数学必修一练习题汇总含答案
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数学必修一练习题汇总
含答案
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第一章综合练习
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为()
A.3 B.6
C.7 D.8
解析:含一个元素的有{1},{2},{3},共3个;含两个元素的有{1,2},{1,3},{2,3},共3个;空集是任何非空集合的真子集,故有7个.
答案:C
2.下列五个写法,其中错误
..写法的个数为()
①{0}∈{0,2,3};②{0};③{0,1,2}{1,2,0};④0∈;⑤0∩=
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:②③正确.
答案:C
3.使根式与分别有意义的x的允许值集合依次为M、F,则使根式+有意义的x的允许值集合可表示为()
A.M∪F B.M∩F C.M F D.F M 解析:根式+有意义,必须与同时有意义才可.
答案:B
4.已知M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则M∩N等于()
A.N B.M C.R D.
解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故M∩N=N.
答案:A
5.函数y=x2+2x+3(x≥0)的值域为()
A.R B.[0,+∞)C.[2,+∞) D.[3,+∞)
解析:y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴函数在区间[0,+∞)上为增函数,故y≥(0+1)2+2=3.
答案:D
6.等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰的长x的函数,则y等于()
A.20-2x(0 C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5 解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知2x>y=20-2x,x>5. 答案:D 7.用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水,则水面的高度h和时间t之间的关系是图1乙中的() 甲 乙 图1 解析:水面升高的速度由慢逐渐加快. 答案:B 8.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是() ①y=f(|x|)②y=f(-x)③y=xf(x)④y=f(x)+x A.①③B.②③C.①④D.②④ 解析:因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数; ②y=f(-x)为奇函数;③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·[-f(x)]=xf(x).所以F(-x)=F(x).所以y=xf(x)为偶函数;④令F(x)=f(x)+x,所以F(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x].所以F(-x)=-F(x).所以y=f(x)+x为奇函数. 答案:D 9.已知0≤x≤,则函数f(x)=x2+x+1() A.有最小值-,无最大值B.有最小值,最大值1 C.有最小值1,最大值D.无最小值和最大值 解析:f(x)=x2+x+1=(x+)2+,画出该函数的图象知,f(x)在区间[0,]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f()=. 答案:C 10.已知函数f(x)的定义域为[a,b],函数y=f(x)的图象如图2甲所示,则函数f(|x|)的图象是图2乙中的() 甲 乙 图2 解析:因为y=f(|x|)是偶函数,所以y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x≥0的图象保留,再关于y轴对称得到的. 答案:B 11.若偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则() A.f(-) C.f(2) 解析:由f(x)是偶函数,得f(2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<-<-1,则f(2) 答案:D 已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f的值是() A.C. 解析:令x=-,则-f()=f(-),又∵f()=f(-),∴f()=0;令x=,f()=f(),得f()=0;令x=,f()=f(),得f()=0;而0·f(1)=f(0)=0,∴f=f(0)=0,故选A. 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.设全集U={a,b,c,d,e},A={a,c,d},B={b,d,e},则U A∩U B= ________. 解析:U A∩U B=U(A∪B),而A∪B={a,b,c,d,e}=U. 答案: 14.设全集U=R,A={x|x≥1},B={x|-1≤x<2},则U(A∩B)=________. 解析:A∩B={x|1≤x<2},∴R(A∩B)={x|x<1或x≥2}. 答案:{x|x<1或x≥2} 15.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a的取值范围为________. 解析:函数f(x)的对称轴为x=1-a,则由题知:1-a≥3即a≤-2. 答案:a≤-2 16.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f(1)、f(-2)从小到大的顺序是 __________. 解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0. ∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2) 答案:f(-2) 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}, (1)当x∈N*时,求A的子集的个数; (2)当x∈R且A∩B=时,求m的取值范围. 解:(1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5}, ∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个. (2)∵A∩B=, ∴m-1>2m+1或2m+1<-2或m-1>5, ∴m<-2或m>6. 18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠且BA,求a,b的值. 解:(1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1; (2)当B含有一个元素时,由Δ=0得a2=b, 当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1 当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1. 19.(12分)已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值. 解:∵f(x)=且f(2)=1,∴2=2a+b. 又∵方程f(x)=x有唯一实数解. ∴ax2+(b-1)x=0(a≠0)有唯一实数解. 故(b-1)2-4a×0=0,即b=1,又上式2a+b=2,可得:a=,从而f(x)==, ∴f(-4)==4,f(4)==,即f[f(-4)]=. 20.(12分)已知函数f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a 的值. 解:f(x)=42+2-2a. (1)当<0即a<0时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得:a=1-. (2)0≤≤2即0≤a≤4时,f(x)min=f=2-2a=3,解得:a=-(舍去). (3)>2即a>4时,f(x)min=f(2)=a2-10a+18=3,解得:a=5+, 综上可知:a的值为1-或5+. 21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下: 问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小? 解:设甲、乙两地距离为x千米(x>0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表: 于是y1=8x+1000+(+2)×300=14x+1600, y2=4x+1800+(+4)×300=7x+3000. 令y1-y2<0得x<200. ①当0 ②当x=200时,y1=y2,此时选用汽车或火车均可; ③当x>200时,y1>y2,此时应选用火车. 故当距离小于200千米时,选用汽车较好;当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;当距离大于200千米时,选用火车较好. 22.(12分)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当 x2>x1>0时,f(x2)>f(x1). (1)求f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范围. 解:(1)f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,f(8)=f(2)+f(4)=2+1=3. (2)∵f(x)+f(x-2)≤3,∴f[x(x-2)]≤f(8),又∵对于函数f(x)有x2>x1>0时f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. ∴2 第二章综合练习 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.计算log225·log32·log59的结果为() A.3 B.4 C.5 D.6 解析:原式=··=··=6. 答案:D 2.设f(x)=则f(f(2))的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 解析:f(2)=log3(22-1)=1,f(f(2))=2e1-1=2e0=2. 答案:C 3.如果log x>0成立,则x应满足的条件是() A.x> C.x<1 D.0 解析:由对数函数的图象可得. 答案:D 4.函数f(x)=log3(2-x)在定义域区间上是() A.增函数B.减函数 C.有时是增函数有时是减函数D.无法确定其单调 解析:由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单调性相反则为减函数. 答案:B 5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下() A.0.015克B.(1-%)3克 C.0.925克克 解析:设该放射性元素满足y=a x(a>0且a≠1),则有=a100得a=(). 可得放射性元素满足y=[()]x=().当x=3时,y=()==. 答案:D 6.函数y=log2x与y=log x的图象() A.关于原点对称B.关于x轴对称 C.关于y轴对称D.关于y=x对称 解析:据图象和代入式判定都可以做出判断,故选B. 答案:B 7.函数y=lg(-1)的图象关于() A.x轴对称B.y轴对称 C.原点对称D.y=x对称 解析:f(x)=lg(-1)=lg,f(-x)=lg=-f(x),所以y=lg(-1)关于原点对称,故选C. 答案:C 8.设a>b>c>1,则下列不等式中不正确的是() A.a c>b c B.log a b>log a c C.c a>c b D.log b c 解析:y=x c在(0,+∞)上递增,因为a>b,则a c>b c;y=log a x在(0,+∞)上递增,因为b>c,则log a b>log a c;y=c x在(-∞,+∞)上递增,因为a>b,则c a>c b.故选D. 答案:D 9.已知f(x)=log a(x+1)(a>0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<0,则f(x)是() A.增函数B.减函数 C.常数函数D.不单调的函数 解析:由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数.答案:A 10.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.b C.b>c>a D.a 解析:a==,b=,c==.∵243<124<66, ∴<<,即a 答案:D 11.若方程a x=x+a有两解,则a的取值范围为() A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,+∞) D. 解析:分别作出当a>1与0 (1)当a>1时,图象如下图1,满足题意. (2)当0 答案:A 12.已知f(x)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是() A.(,1) B.(0,)∪(1,+∞) C.(,10) D.(0,1)∪(0,+∞) 解析:由于f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f(-1)=f(1),且f(x)在(-∞,0)上是增函数,应有解得 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=________. 解析:由互为反函数关系知,f(x)过点(-1,2),代入得a-1=2a=. 答案: 14.方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为________. 解析:log2(x-1)=2-log2(x+1)log2(x-1)=log2,即x-1=,解得x=±(负值舍去),∴x=. 答案: 15.设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2007)))=________. 解析:f1(f2(f3(2007)))=f1(f2(20072))=f1((20072)-1)=[(20072)-1]=2007-1. 答案: 16.设0≤x≤2,则函数y=4x--3·2x+5的最大值是________,最小值是________.解析:设2x=t(1≤t≤4),则y=·4x-3·2x+5=t2-3t+5=(t-3)2+. 当t=3时,y min=;当t=1时,y max=×4+=. 答案: 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知a=(2+)-1,b=(2-)-1,求(a+1)-2+(b+1)-2的值. 解:(a+1)-2+(b+1)-2=(+1)-2+(+1)-2=()-2+()-2=(+)=[(7+4)(2-)+(7-4)(2+)]=×4=. 18.(12分)已知关于x的方程4x·a-(8+)·2x+4=0有一个根为2,求a的值和方程其余的根. 解:将x=2代入方程中, 得42·a-(8+)·22+4=0,解得a=2. 当a=2时,原方程为 4x·2-(8+)2x+4=0, 将此方程变形化为2·(2x)2-(8+)·2x+4=0. 令2x=y,得2y2-(8+)y+4=0. 解得y=4或y=. 当y=4时,即2x=4,解得x=2; 当y=时,2x=,解得x=-. 综上,a=2,方程其余的根为-. 19.(12分)已知f(x)=,证明:f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数. 证明:设任意x1,x2∈(-∞,+∞)且x1 f(x1)-f(x2)=-===.∵x1 20.(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,且f()=0,求不等式 f(log a x)>0(a>0,且a≠1)的解集. 解:f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上递增,f()=0, ∴f(x)在(-∞,0)上递减,f(-)=0,则有log a x>,或log a x<-. (1)当a>1时,log a x>,或log a x<-,可得x>,或0 (2)当0,或log a x<-,可得0 综上可知,当a>1时,f(log a x)>0的解集为(0,)∪(,+∞); 21.(12分)已知函数f(x)对一切实数x,y都满足f(x+y)=f(y)+(x+2y+1)x,且f(1)=0, (1)求f(0)的值; (2)求f(x)的解析式; (3)当x∈[0,]时,f(x)+3<2x+a恒成立,求a的范围. 解:(1)令x=1,y=0,则f(1)=f(0)+(1+1)×1,∴f(0)=f(1)-2=-2. (2)令y=0,则f(x)=f(0)+(x+1)x,∴f(x)=x2+x-2. (3)由f(x)+3<2x+a,得a>x2-x+1.设y=x2-x+1,则y=x2-x+1在(-∞,]上是减函数,所以y=x2-x+1在[0,]上的范围为≤y≤1,从而可得a>1. 22.(12分)设函数f(x)=log a(1-),其中0 (1)求证:f(x)是(a,+∞)上的减函数; (2)解不等式f(x)>1. 解:(1)证明:设任意x1,x2∈(a,+∞)且x1 x2<0,00.∴<0,∴1+<1,又∵00,∴f(x1)>f(x2),所以f(x)=log a(1-)在(a,+∞)上为减函数.