第一讲有理数
第一讲《有理数》《数轴》
第一讲《有理数》《数轴》引言有理数是我们常见的一类数，包括整数和分数。
它们在数学中具有重要的地位，因为它们可以覆盖我们日常生活中的绝大部分数量关系。
在本讲中，我们将介绍有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法。
一、有理数的定义和性质1.1 定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
整数是有理数的特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
1.2 性质有理数有以下性质：•有理数的加法、减法和乘法运算仍然得到有理数。
•有理数的除法运算结果可能是有理数，也可能是无理数（不能表示为两个整数的比值）。
二、有理数的表示方法有理数可以用分数、整数或小数形式表示。
2.1 分数表示法分数是有理数最常见的表示形式，它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的份数，分母表示总共的份数。
分数可以是正数、负数或零。
2.2 整数表示法整数是没有小数部分的有理数。
它可以是正整数、负整数或零。
2.3 小数表示法小数是有理数的一种特殊表示形式。
它可以有有限的数字部分和无限的循环部分，也可以是有限的数字部分。
三、数轴的概念和使用方法3.1 数轴的定义数轴是由一条直线和一个固定原点组成的图形，用来表示数的大小和位置关系。
原点通常表示零，正方向表示正数，负方向表示负数。
3.2 数轴的使用方法数轴可以用来表示有理数的位置和大小关系。
我们可以通过在数轴上画点、画线段等方式来表示有理数的位置。
数轴上两个数之间的距离，即两个数的差的绝对值，表示它们之间的差别大小。
有理数是我们日常生活中非常重要的数，它包括整数和分数。
有理数可以用分数、整数或小数形式表示，可以在数轴上表示它们的位置和大小关系。
了解和掌握有理数的定义、性质和表示方法，以及数轴的概念和使用方法，对我们的数学学习和实际应用都非常有帮助。
参考文献：•《数学教学参考书》•《高中数学学科教学大纲》。
第01讲 有理数
(A)8 063.6×104元 (C)8.063 6×107元
【解析】选C.∵8 063.6万元=80 636 000元， ∴80 636 000元=8.063 6〓107元.
10.(2012·达州中考)今年我市参加中考的学生人数约为 6.01×104人.对于这个近似数，下列说法正确的是( (A)精确到百分位，有3个有效数字 (B)精确到百位，有3个有效数字 )
1 . 整数为分母的形式即可，即2 012的倒数为 2 012
3.(2012·宜昌中考)如图，数轴上表示数-2的相反数的点
是(
)
(A)点P
(B)点Q
(C)点M
(D)点N
【解析】选A.根据相反数的意义，可得-2的相反数是2，在数 轴上表示2的点为点P.
4.(2012·娄底中考)写出一个x的值，使|x-1|=x-1成立，你写
1 2 012
)
(B)2 012 (D)
1 2 012
【解析】选B.-2 012的相反数是-(-2 012)=2 012，故选B.
2.(2012·娄底中考)2 012的倒数是(
)
(A)
1 2 012
(B)
1 2 012
(C)2 012
(D)-2 012
【解析】选A.求一个整数的倒数时，只需写成分子为1，这个
做科学记数法. 不为0 (2)有效数字：一个近似数，从左边第一个______的数字起， 所有 到精确到的数位止，_____的数字都是这个数的有效数字；对 a×10n 于用科学记数法表示的数______，规定它的有效数字就是a中 的有效数字.
【即时应用】
1 8 8 1.-8的相反数是__，绝对值是__，倒数是____. 8
第一讲 有理数的基本概念
【知识导航】
正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。
负数：像-1、-3.12、 、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。运算符号读作加减,性质符号读作正负.如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m
⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）
A．200米B．50米C．300米D．350米
⑸dd饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ ”字样，请问“ ”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 ，问抽查产品的容量是否合格？
问题4填空：（1）a-4的相反数是，3-x的相反数是。
（2） 是的相反数。（3）如果-a=-9,那么-a的相反数是。
问题5填空：
（1）若-（a-5）是负数，则a-50. (2)若 是负数，则x+y0.
问题6已知a、b在数轴上的位置如图所示。
（1）在数轴上作出它们的相反数；
（2）用“<”按从小到大的顺序将这四个数连接起来。
3.北京某一天记录的温度是：早晨－1℃，中午4℃，晚上－3℃，（0℃以上温度记为正数），其中温度最高是______(写度数),最低是________(写度数).
4．某班在班际篮球赛中，第一场赢4分，第二场输3分，第三场赢2分，第四场输2分，结果这个班是赢了还是输了？请用有理数表示各场的得分和最后的总分。
C组1．写出比O小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．
2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
第一讲 有理数的相关概念
第一讲有理数的相关概念【知识要点及巩固】一、有理数基本概念1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
注意：正数和负数是表示相反意义的量。
如：南为正方向，向南km3表示为km-。
31表示为km1+，那么向北km3、有理数：整数与分数统称为有理数。
4、无理数：无限不循环小数，如π。
5.有理数的分类：6.几个重要概念：注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否⑴一个有理数不是整数就是分数（）⑵一个有理数不是正数就是负数（）⑶一个整数不是正的，就是负的（）⑷一个分数不是正的，就是负的（）例2：1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：-7.2，43，-9, 1.4，0, 3.14，π，5412，-2.5， 121121112.0，36整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？ 例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。
1、6151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；第100个数是_________，第301个数是________。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
第一讲有理数的有关概念(一)
第一讲 有理数的有关概念（一）【考点梳理】有理数的基本概念1.正数：大于0的数叫做正数；负数：小于0的数叫做负数。
备注：在正数前面加“-”的数是负数；“0”既不是正数，也不是负数。
2.有理数：整数和分数统称有理数。
3.有理数分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 或者 ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 4.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
性质：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。
【典例精析】1．在7， 0， －1.5， 21-， －301， 31.25， 81-， 100.1， －3.001中，负分数为 ，整数为 ，正整数为 。
2.小于5.05的正数有 个，正整数有 个，负整数有 个。
3在数轴上距原点2个单位长度的点表示 。
4、下列说法中，错误的有（ ） ①742-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个5. a ， b 两数在数轴上的位置如图，下列结论中正确的是 。
A. a >0， b <0 B. a <0， b >0C. b >aD. 以上均不对 【训练迁移】6. 0是 。
A. 正数B. 负数C. 整数D. 分数7．（1）如果向南走5米，记作+5米，那么向北走8米应记作___________． （2）如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作____________． 8. 在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______。
9、（1）既是分数又是正数的是（ ）A 、+2B 、 －314 C 、0 D 、2.3（2）在0，1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（ ） A 、0 B 、1 C 、-2 D 、-3.5 10，在2005，212，0，-3，+1，41，-6.8中，正整数和负分数共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个11.12. 下面说法中正确的是( )．(A)正整数和负整数统称整数(B)分数不包括整数(C)正分数，负分数，负整数统称有理数 (D)正整数和正分数统称正有理数13如图：下列说法正确的是（ ）A ：a 比b 大B ：b 比a 大C ：a 、b 一样大D ：a 、b 的大小无法确定14、________是最小的正整数，_______是最小的非负数，_________是最大的非正数。
第一讲有理数
知 识 点 睛
特 别 提 醒
【例2】(2011·淄博中考)计算：(-2)3+2×(-3). 【思路点拨】乘方运算→乘法运算→加法运算→结果 【自主解答】(-2)3+2〓(-3)=-8+(-6)=-14.
【对点训练】
4.(2012·黔东南中考)计算-1-2等于( (A)1 (B)3 (C)-1 (D)-3 )
【例3】(2011·毕节中考)毕节地区水能资源丰富，理论蕴藏量 达221.21万千瓦，已开发156万千瓦，把已开发水能资源用四舍 五入法保留两个有效数字并且用科学记数法表示应记为( (A)16×105千瓦 (C)160×106千瓦 (B)1.6×106千瓦 (D)0.16×107千瓦 )
【思路点拨】先将156万化为1 560 000，再将其按有效数字及科 学记数法的要求写出. 【自主解答】选B.156万=1 560 000，1 560 000=1.56〓106，保
第一讲 有 理 数
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1.理解：有理数、数轴、相反数、绝对值、倒数、乘方的意义 以及有理数的运算律. 2.掌握：(1)比较有理数的大小； (2)求有理数的相反数、绝对值、倒数；
(3)有理数的加、减、乘、除、乘方运算以及简单的混合运算，
并运用运算律简化运算.
3.会：确定一个数的有效数字，按要求取近似值，并用科学记
解 题 启 示
1.解答新定义运算题目时，应通过观察、类比，把新的运 算符号转化为已有的运算符号，再按照已有的运算法则， 计算出结果. 2.新定义运算问题，一般都会给出示例，在解题时，可参 考示例进行解题. 3.对于新定义运算，一定要注意其运算顺序，含有括号的 要先算括号里的，最终转化为我们所熟悉的常规运算.
特 别 提 醒
第一讲 有理数的相关概念
第一讲 有理数的相关概念一、知识要点回顾（一）负数的应用，有理数的分类1、负数的意义：引入负数是我们实际的需要，我们通常用正、负来表示一对相反意义的量。
例1： 上升1m 表示为＋1m ，则下降2m 表示为 。
例2：“某种机器零件规定其直径误差不得超过±0.8mm ”这是什么意思？ 2、 和 统称为有理数。
按数的符号分： 按有理数定义分，有理数有理数注意：有限小数和无限循环小数都属于有理数。
例1.将下列各数序号填到相应的括号内：①－7.2，②34，③－9，④1.4，⑤0，⑥3.14，⑦π，⑧1245，⑨－2.5，⑩20％整数集合：正分数集合：非负数集合： 分数集合：例2. a 一定是正数，－a 一定是负数吗？回答并举例： （二）数轴1、数轴的三要素： 、 、 。
在数轴上，右边的数总比左边的数 。
最小的正整数是 ，最大的负整数是 。
2、相反数：只有 不同两个数，我们称一个是另一个的相反数。
例如：2和 ，a 和 。
本质：只有 不同，其它不变。
特别的：0的相反数是 。
※ x ＋y 的相反数是 ，a －b 的相反数是 。
牢记：正数的相反数是 ，负数的相反数是 ，相反数等于它本身的数是 。
3、相反数的代数意义：a>0时，－a 0； a<0时，－a 0； a ＝0时，－a 0.（a 可以代表任意有理数）相反数的几何意义： 表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到原点的 相等。
4、会进行符号的化简：例：－（－2）＝ ；＋[－（＋2）]＝ ；－（x ＋y ）＝ ； 特别提醒：相反数的学习对绝对值的化简至关重要。
一定要把握住相反数的本质。
（三）绝对值△※1、概念：在数轴上，一个数所对应的点到原点的 叫做该数的绝对值。
记作： △任何数的绝对值一定一个 数，即：|a| 0.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧____________________________________________________________________⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧_______________________________________________整数2、代数意义： (a>0) 正数的绝对值等于△※ |a|= (a=0) 0的绝对值是 |a|=(a<0)负数的绝对值等于例：绝对值等于本身的数是 ；3△绝对值等于正数的数有两个，它们 。
第一讲 有理数
第一讲有理数内容概述本讲的主要内容是学习有理数的有关概念及其运算.有理数是初中数学的一个重要基础知识，它是小学算术中数的概念的扩充.引入负数后，使运算更加多元化.本讲是在同学们拥有一定的有理数相关基本概念的基础上的提高，我们本着“源于课本且高于课本”的理念，帮助同学们站在一个“高点”，使你们更加清晰的了解相应中学阶段的知识体系！下面的“数形”分析图是我们本节课的主体讲解内容！⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩有理数的定义及基本性质基本概念及性质数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数科学记数法、近似数与有效数字加、减、乘、除运算有理数的运算乘方及综合运算有理数相消数形结合作差比较法有理数大小比较作商比较法综合方法有理数的基本概念※※※有理数的定义：⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数（按定义分类）正分数分数有限小数和无限循环小数负分数另一种定义：能够表示成分数n m n nm 与,0(≠均为整数且互质），称为有理数.※※※ 有理数的性质：（1）具有顺序性：任意两个有理数a 与b ，在b a b a b a <=>,,三种关系中，有且仅有一种是成立的； （2）具有稠密性：任意两个有理数之间都有无穷多个有理数；（3）四则运算具有封闭性：有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数.※※※ 数轴、相反数、倒数、负倒数数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可；一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不是都代表有理数；数轴的引用使数与直线上的点联系起来，这是数与形的初步结合，数形结合是学习数学的一个重要方法.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数.特别地，0的相反数是0；相反数是成对出现的，不能单独存在，例如-5不能叫做相反数，而应说-5是5的相反数；如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反之亦然.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.倒数： 乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数 ；,a b 互为倒数，则有1ab =，反之亦然.；倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数.负倒数：乘积为－1的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；,a b 互为负倒数，则有1ab =-，反之亦然.※※※ 科学记数法、近似数与有效数字科学记数法：把N 写成10n a ⨯（其中110a ≤<）的表示方法叫科学记数法.近似数： 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，直到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.【例1】我来检测基本概念！（1）请你说出一个常见的不是有理数的数；（2）请你找找最大的负整数和最大的负数； （3）（第17届江苏省竞赛题）数轴上有A 、B 两点，如果A 点对应的数是-2，且A 、B 两点间的距离为3，那么B 点对应的数是多少？（4）（07北京中招课标卷改编）－3的负倒数是 ；（5）若a 与4b互为相反数，且b ≠0，则a 的负倒数的是 ；（6）相反数与倒数互为相反数的有理数是 .<分析>：在基础班和提高班设置此题的主要目的是请老师能帮助孩子们系统的复习或学习一遍前面的基础知识.您可以采用多种形式让孩子们进入有理数的思想环境，可根据自己班级的情况采用提问式、学生讲解等多种形式调动课堂！（1）π，无限不循环小数不是无理数 ； 针对本班级情况适当复习基础知识中的“按定义分类的有理数框架”； （2）最大的负整数是－1，最大的负数不存在，它比0小，且无限接近0 . 同理最小的正整数是1，没有最小的正数和最小的整数 ；（3）1和－5 ；本题帮助教师考察学生正确画出数轴的能力，同时请您根据本班情况以提问的方式将有关数轴的基础知识复习一下； （4）13，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；正数的负倒数是负数，负数的负倒数是正数； （5）4b；（6）1和－1，一般对于这类题目我们考虑的对象是：1、－1和0，逐一验证.【巩固】（1）（北大附中2005-2006学年初一年考试）倒数等于它本身的有理数是___1±____，平方是4的数是__2±_____；（2）在0和－1之间有没有负数？若有，有多个？（有无数个.）（3）全体整数的和是 0 ，绝对值不大于2004的所有有理数的和是0 ，这些数字的乘积是 0 ；（4）一个数大于它的相反数，则这个数是 正数 ；（5）若m 的相反数是最大的负整数，n 是绝对值最小的有理数，则m+n= 1 ； （6）是整数而不是正数的是 零和负整数 .（7）a b c--+；+-的相反数是：a b c（8）绝对值是它本身的数是：非负数 .这样的题目有很多，您可以让孩子们自己出这类题目，帮助他们加深理解.对于基础班的孩子，请教师在基础知识上多花些时间！【例2】（07北京中招课标卷改编）国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示（保留三位有效数字）.<分析>： 2.60×105 . 此类的题目是中考的必考题目，所以学生在此多加用心，很容易将它吃透.【巩固】用四舍五入法，按括号内的要求求出下列各数的近似值：（1）4.79651(精确到百分位) 4.80 ；（2）4.79651(精确到0.1) 4.8 ；（3）479651(精确到百位) 4.797×105；（4）47.9651 (保留三位有效数字) 48.0 ；（5）19823960(保留六位有效数字) 1.98240×107；（6）0.035741(精确到万分位) 0.0357 ．【例3】（第16届希望杯1试）以下四个论断中不正确的是（）A. 在数轴上，关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数．B. 两个有理数互为相反数，则它们在数轴上对应的两个点关于原点对称．C. 两个有理数不等，则它们的绝对值不等．D. 两个有理数的绝对值不等，则这两个有理数不等．<分析>： C中互为相反数的两个数不相等，但是它们的绝对值是相等的.有理数的运算※※※有理数的加、减、乘、除、乘方对有理数的四则运算法则，要本着“先定符号，后绝对值”的顺序运算，养成良好习惯.有理数运算仍然满足加法交换律和结合律两大定律和乘法交换律、分配率、结合律三大定律.计算的每一步都要有根据，切忌想当然，自己“创造”定律、公式等计算.（1）有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；较小的绝对值；③一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.例如：（+3）+（-0.15）+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11 .（3）有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.（4）有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1(0)a b a bb÷=⨯≠；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.（5）有理数的乘方求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.当n为奇数时，()n na a-=-；而当n为偶数时，()n na a-= .特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.(-2)7表示7个-2相乘，而-27则表示7个2相乘积的相反数.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，任何不为0的数的0次幂都是“1”.（6）基本运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.实际解题时需要认真观察算式结构灵活决定运算顺序.【例4】（2006年扬州市中考题）电车公司抢修队，乘汽车去检修线路，如果电车在一条直路上开，向东行驶记为正，向西行驶记为负，某天这辆抢修车从A地出发一天所走的路程为：（单位：千米）-15，-2，5，-1，10，-3，-2，12，-5，6（1）收工时这辆车距A地有多远？（2）若每千米耗油0.33m，问：这一天这辆车共耗油多少3m？<分析>：（1）（-15）＋（-2）＋（5）＋（-1）＋（10）＋（-3）＋（-2）＋（12）＋（-5）＋（6）＝5（千米）. 计算小技巧：负数和负数相加，正数和正数相加，而后求两数的和．＋｜6｜｝×0.3=18.3( 3m ).【巩固】A 市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A 市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3 、-7.2 、-6.1 、8 、9.3 、 -1.8 （单位：公里，向北行驶记为正，向南行驶记为负），车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？<分析>：毛收入：（3+8+7+8+10+2）×2=76（元）， 汽油成本：（2.3+|-7.2|+|-6.1|+8+9.3+|-1.8|）×0.1×4=13.88（元），收入62.12元. 他最后距离出发点的距离：|2.3-7.2-6.1+8+9.3-1.8|=4.5（公里）.【例5】（07北京中招课标卷）北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（ ）A. 28ºCB. 29ºCC. 30ºCD. 31ºC<分析>：答案为B. 当一组大小比较集中的数字求和时，我们可以先找一个“基准数”，（基准数尽量选用这组数的中间数，同时兼顾它是整十、整百的数，方便计算）.本题中我们可以选用30为“基准数”，那么平均值=30+（-5-2+0-1+1+2-2）÷7=29（ºC ）； 其总和=30×7+（-5-2+0-1+1+2-2）=203（ºC ）.【巩固】10箱苹果，如果每箱以20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，每箱的质量记录如下：+2，+1，0，-1，-1.5，-0.5，+1，+1.5，+1，-0.5，这10箱苹果的总质量是多少千克？<分析>： +2+1+0-1-1.5-0.5+1+1.5+1-0.5=3（千克），总质量：20×10+3=203（千克），若进一步计算 平均质量时我们还可以这样算：20+3÷10=20.3（千克）.【巩固】 如果两数相加，其和小于每一个加数，则两数一定是 两个加数同为负数【巩固】（1）0,0a b ><，则a b - ＞ 0；（2）0,0a b <>，则a b - ＜ 0；（3）0,0a b <<，则()a b -- ＜ 0；（4）0,0a b <<，且||||a b <，则a b - ＞ 0.【例6】（1）如果0,0ac bc b><，且()0a b c ->，试确定,,a b c 的符号.（2）用“＞”或“＜”填空① 如果0,0ab ac c><，那么b 0 ；② 如果0,0abb c><，那么ac 0 . （3）如果0ac <，那么下面的不等式：22330,0,0,0,0a ac a c ac a c c<<<<<，中必定成立的有哪几个？<分析>：（1）0bc <说明,b c 异号，那么0c b<；又因为0ac b>，所以0a <；因为()0a b c ->，所以0b c -<，进而得b c <，且0bc <，所以0,0b c <>. （2）①b ＜ 0 ；② 那么ac ＜ 0 . （3）必定成立的有330,0,0a ac a c c<<<【巩固】 设0m <，则31m - ＜ 21m +，1(3)5m - ＜ 1(3)6m -.【巩固】,,a b c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ A ）A. 0a >，,b c 同号B. 0,,b a c >异号C. 0,,c a b >异号D. ,,a b c 同号【巩固】若,,,a b c d 是互不相等的整数，且9abcd =则a b c d +++的值为（ ） A ． 0 B ．4 C ．8 D ．无法确定．<分析>： ,,,a b c d 4个数是1,3±±，所以a b c d +++=0.【例7】（1）计算()()2007200822-+-的结果为：（2）计算：20072007(0.125)(8)⨯-<分析>：（1）()()200720082007200820072007200722222222-+-=-+=⨯-=（2）从乘方的概念入手讲解，可得答案为－1.在此帮助学生巩固规律：221(1)1,(1)1nn --=-=-，（n 为正整数）.【巩固】 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20072007ab+=？<分析>：由有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，可以得到：1a =±，0b =，（1）若1a =，20072007a b +=1；（2）若1a =-，20072007ab +=－1.【巩固】当n 为 奇 数时，()()n2n110-+-=；当n 为 偶 数时，()()n2n112-+-=【例8】 用简便办法计算：（1）111111(1)()2346936-+-+--÷- （2）2215130.34(13)0.343737-⨯-⨯+⨯--⨯（3）()222213110.332⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-÷⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）（四中06学年期中测验）计算20052)1(5]6)2()436183(212[-⨯÷⨯-⨯-+-（5）11121314151617(1)(1)|1|(1)(1)(1)[(1)].-----+---+----<分析>： （1）原式11111(1)(36)1812964364923469=-+-++⨯=-+-++=；（2）原式2125(13130.340.34)13.343377=-⨯+⨯+⨯+⨯=-.（3）原式23931002(41)254162100293⎛⎫⎛⎫=--⨯-÷=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）原式53131513[()24](1)[(9418)](1)28645252=-+-⨯⨯⨯-=-+-⨯⨯-=-.（5）原式11111113=----++-=-【例9】 2001减去它的12，再减去剩余数的13，再减去剩余数的14，……依次类推，一直到减去剩余数的12001，问最后剩余的数是什么？<分析>：最后剩余的数是：111112320002001(1)(1)(1)...(1)2001 (1234)20012342001⨯-⨯-⨯-⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=.【巩固】 （第十届“希望杯”竞赛题）1111(1)(1)(1).....(1)_______1998199719961000----= <分析>：1199711996119951,1,1,199819981997199719961996-=--=--=…19991.10001000-=-把这999个式子相乘, 99911119991【巩固】 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)4916252500-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-<分析>：原式=11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233445050-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+13243546495122334455505013243546495115151223344555050250100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯=-＝（-）（-）（-）（-）（-）【例10】（人大附中单元练习）若,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式2cd m a b m--+的值为多少？<分析>：当2m =时，2211()40422cd cd m a b m a b m m --+=-++=-+=；当2m =-时，2211()40322cdcdm a b m a b m m --+=-++=--=.【巩固】 (2004年海淀区中招考试题改编)已知,a b 互为相反数,,c d 互为倒数,x 的绝对值等于2,试求:220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值.<分析>： 由题意可知0,1,2a b c d x +===±, 所以当2x =时, 220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-=1 当2x =-时, 220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-=5【巩固】 有理数a 和b ，已知5a +与21b -互为相反数，且1b +的相反数等于它本身，则a 和b 的值分别为多少？<分析>：1b +的相反数等于它本身，那么10b +=，1b =-；5a +与21b -互为相反数，则(5)(21)0a b ++-=， 可得2a =-.有理数大小的比较（1）利用数轴比较大小：右边的数总比左边的大；负数＜0＜正数；两数同负，绝对值大的反而小.（2）做差比较法：0 a b a ba b a ba b a b>⇔->⎧⎪=⇔-=⎨⎪<⇔-<⎩（3）做商比较法常用来比较两正数的大小：10,011aa bbaa b a bbaa bb⎧>⇔>⎪⎪⎪>>=⇔=⎨⎪⎪<⇔<⎪⎩。
浙教初一数学讲义：第一讲 有理数的分类、数轴、相反数
第一讲有理数的分类、数轴、相反数一、知识结构·有理数的分类1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数 0 （0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数·数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
（如，数轴上的点π不是有理数）3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a可以表示什么数⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=06.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
第一讲-有理数(一)
、一个数的负倒数等于它本身的数是
、一个数的倒数等于它本身的数是0、
、一个数的绝对值等于它本身的数是0
、一个数的相反数等于它本身的数是0
（2） 数轴上，若点 、 表示互为相反数的两个数，并且这两个点间的距离是6，则这两点所表示的数为
数轴上的点 、 分别表示的数为 和 ，点 的 中点，则点 所表示的数是
相反数的表示方法以及多重符号的化简
（1）数 的相反数是 ，这里的数 是任意有理数，即 可以是正数、负数或0.
当 时， （正数的相反数是负数）；
当 时， （负数的相反数是正数）；
当 时， （0的相反数是0）
（2）多重符号的化简方法：一个正数前面有偶数个“-”，可以把“-”一起去掉；一个正数前面
有奇数个“-”，则化简符号后只剩一个“-”；0前面不论有多少个“+”或“-”，化简后仍是0。
（3）求下列各数的绝对值
板块三 有理数的运算
知识要号结合； 同分母结合； 凑整数； 相反数结合
2、有理数乘法的简便运算
互为倒数或可以约分结合； 逆用乘法分配律； 凑成整数
3、乘方的符号法则
正数的任何次幂都是正数；
0的任何正数次幂都是0；
负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数
负数 0 正数
精讲精练
（前铺）（1）一种零件的长度在图纸上是（ ）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，
加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米。
例题1:（1）如：“+”100元，表示收入100元，则-30元表示支出30元。
足球比赛胜一场记为+1，输3场记为
+12米表示水位上升12米，-10米表示
向东走5米，记为+5米，则-2米表示
新课 第一讲 有理数的概念
第一讲有理数的概念一、正数和负数在我们的这个教室中就有许多数学的应用，我们在一个长约为12米，宽8米的教室里，多数同学都是13岁，我们班26人，女生占班级人数的12，我们的讲台宽0.8米，高1.2米····[问题1]:在老师刚才的描述中出现了你所熟悉的哪几类数字?你能将以前所学数字进行分类吗?整数：{ }分数：{ }[问题2]:在实际生活中仅有你以前学的数够用吗?请看下面的例子，如何记录其中的数据呢？(1)温度是零上10℃和零下5℃． (2)收入500元和支出237元．(3)水位升高1.2米和下降0.7米． (4)买进100辆自行车和卖出20辆自行车．正数、负数的概念：像3，2，0.5，1.8％这样比0大的数叫__________，根据需要，有时在正数前面加上“+”，如+5，_______，_______，_______，_______···。
正数前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加上“—”号的数叫__________。
如-6，_______，_______，_______，_______···。
“-6”读作__________。
【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？-10，1，-0.5，0，36，52，15％，-60，531，22.8【巩固1】下列各数-11 ，0.2，-18，+47，1，-1，-a，-30％中，（）一定是正数，（）一定是负数。
对“0”的理解:0既不是________数，也不是__________数，它是正数与负数的分水岭。
它的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。
【例2】对于“0”的说法正确的有_____________________(正确的序号写在)①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。
初一数学暑假第01讲-有理数的定义
第一讲 有理数的基本概念及运算一、正数、负数1.正数【概念】像220.123π+，，，…这样大于0的数都是正数。
2.负数【概念】像47-，-3.14，-2015…这样在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数。
【注意】：（1）正数大于0，负数小于0；（2）0既不是正数，也不是负数；（3）正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数，负号不能省略。
3.相反意义的量【概念】如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然。
【举例】用正数表示向东，那么向西3km 可以用负数表示为-3km 。
【注意】“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量。
（1）如果收入500元，记作+500元，那么支出237元记作________。
（2）甲，乙两地海拔高度分别是+500米，-250米，那么甲地比乙地高出 。
（3）汽车向东行驶5千米记作+5千米，那么向西行驶3千米记作 。
（4）牛牛最喜欢吃方便面，有一次他连续吃了5包的方便面。
已知方便面外包装上印有 “1005±(g )”字样，细心的牛牛老师对每包方便面都进行称重，质量分别为103g ，101g ， 99g ，105g ，95g ，请问，牛牛老师吃的方便面合格吗？知识点1例1（5）下面说法正确的是（）A．带正号的数就是正数，带负号的数就是负数B．任何一个正数前面加上“—”，就是一个负数C．0是最小的正数D．a既是正数，又是负数练一练1（1）向南走-23米表示。
（2）成都地区6月平均温度为25℃，记录表上有6月份5天的记录分别为+2.7，0， +1.4， -3，-4.7，那么这5项记录表示的实际温度分别是（3）七名同学的体重以48kg为标准,超过记为正,不足记为负,记录如下编号1234567与标准体重的差(kg) -3.0+1.5+0.80+0.3+1.2+0.5最接近标准体重的学生体重是多少?按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?二、有理数1．有理数【概念】整数与分数统称有理数。
第一讲数系扩张--有理数一
第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
第一讲 有理数的概念
练习：火眼真金，找到下列图在正确的数轴.
注意：是直线、有原点、通常向右为正，单位长度均匀分布.
练习：画出数轴并表示以下有理数：2， ，3，-3.5，0
注意：每一个有理数都对应数轴上的一个点.
思考：所有的有理数都在数轴上吗？（是的）
A.收入20元与支出30元 B.上升了6米和后退了7米
C.卖出10斤米和盈利10元 D.向东行走30米和向北行走30米
（2）如果盈利20元记作＋20，那么亏本50元记作.
（3）如果“盈利5％”记作＋5％”，那么-3％表示（ ）
A.亏损3％ B.亏损8％ C.盈利2％ D.少赚3％
练1-2.（1）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A.3B.1C.-2D.-4
练5-2.（1）数轴上的点A、B，如果点A对应的是-2，A、B两点的距离为3，那么点B对应
的数是.
（2）小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据
请确定墨迹遮盖住的整数共有个
附加题：
地点
纽约
纽约
纽约
纽约
时差/时
-13
-13
-13
-13
【1】下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数），现在的北京时间是上午8:00，
笔记：所有的有理数都在数轴上.
思考：数轴上的点都表示有理数吗？
笔记：数轴上的点不都表示有理数，也可以表示像 这样的无限不循环小数.
练习：直接说出数轴上点A、B表示的数a、b的大小.
笔记：数轴上右边点表示的数比左边点表示的数大， 简称：右大左小
例4.将有理数3，-2，1.2， ，0， ，-4在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来.
第一讲------------有理数
第一讲 有理数Ⅰ、主要知识回顾㈠ 有关概念1、 、 和 统称整数， 和 统称分数， 和 统称有理数 . 负分数, 如722-,-0.3(即103-),.0.3,53-.... 2、规定了 、 和 的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数， 边的数总比 边的数大.3、只有符号不同的两个数称互为相反数.如211 和 互为相反数. 在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的 ，且与原点的距离 。
我们还规定：0的相反数是 . 通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的 . 例如 -(-4)=4, -(+5.5)=-5.5同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身. 例如 +(-4)=-4，+(+12)=12.4、我们把在数轴上表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。
记作|a|例如，在数轴上表示数-6与表示数6的点与原点的距离都是6，所以-6和6的绝对值都是6，记作|-6|=|6|=6.同样可知|-4|= ，|+1.7|= .一个正数的绝对值是它 ； 0的绝对值是 ；一个负数的绝对值是它的 . 不论有理数a 取何值，它的绝对值总是 或 (通常也称 ).即对任意有理数a ，总有|a| 0.5、有理数大小比较的一般法则：(1) 负数小于0，0小于正数，负数小于正数；(2) 两个正数，应用已有的方法比较；(3) 两个负数，绝对值大的反而 .如：－1 －0.01; --；－0.3 31-；⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101-- ㈡运算1、有理数的加法法则：（1） 同号两数相加，取 的符号，并把 相加；（2） 绝对值不等的异号两数相加，取 加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值；（3） 互为相反数的两个数相加得 ；(4) 一个数同0相加，仍得 .注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.如：(+2)+(-11)= ；(+20)+(+12)= ；12123⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；(-3.4)+4.3= 2、有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的 .如；(1)(+2)-(-3)=(-2)+( )； (2)0 - (-4)= 0 +( )；(3)(-6)- 3 =(-6)+( )； (4)1 - (+39) = 1 +( ).3、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.如：(－5)×(－6)= ；1124⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭ 不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为 ； 当负因数有偶数个时，积为几个不等于0的数相乘，首先确定积的 ，然后把 相乘.几个数相乘，有一个因数为0，积就为 .如： ()()153222⎛⎫-⨯-⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭ ； ()()58.1 3.140-⨯-⨯⨯= 4、有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的 .注意：0不能作除数.因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除.0除以任何一个 的数，都得0.如；()618÷-= ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251= ;⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷54256= 5、n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·…·a ，记作n an 个这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在n a 中， 叫作底数， 叫做指数，n a 读作a 的n 次方，也可读作a 的n 次幂. 正数的任何次幂都是 ；负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 .计算：()31-= ; ()101-= ；()31.0= ；423⎪⎭⎫ ⎝⎛= 6、加法交换律:两个数相加，交换加数的位置， 不变.即 a + b =加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.即 ( a + b )+ c = + ( + )计算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-218312417211321乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置， 不变。
第1讲有理数有关概念及大小比较
第一讲有理数的有关概念及大小比较一、知识要点1、像等大于0的数叫做正数；像等在正数前面加上“-”（读作负）号的数，叫做负数，即在以前学过的0以外的数前面加上“-”（读作负）号的数就叫做负数；数0既不是，也不是 .2、和统称为有理数.3、有理数的两种分类方法如下：正整数整数零负整数有理数（按整数和分数来分类）正分数分数负分数有理数⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数零负整数负有理数负分数（按正负性来分类）4、数轴的定义：规定了、和的直线叫数轴；5、任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示．6、只有符号不同的两个数叫做．7、两个互为相反数的数，在数轴上的对应点（0除外），是在两旁，•并且是距离相等的两个点，规定0的相反数就是．即：我们把a的相反数记为－a，这里的a表示任意一个数，它可以是正数也可以是或 .8、绝对值的几何定义：在数轴上表示数a的点与原点的叫做a的绝对值，记作│a│.绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0 .9、数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比大.负数小于零, 零小于正数，负数小于正数.（1）两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（2）两个有理数的大小比较，一般地有：①比较两个负数的大小又多了一种方法，即：两个负数，绝对值大的反而小.②异号的两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑先比较它们的绝对值. ③在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序也就是从小到大的顺序，即：左边的数总比右边的数要小.二、知识运用典型例题例1：1.与上次测验相比，王宇的数学分数上升了18分，语文分数下降了4分，英语分数上升了9分，请写出王宇同学这三科分数的增减情况.2.甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为 ,这时甲乙两人相距 m.3.所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数分别填入相应的集合框里：127，3.1，0，2004，-85，-0.2，10%，10.l ，0.67，-89正数集合 负数集合整数集合 分数集合 4.下列说法中，错误的有（ ）①742 是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数； ⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。
第一讲 有理数
B 表示+2，则点 B 到原点的距离是______个单位；在数轴上表示到原点的距离
为 1 的点的数是___ ___；
14、在数轴上表示的两个数，______的数总是比________数小；
15、0 大于一切________；
16、任何有理数都可以用___________上的点来表示；
17、点 A 在数轴上距原点为 3 个单位，且位于原点左侧，若将 A 向右移动 4 个
3、已知数轴上的一个点，表示的数为 3，则这个点到原点的距离一定是 3 个单
位长度。( )
4、若 A，B 表示两个相邻的整数，那么这两个点之间的距离是一个单位长度。
(
)
5、若 A、B 两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相
邻的整数( )
6、数轴上不存在最小的正整数。 ( )
7、数轴上不存在最小的负整数。 ( )
A．﹣5℃ B．﹣3℃ C．+5℃ D．+3℃
10．如果股票指数上涨 30 点记作+30，那么股票指数下跌 20 点记作（ ）
A．﹣20 B．+20 C．﹣10 D．+10
11．如果收入 200 元记作+200 元，那么支出 80 元应记作（ ）元．
A．﹣120 B．+120 C．﹣80 D．+80
),负数有(
)。
2
3、银行存折上的“2000.00”表示存入 2000 元，那么“-500.00”表示（
）
4、向前走记为+5 步，则向后走了 3 步记为 。 某个地区，一天早晨的温度
是-7℃，中午上升了 12℃，则中午的温度是
。
5、将下面的数填在适当的（ ）里
有理数概论
第一讲：有理数概论要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．要点三、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km 、m 、dm 、cm 等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π. 要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. （2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 要点四、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.12+12-π（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点五、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.要点六、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点七、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小．如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2．法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a ＜b；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．要点八、有理数的运算 1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点九、科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.1a b >a b >1a b =a b =1ab<a b <1b2(3)9-=3(3)27-=-10na ⨯110a ≤<n5210⨯0.10.05类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．举一反三： 【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 .-（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 .(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min. (4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ . (5) 近似数0.4062精确到 位，近似数 5.47×105精确到 位，近似数3.5万精确到 位， 3.4030×105精确到千位是 .2．（2015春•射洪县月考）如果|x+3|+|y ﹣4|=0，求x+2y 的值．3．在下列两数之间填上适当的不等号：________． 举一反三：【变式】比较大小：(1)________0.001； (2)________-0.68 类型二、有理数的运算4．（2016•厦门）计算：．举一反三：【变式】（2014秋•埇桥区校级期中）﹣33×（﹣5）+16÷（﹣2）3﹣|﹣4×5|+（﹣0.625）321-321-321-21-=++)(323b a cd 2005200620062007199-23-类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算：举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭12-1314-1516-【课堂练习】 一、选择题1．计算106×(102)3÷104之值为（ ）．A ．108B ．109C ．1010D ．10122．（2015•永州）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A 和B ，则A 和B 两点间的距离为（ ） A ．2013 B ． 2014 C ． 2015 D ． 2016 3．下列语句中，正确的个数是（ ）.①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若，则. A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知|，，，则的值是（ ）.A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±35．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”、“15cm ”分别对应数轴上的，则（ ）．A ．B ．C ．D ． 6. 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9,那么数轴的原点对应点是 （ ）． A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点7.有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 8.记，令，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2004，那么8，，，…，的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010 二、填空题 9．（2015•烟台）如图，数轴上点A 、B 所表示的两个数的和的绝对值是 ．10．2011年成市承接产业转移示范区建设成效明显，第一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作________元．0m n <<mn n m <-||5m =||2n =||m n n m -=-m n +3.6x -和910x <<1011x <<1112x <<1213x <<0a b c ++>a b c +<a c a c -=+b c c a ->-12n n S a a a =+++…12nn S S S T n+++=…n T 1a 2a n a 1a 2a 500a 1a 2a 500a11．一种零件的尺寸在图纸上是（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________． 12．（2016•巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．13．如图，有理数对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：________0；________0；0； ________0．14．已知满足，则代数式的值是 ．15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．16．观察下列算式： ，，，，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：． 三、 解答题 17．（2016春•新泰市校级月考）计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）0.050.027+-,a b a b +a b -()()________a b a b +-2(1)ab ab +,,a b c ()()()0,0a b b c c a abc +++=<a b ca b c++23451=+⨯24462=+⨯25473=+⨯24846⨯+=250___________=+⨯（4）（﹣24）×（﹣++）18.（2015•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为多少元？19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，，b 的形式，且x 的绝对值为2，求的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（5）经过以上计算，你有何感想和建议？b a200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+【课后练习】一、选择题 1．（2016•益阳）的相反数是（ ）A ．2016B ．﹣2016C ．D ．2.（2015•吉林）若等式0□1=﹣1成立，则□内的运算符号为（ ） A ．+ B ． ﹣ C ． × D ． ÷ 3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×人B ．202×人C ．2.02×人D ．2.02×人 5．若-1<a<0,则a ，从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<B ．a << a 2C ．<a< a 2D ．a < a 2<6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或6 7．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．>0 D ．a-b>0 8．已知有理数，在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入，，充分实验验证：对于任意有理数，，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ） A ． B ． C ． D ．二、 填空题9.（2015•东阳市模拟）一运动员某次跳水的最高点离跳板2m ，记作+2m ，则水面离跳板3m 可以记作 m ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米，精确到千亿位为 千米． 12．，则； ，则. 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则= .)511(-|32+，21081091010102a ,a1a 1a 1a 1a1baa b a b a b a b -||||a b +||||a b -||a b -7=x ______=x 7=-x ______=x |1|-a14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ． 15．＝ ．16．（2016春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32016的个位数字是 ．三、 解答题 17．计算：（1）（2）（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19（4）18.（2015春•万州区期末）某服装店以每件82元的价格购进了30套保暖内衣，销售时，针对不同的顾客，这30套保暖内衣的售价不完全相同，若以100元为标准，将超过的钱()221---222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19．某地的气象观测资料表明，高度每增加1km ，气温大约下降6℃，若该地地面温度为18℃，高空某处气温为-48℃，求此处的高度．20．先观察下列各式：；；；…；，根据以上观察，计算：…的值． 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭1111447710+++⨯⨯⨯120052008+⨯。
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第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。
三、例 题 示 范 1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。
提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。
试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。
分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。
例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。
提示：P=nab a -+（n 为大于是 的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。
例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 提示：仿例5，造零。
结论：2003。
例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。
例9、 计算-+++⨯----)200213121()2001131211( )200113121()2002131211(+++⨯---- 提示：字母代数，整体化：令200113121,2001131211+++=----= B A ，则例10、计算（1）100991321211⨯++⨯+⨯ ；（2）100981421311⨯++⨯+⨯ 提示：裂项相消。
常用裂项关系式：（3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+； （4）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。
例11 计算 n +++++++++++321132112111 （n 为自然数） 例12、计算 1+2+22+23+…+22000提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+22000，则S=2S -S=22001-1。
例13、比较200022000164834221+++++= S 与2的大小。
提示：错项相减：计算S 21。
第二讲 绝 对 值一、知识要点1、绝对值的代数意义；2、绝对值的几何意义： （1）|a|、（2）|a-b|；3、绝对值的性质：（1）|-a|=|a|, |a|≥0 , |a|≥a ； （2）|a|2=|a 2|=a 2； （3）|ab|=|a||b|； （4）||||||b a b a =（b ≠0）； 4、绝对值方程：（1） 最简单的绝对值方程|x|=a 的解：⎪⎩⎪⎨⎧=±=0000 a a a a x 无解（2）解题方法：换元法，分类讨论法。
二、绝对值问题解题关键：（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。
三、例题示范例1 已知a <0，化简|2a-|a||。
提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。
例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a ，则a+b= ，满足条件的a 有几个？例3 已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。
例4 已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求||||||c ba b a c a c b +++++的值。
注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。
例5 已知：π例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x 的取值范围。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|>7。
提示：1、根轴法；2、几何法。
例9 m 为有理数，求|m-2|+|m-4|+|m-6|+|m-8|的最小值。
提示：结合几何图形，就m 所处的四种位置讨论。
结论：最小值为8。
例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x 是实数，且f （x ）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f （x ）的最小值等于___6_______.例11 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少？解 由已知条件可得：T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.例12 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间. 证 设两数为a 、b ，则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=||ab＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1. ∴a、b 都不在-1与1之间.例13 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、11、3、14台，现在为使各校电脑数相等，各调几台给邻校：一小给二小、二小给三小、三小给四小、四小给五小、五小给一小。
若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小三台，要使电脑移动的总台数最少，应怎样安排？例14 解方程（1）|3x-1|=8 （2） ||x-2|-1|=21（3）|3x-2|=x+4 （4）|x-1|+|x-2|+|x+3|=6.例15（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x ＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x ＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x ＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.第三讲 一次方程（组）一、基础知识1、方程的定义：含有未知数的等式。
2、一元一次方程：含有一个未知数并且未知数的最高次数为一次的整式方程。
3、方程的解（根）：使方程左右两边的值相等的未知数的值。
4、字母系数的一元一次方程：ax=b 。
其解的情况：⎪⎪⎨⎧===≠；，b a a b x ，a 解这任意数时当有唯一解时当0;05、一次方程组：由两个或两个以上的一次方程联立在一起的联产方程。
常见的是二元一次方程组，三元一次方程组。
6、方程式组的解：适合方程组中每一个方程的未知数的值。
7、解方程组的基本思想：消元（加减消元法、代入消元法）。
二、例题示范例1、 解方程1}8]6)432(51[71{91=++++x 例2、 关于x 的方程6232bkx a kx -+=+中，a,b 为定值，无论k 为何值时，方程的解总是1，求a 、b 的值。
提示：用赋值法，对k 赋以某一值后求之。
例3、（第36届美国中学数学竞赛题）设a ，a ＇b ，b ＇是实数，且a 和a ＇不为零，如果方程ax+b=0的解小于a /x+b ＇=0的解，求a ，a ＇b ，b ＇应满足的条件。
例4 解关于x 的方程1)1(2+=-ax x a .提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a 进行讨论例5 k 为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。
提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k 进行讨论。
例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？ 分析 依题意，即要证明存在一组与a 无关的x ，y 的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a 取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法例7（1989年上海初一试题），方程并且abc≠0，那么x____提示：1、去分母求解；2、将3改写为bb a ac c ++。
例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x 1,x 2,x 3,x 4和x 5满足下列方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++96248224212262543214321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x确定3x 4+2x 5的值.说明：整体代换方法是一种重要的解题策略. 例9 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++=++)3(3)2(2)1(1m m z y x m z m y x m z y m x 提示：仿例8，注意就m 讨论。
例10 如果方程组⎩⎨⎧=--+=-+0253032m y x m y x （1）的解是方程2x-y=4（2）的解，求m 的值。
提示：1、从（1）中解出x,y 用m 表示，再代入（2）求m ；2、在（1）中用消元法消去m 再与（2）联立求出x,y ，再代入（1）求m 。
例11 如果方程ax+by+cz=d 对一切x,y,z 都成立，求a,b,c,d 的值。
提示：赋值法。
⎪⎧+=+=x z z y x提示：引进新未知数第四讲 列方程（组）解应用题一、知识要点1、 列方程解应用题的一般步骤：审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等.2、 列方程解应用题要领：（1） 善于将生活语言代数化；（2） 掌握一定的设元技巧（直接设元，间接设元，辅助设元）； （3） 善于寻找数量间的等量关系。