哈工大《结构力学》结构力学8力法

2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
A
B PC
X1
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
❖
X1 ↙ X2 ↙
↗↗
P
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
多余联这系些：联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。
多余未多知余力联：系中产生的力称为多余未
返8回
§4—3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
q
1判断超静定次数： n=1
2. 确定(选择)基本结构。
3写出变形(位移)条件:
1 0
(a)
根据叠加原理，式（a）
可写成
A EI
原结构
A 基本结构
〓
〓
L
q
以多余未知力代替)。
（3）写出力法典型方程。
（4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力
图，据此计算典型方程中的系数和自由项。
（5）解算典型方程，求出各多余未知力。
（6）按叠加法作内力图。
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返18回
例 4—1 用力法分析两端固定的梁，绘弯矩图。EI=常数。
a P b
A
B
L
解：n=3
选取简支梁为基本结构 典型方程为
（2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 多余未知力 X单i 独 1作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力
X j单 独1 作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
……………………………………………………………
i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 （4—3）
……………………………………………………………
n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿2上02X1/述7i/2方2方向程的的位组移成。具其有值规可律能性为，正故、称为为负力或法为典零型。方返1程4回。
4. 力法典型(正则)方程系数和自由项的计算
典型方程中的各项系数和自由项，均是基本结构在 已知力作用下的位移，可以用第七章的方法计算。对于 平面结构，这些位移的计算公式为
2
2
2
iiM E idI sN EidA skG QidA s
ij ji M iE M jdI s N iE N jdA s k Q G iQ jdA s
iPM iM EP dI sN iE N P dA sk Q G iQ P d A s
对不同结构选取不同项计算。系数和自由项求得后，
2
M1ds EI
=
E1IL2223L
L3 3 EI
qL 2 8
q
qL 2 8
X1 1
MP图
M图
1P
M1MPds= _ EI
E1I(
1 3
qL2 2 L)
3L 4
qL 4 8 EI
6. 将11、 ∆11代入力法方程式(4-1)，可求得
20X 21/17/22 11P13q8L()
多余未知力x1求出后，其余反力、内 力的计算都是静定问题。利用已绘出 的 M1图和MP图按叠加法绘M图返。10回
§4—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方
程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
1. 三次超静定问题的力法方程
↓P
↓P
首先选取基本结构（见图b）
基本结构的位移条件为：
△1=0
原结构
基本结构
△2=0 △3=0
设当X11、 X2 和1 荷、 X 载3 P1
△3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
（4—2） 返12回
11X1+12X2+13X3+△1P=0
21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（4—2）
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出n个方程
⑸
（3）物理条件。
具2体021/求7/22 解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移返法5回。
§4—2 超静定次数的确定
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
1. 超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次采数用的解方除法多:余联系的
方法。解除多余联系的方式通
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中
Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常2数021项/7/22（又称自由项）。
返13回
3. 力法方程及系数的物理意义
（1）力法方程的物基理本意结义构为在：全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
1 X2 1 X3 1
则由 1 2典于P P1 3型M =E P1 3方=a( 63程01 2 (E1bL I=,P I故第L La)三L a 2) 3=式L b (3 L 为b 32)= △P 3P6 =( E a L 0 b b I)L
M 3图 P Pab L
Pab 2
M图 L 2 2021/7/22
X1
X1
2021/7/22
应用上述解除多余 联系(约束)的方法，不难 确定任何 超静定结构的 超静定次数。
返7回
3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。
X 1←↓↑→X 2
X 1←↓↑→X 2
n=6
→X←3 X←4 ↓↑→X 5
X6
→X←3
X4
←X 5
X6
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n=3×7=21
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
MP图
Pa 2 b L2
Hale Waihona Puke 故作按代解代弯式入得入32 X 3矩X 典1M 典≠1 X 图2 型X1型0X X 12 2 (。方3因方 PX 3LaPP P XX程b2LX1 a程b32M 3a a3((32L L (=L L =解消的2 2b b1 00a b 得去解))X XX 2公唯0 0 22 因一PM LaP22La子)2 b返22b 1)9回得M P
最后内力图的绘制用叠加法
解联立方程得
M M 1X 1M 2X 2M P
. X1
4 11
P,
X2
3P 88
例如
MAC= a
多余未知力求得后其余反力、
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内力的计算便是静定问题。
4P 11
+
a(
3P 88
15Pa外
)
Pa 2
返17回
2 .力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。
（2）选择静定的基本结构(去掉多余联系，
a
例 4—2 用力法计算图示桁 架内力，设各杆EA相同。
解： n=1(一次超静定)。
3 P
P 4
0
1
2
2a
2a
选择基本结构如图示。 写出力法典型方程
3P X1 P4
11X1+△1P=0
0
1
2
按下列公式计算系数和自由项
基本结构
2
11
N1 L EA
1P
N1NPL EA
2 2 3 X1=1 4
为此，求出基本结构的 N 1和NP值 N 1
§8—11 超静定结构的特性
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2
§4—1 概 述
1. 静定结构与超静定结构
静定结构全：部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
HA A
P
B
VA
RB
超静定结构仅：用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
P
A
B
❖
C
HA
VA
RB
RC
P
2021/外7/22力超静定问题
内力超静定问题 返3回
知力（也称赘余力）。
2021/7/2多2 余联系与多余未知力的选择。
返4回
3. 超静定结构的类型
（1）超静定梁;
（2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱；
（4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。
4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:
（1）平衡条件；
（2）几何条件；
I2=2I1
BC I1
原 P
A
a X1 1 a
M 1图
a
BX1
X2
基
a
X2 1
M 2图
a
2
11
M1ds EI
21EI1
a2 2
2a 3
=
a3 6EI1
20211/72/22 21
M1M2ds 1 EI 2EI1
a2 2
a
=
a3 4EI1
22
2
M2ds
5
a
3
EI 6 EI 1
返16回
q
B
↑B X1 11
↑ X1
2102 1/7/ 2211 1P0 (b)
返9回 1P
111 1P0 (b)
q
4 .建立力法基本方程 A
将 ∆11=11x1代入(b)得
EI
L
1X 111P0 (4—1) L
B
↑ M 1图
此方程便为一次超静定结
构的力法方程。
qL 2 2
5. 计算系数和常数项
11
=－0.586P
N
2021/7/22
3 22
X1=1
4
0 22 1
对称
2
-1/2
P
30
P 4
2P
0
2
1 对称
2
+P/2
P
P
3
+0.172P
4
0
1
+0.414P
对称 2
返21回
§8—6 对称性的利用
用力法分析超静定结构，结构的超静定次数愈高， 计算工作量就愈大，主要工作量是组成(计算系数、常数 项)和解算典型方程。利用结构的对称性可使计算得到简 化。简化的原则是使尽可能多的副系数、自由项等于零。
代入202典1/7/2型2 方程即可解出各多余未知力。
返15回
§8—5 力法的计算步骤和示例
1. 示例
C
n=2(二次超静定)
a
选择基本结构如图示 力法典型方程为： 11X1 + 12X2+△1P=0 (a)
21X1 + 22X2+△2P=0
2
P
a
2A
计算系数和常数项，为
此作 M1、 M2、MP图 计算结果如下
1P
M1MPds 5 Pa EI 96 EI
3 1
2P
M2MPds EI
Pa 3 16 EI 1
将以上各系数代入方程(a)
M 1图
a
a
a
M 2图
a
C
B
并消去(a3/EI1)得
16X114X2956P0 14X165X2116P0
P Pa 2
3/88×Pa
MP图 P
13/88×Pa
15/88×Pa A M图
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1
第八章 力 法
§8—1 超静定结构概述 §8—2 超静定次数的确定
§8—3 力法的基本概念
§8—4 力法的典型方程
§8—5 力法的计算步骤和示例
§8—6 对称性的利用
§8—7 超静定结构的位移计算
§8—8 最后内力图的校核
§8—9 温度变化时超静定结构的计算
§8—10 支座移动时超静定结构的计算
X1
P
基本结构
X3
11X111X+1+12X122X+2+1△3X1P3=+0△1P=0 21X211X+1+22X222X+2+2△3X2P3=+0△2P=0
1
L b X2
3L
31X由1+图乘32X法2求+ 得33X3+△3P=0
X1 1 M 1图
M 2图
11 作3LE基I 本结22 构3LE各I M 和12 M2P1图 6LEI
A
B X1 A X2
B
→↑ （a）
X3 （b）
分别作用在结构上时， 沿X1方向：11、12、13和△1P ；
A点的位移 沿X2方向：21、22、23和△2P ；
沿X3方向：31、32、33和△3P 。
据叠加原理，上述位移条件可写成
△1=11X1+12X2+13X3+△1P=0 2021/7/22 △2=21X1+22X2+23X3+△2P=0
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书141页)后得
EA11=(3+ 2 ) a 2E021A/7/2△2 1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返20回2
代入典型方程，解得
X1 11P13P 2
(拉 ) 2N
1
=0.172P
各杆内力按式
NN1X1NP
叠加求得。 例如
NP
N03=0.707×0.172P -0.707Ｐ
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而 得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未 知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立 的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化 为已2021经/7/22熟悉的静定结构的内力和位移的计算问返11回题。
常有以下几种：
↓ ↑X 1
（1）去掉或切断一根链杆，相
当于去掉一个联系。
（2）拆开一个单铰，相当 于去掉两个联系。
X 1←↓↑→X 1
X2
2021/7/22
返6回
3. 在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。
4. 将刚结改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。
↷
↶
X 1←X↓2 ↑X→2 X 1 X3