b 的值为________． 【解析】∵a＋bi＝111－－27ii，∴a＋bi＝111－－27ii11＋＋22ii＝5＋3i. 根据复数相等的充要条件可得 a＝5，b＝3，故 a＋b＝8.