2019秋新版高中数学北师大版必修1课件：第三章指数函数和对数函数3.3.2

2 2 − ������ 2������1 +1 2������2 +1 2 2 2(2������1 -2������2 ) = ������2 − ������1 = ������1 . 2 +1 2 +1 (2 +1)(2������2 +1)
∵x1<x2,∴2 ������1 − 2������2 <0. ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为增函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
2 2· 2������ (1)解 :∵f(-x)=a- -������ =a- ������ ,且 2 +1 2 +1
∴a=1(注 :也可以通过 f(0)=0 求解).
(2)证明:取任意 x1,x2∈R,且 x1<x 2, 则 f(x1)-f(x2)= ������-
2(1+2������ ) f(x)+f(-x)=0,∴2a=0, 1+2������
题型三
题型四
【变式训练1】 本例中若将函数改为y=2|x+1|,试画出该函数的图 像. 解:利用图像变换来作图,只需将函数y=2|x|的图像向左平移1个单 位长度,即可得函数y=2|x+1|的图像.如图.
题型一
题型二
题单调性
2������ -1
【例 2】 (1)求函数 y=2 (2)求函数 y=
2
2.
第2课时 指数函数的图像和性质的应用
仅供学习交流！！！
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题型一
题型二
题型三
题型四
2
【变式训练3】 已知函数f(x)= 2������ +2������ +������(-2≤x≤2). (1)写出函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值为64,求f(x)的最小值. 解:(1)令g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1, ∵-2≤x≤2,∴结合二次函数的性质可得,函数g(x)在区间[-2,-1]上 是减少的,在区间[-1,2]上是增加的. 又f(x)=2g(x)在R上为增函数, 2 ∴f(x)= 2������ +2������ +������在[-2,-1]上是减少的,在[-1,2]上是增加的. (2)∵-2≤x≤2,g(x)=(x+1)2+a-1, ∴x=-1时,g(x)取得最小值,为a-1, 当x=2时,函数g(x)取得最大值,为a+8. 再根据f(x)的最大值为64=2a+8,求得a=-2, 1 故f(x)的最小值为2a-1=2-3= 8 .
2 1 ������ +2������ 的单调区间. 2
的递增区间;
分析:(1)若令 t= 2������-1,此函数可拆分成函数 y=2t,t= 2������-1两部分, 根据复合函数的单调性求单调区间;(2)若令 u=x2+2x,此函数可拆分 成 y= 解.
1 ������ ,u=x2+2x 两个基本初等函数,再结合复合函数的单调性求 2
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),且f(1)=9,则f(x)的递 减区间是 . 解析:由f(1)=9得a2=9, 又因为a>0且a≠1,所以a=3. 因此f(x)=3|2x-4|,
2������-4,������ > 2, 又因为 g(x)=|2x-4|= -2������ + 4,������ ≤ 2,
第2课时
指数函数的图像和性质的应用
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题型一
题型二
题型三
题型四
反思函数图像问题的处理方法: (1)抓住图像上的特殊点.如指数函数的图像过定点(0,1); (2)利用图像变换.如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移); (3)利用函数的奇偶性与单调性.
题型一
题型二
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)令 t= 2������-1 ,则 y=2t,t≥0, 因为 t= 2������-1 在
1 2 1 ,+∞ 2
由 2x-1≥0 得 x≥ ,所以定义域为 , + ∞ . 上是增加的 ,
1 2
1 2
y=2t 在 [0,+∞)上是增加的 ,所以 y 的增区间是 , + ∞ . (2)令 u=x2+2x,则 x∈R,由 u=x2+2x=(x+1)2-1, 得 u=x2+2x 在 [-1,+∞)上是增加的 ,在 (-∞,-1]上是减少的 .
题型一
题型二
题型三
题型四
(3)解:∵f(x)在R上为增函数且为奇函数, 由f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0, 得f(k· 3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),∴k· 3x<-3x+9x+2, 即32x-(1+k)3x+2>0对任意x∈R恒成立, 令t=3x>0,问题等价于g(t)=t2-(1+k)t+2>0,
1 ������ 又因为 y= 在 (-∞,+∞)上是减少的 , 2 2 1 ������ +2������ 根据复合函数的单调性可知 y= 在 (-∞,-1]上是增加的 , 2
在 [-1,+∞)上是减少的 .
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题型三
题型四
反思指数型复合函数的单调性的求解步骤: (1)求定义域:依据题意明确研究范围; (2)拆分:把原函数拆分成几个基本初等函数; (3)定性质:分层逐一求单调性; (4)下结论:根据复合函数的“同增异减”法则,得出原函数的单调 性.
其对称轴方程为 当
������+1 <0,即 k<-1 时 ,g(0)=2>0,符合题意 , 2 ������+1 当 ≥0,即对任意 t>0,g(t)>0 恒成立, 2 ������+1 ≥ 0, 2 等价于 解得 -1≤k<-1+2
������+1 t= , 2
Δ = (1 + ������ ) -8 < 0,
所以函数g(x)在(-∞,2]上是减少的. 所以f(x)在区间(-∞,2]上是减少的. 答案:(-∞,2]
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三 指数型函数的综合应用 2 【例3】 设a是实数, f(x)=a-2������+1(a∈R). (1)若函数f(x)为奇函数,求a的值; (2)试证明:对于任意a,f(x)在R上为单调函数; (3)若函数f(x)为奇函数,且不等式f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R 恒成立,求实数k的取值范围. 分析:(1)由函数f(x)为奇函数,可得f(x)+f(-x)=0,由此方程求a的 值;(2)用单调性的定义证明即可,取任意x1,x2∈R,且x1<x2,研究f(x1)f(x2)的符号,根据单调性的定义判断出结果;(3)因为f(x)在R上为增 函数且为奇函数,由此可以将不等式f(k· 3x)+f(3x-9x-2)<0对任意 x∈R恒成立,转化为k· 3x<-3x+9x+2即32x-(1+k)· 3x+2>0对任意x∈R 恒成立,再通过换元进一步转化为二次不等式恒成立的问题即可解 出此时恒成立的条件.