2020年九年级下《第28章锐角三角函数》检测卷含答案

2020年第二十八章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.32
2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝3
5，则tan B
的值为( )
A.43
B.45
C.54
D.34
3．如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α，
AC ＝7，则树高BC 为(用含α的代数式表示)( )
A ．7sin α
B ．7cos α
C ．7tan α D.
7tan α
第3题图 第7题图
第8题图
4．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值( )
A ．扩大为原来的3倍
B ．缩小为原来的1
3
C ．没有变化
D ．不能确定
5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，则cos A
2
的值是( )
A.35
B.45
C.34
D.54
6．已知0°＜α＜90°，且2sin(α－10°)＝3，则α等于( )
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．80°
7．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC ＝4，BC ＝3，则cos ∠BCD 的值是( )
A.35
B.34
C.43
D.45
8．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )
A.35
B.34
C.105
D ．1 9．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．46米
第
9
题
图
第10题图
10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝12，tan B ＝
33
.
以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 、
N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，
两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则△ACD 的周长为( )
A ．12
B ．12
3 C ．6＋6
3 D ．6＋9
3
11．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图①所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当
车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2m，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)( )
12．如图，在两建筑物之间有一根高15米的旗杆，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A．20米B．103米C．153米D．56米
第12题图第13题图第14题图
13．如图，已知∠B的一边在x轴上，另一边经过点A(2，
4)，顶点的坐标为B (－1，0)，则sin B 的值是( )
A.25
B.55
C.35
D.45
14．如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于
B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达
C 处，
恰好位于B 处的西北方向上，则动车从A 处行驶到C 处的平均速度是( )
A ．20(
3＋1)米/秒 B ．20(
3－1)米/秒 C ．200
米/秒 D ．300米/秒
15．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，如果
AB ＝5，BC ＝8，sin B ＝4
5
，那么tan ∠CDE 的值为( )
A.12
B.33
C.22
D.2－1
第
15
题
图
第16题图
16．如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在
x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋
转90°后得到△A′O′B.若反比例函数y＝k
x的图象恰好经过斜
边A′B的中点C，S△ABO＝4，tan∠BAO＝2，则k的值为( ) A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，则cos A 的值为________．
18．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
第18题图第19题图19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，则D2D3＝________，这样继续作下去，线段D n D n＋1＝____________．
三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)计算：
(1)3tan30°＋cos245°－2sin60°；
(2)
sin60°－1
tan60°－2tan45°
－3cos30°＋2sin45°.
21．(9分)根据下列条件解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝36，b＝9 2.
22．(9分)某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A ，
B 两处均探测出建筑物下方
C 处有生命迹象，已知探测线与
地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度(结果精确到0.1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，
3≈1.7)．
23．(9分)已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin B －32＝0.
(1)试判断△ABC 的形状； (2)求(1＋sin A )2－2cos B －(3＋tan C )0的值．
24．(10分)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4
5
，
BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为
点E .
(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠ABE 的值．
25．(11分)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°，脚与洗漱台距离GC ＝15cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？
(2)小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少(sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1cm)?
26．(12分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B 两船相距100(3＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保留根号)；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC航行去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?
参考答案与解析
1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9．D 10.C 11.A 12.A 13.D 14.A
15．A 解析：在△ABE 中，AE ⊥BC ，AB ＝5，sin B ＝45
，∴AE ＝4，∴BE ＝
AB 2－AE 2＝3，∴EC ＝BC －BE ＝8－
3＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝5，∴△CED 为等腰三角形，∴∠CDE ＝∠CED .∵AD ∥BC ，∴∠EAD ＝∠AEB ＝90°，∠ADE ＝∠CED ，∴∠CDE ＝∠ADE .在Rt △ADE 中，∵AE ＝4，AD ＝BC ＝8，∴tan ∠CDE ＝tan ∠ADE ＝4
8＝12
.
16．C 解析：设点C 的坐标为(x ，y )，作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D .∵tan ∠BAO ＝2，∴
BO AO ＝2.∵S △ABO ＝1
2
·AO ·BO ＝4，∴AO ＝2，BO ＝4.由旋转得A ′O ′＝AO ＝2，BO ′＝BO ＝4.∵点C 为斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′，∴CD ＝1
2
A ′O ′＝1，
BD ＝1
2
BO ′＝2，∴y ＝BO －CD ＝4－1＝3，x ＝BD ＝2，∴k
＝xy ＝2×3＝6.
17.35 18.40＋403
3
19.
33
8 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ＋1
解析：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，
∠B ＝30°，则CD 1＝
32
；进而在△CD 1D 2中，有D 1D 2＝
32
CD 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，同理可得D 2D 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝338，…，则线段
D n D n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n ＋1
. 20．解：(1)原式＝3×3
3＋⎝
⎛⎭
⎪⎫222－2×32＝1
2.(4分) (2)原式＝
3
2－1
3－2×1
－
3×
32
＋2×22
＝0.(8分)
21．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(4分)
(2)∠A ＝30°，∠B ＝60°，c ＝6
6.(9分)
22．解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D .(1分)设CD ＝x 米．在Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，∴tan25°＝
CD
AD
，
∴AD ＝
CD tan25°≈x
0.5
＝2x 米．(4分)在Rt △BDC 中，∠DBC ＝
60°，由tan60°＝
x
2x －4
＝3，解得x ＝
432
3－1
≈2.8.(8分)
答：生命迹象所在位置C 的深度约为2.8米．(9分)
23．解：(1)∵(1－tan A )2＋⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
sin B －
32＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝
32
，(2分)∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∴∠C ＝180°
－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．(5分)
(2)∵∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝75°，∴原式＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋
222－2
1
2－1＝1
2
.(9分)
24．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，sin A ＝
BC AB ＝4
5，
而BC ＝8，∴AB ＝10.(2分)∵D 是AB 的中点，∴CD ＝1
2AB
＝5.(4分)
(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝
AB2－BC2＝6.(5分)∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△
ADC，∴S△BDC＝1
2
S△ABC，即
1
2
CD·BE＝
1
2
·
1
2
AC·BC，∴BE＝
6×8
2×5
＝
24 5.(8分)在Rt△BDE中，cos∠DBE＝
BE
BD＝
24
5
5
＝
24
25
，即cos
∠ABE的值为24
25
.(10分)
25．解：(1)如图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.∵EF＋FG＝166cm，FG＝100cm，∴EF＝66cm.∵∠FGK＝80°，∴∠GFN＝10，FN＝100·sin80°≈98(cm)．(2分)∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，∴FM＝66·cos45°＝332≈46.53(cm)，∴MN＝FN ＋FM≈144.5cm，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm.(5分)
(2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.∵AB＝48cm，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24cm.∵EM＝66·sin45°≈46.53(cm)，∴PH≈46.53cm.(7分)∵GN＝100·cos80°≈17(cm)，CG＝15cm，∴OH≈24＋15＋17＝56(cm)，OP＝OH－PH≈56－46.53＝9.47≈9.5(cm)，∴他应向前9.5cm.(11分)
26．解：(1)如图，作CE⊥AB于E.设AE＝x海里，在Rt△AEC中，∠CAE＝60°，∴CE＝AE·tan60°＝3x海里，
AC＝AE
cos60°
＝2x海里．(2分)在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝3x海里．∵AB＝AE＋BE＝100(3＋1)海里，∴x＋3x＝100(3＋1)，解得x＝100.∴AC＝200海里．(4分)在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°.过点D作DF⊥AC于F.设AF＝y海里，则AD＝2y海里，DF＝CF＝3y海里．(6分)∵AC＝AF＋CF＝200海里，∴y ＋3y＝200，解得y＝100(3－1)，∴AD＝2y＝200(3－1)海里．(8分)
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(3－1)海里．(9分)
(2)由(1)可知DF＝3AF＝3×100(3－1)≈127(海里)．(11分)∵127海里＞100海里，∴巡逻船A沿直线AC 航行去营救船C，在去营救的途中没有触暗礁危险．(12分)。