解三角形知识结构
解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结三角形是平面几何中重要的图形之一，研究三角形的性质可以帮助我们解决各种几何问题。
下面对常见的三角形知识点进行归纳总结。
一、三角形的定义和分类1.三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。
2.根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
3.根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
二、三角形的性质和关系1.三角形的内角和等于180度。
2.等边三角形的三个角都是60度。
3.等腰三角形的两个底角相等。
4.直角三角形的一个角是90度。
5.顶角相等的两个等腰三角形是全等的。
6.等腰三角形的底边上的高是它的中位线、垂直线和角平分线。
7.等边三角形的高、中位线、垂直线和角平分线是重合的。
8.三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三、三角形的重要线段和关系1.三角形的重心：三条中线的交点，也是三条中线的重心。
2.三角形的垂心：三条高线的交点，也是三条高线的垂心。
3.三角形的外心：三个顶点关于其中一直线对称的焦点，也是三个外接圆的圆心。
4.三角形的内心：三条内角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。
5.等腰三角形的高、两边中线和角平分线等于底边。
6.直角三角形的斜边是其他两边的和。
四、三角形的面积计算1.根据底和高的关系，可以计算普通三角形的面积。
2.根据两边和夹角的关系，可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式计算三角形的面积。
五、三角形的相似与全等1.两个三角形如果对应的角相等，则它们是相似的。
2.两个三角形如果对应的边和角都相等，则它们是全等的。
3.相似三角形的边长比例相等，面积比例为边长比例的平方。
六、勾股定理1.直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。
2.勾股定理可以用于证明三角形是否为直角三角形，也可以用于计算三角形的边长。
七、三角函数1.正弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的对边与斜边之比。
2.余弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的临边与斜边之比。
解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形一.正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin CA c a = 3）化边为角：C R cB R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===4）化角为边：;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin ca C A = 5）化角为边： Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ，解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin CB c b = ;sin sin CA c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理BA b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理CA c a sin sin =求出c 边4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <<sin 时，B 有两个解。
如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解)②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高二数学必修五 第一章 解三角形
高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。
②.n a 的求法：i.归纳法。
ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
高三文科数学复习解三角形知识要点及基础题型归纳整理
解三角形知识刚要一．公式与结论1．角与角关系：A +B +C = π；2．边与边关系：（1）大角对大边，大边对大角（2）两边之和大于第三边，两边只差小于第三边解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解3．正弦定理：正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 变形：①角化边 C R c BR b A R a sin 2sin 2sin 2=== ②边化角 R c C Rb B R a A 2sin 2sin 2sin ===③C B A c b a sin :sin :sin ::=①已知两角和一边；解三角形②已知两边和其中一边的对角．如：△ABC 中，①B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形 ②B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形。
4.余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积5．面积公式 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径.注:由面积公式求角时注意解的个数6相关的结论：1．角的变换在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
解三角形最全知识点总结
解 三 角 形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一 解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二 判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四 正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ． 【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五 三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余 弦 定 理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形 （3）已知三边解三角形题型一 已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】 方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形． 【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三 已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四 判断三角形的形状 例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一 有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二 测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】 如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三 测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°， 可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一 有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二 正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三 证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ， 两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。
高中数学必修5《解三角形应用举例》知识全解
《解三角形应用举例》知识全解一、知识结构二、内容解析正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如测量距离、高度、角度等.对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等.但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性.关于三角形的有关几何计算，书中涉及了三角形的高和面积的问题.课本直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到.书中证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式..在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.三、重点、难点.本节的教学重点是解决两个与测量有关的问题，也就是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．四、教法导引在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位.对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与、合作完成的，而教师很好地充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂.从而运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．适当安排一些实习作业，让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．五、学法建议在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识.。
完整版)解三角形知识点归纳总结
完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。
变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。
②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。
4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。
二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。
三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点三角形是数学中一个重要的几何形状，它是由三条边和三个角所确定的。
在高中数学中，解三角形的题型常常出现。
解三角形是指通过已知的条件，计算出三角形的边长和角度大小。
下面我们来了解一些解三角形的知识点。
一、勾股定理勾股定理是解决直角三角形问题的基本工具。
它的表达式是：直角三角形斜边的平方等于另外两条边平方的和。
即c²=a²+b²。
在解决直角三角形问题时，我们可以利用勾股定理来求解未知的边长。
二、正弦定理正弦定理是解决非直角三角形问题的重要定理。
对于一个三角形，它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
正弦定理的表达式为sinA/a = sinB/b = sinC/c。
当我们已知三个角度或两个角度和一个边长时，可以利用正弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
三、余弦定理余弦定理也是解决非直角三角形问题的重要定理。
对于一个三角形，它的三条边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。
余弦定理的表达式为c²=a²+b²-2abcosC。
当我们已知三个边长或两个边长和一个夹角时，可以利用余弦定理来计算出其他未知的边长或角度。
四、解决三角形面积的公式在解决三角形问题时，求解三角形的面积也是一个关键步骤。
一般情况下，可以利用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式的表达式为S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的边长，p表示三角形的半周长(p=(a+b+c)/2)。
五、特殊三角形此外，在解决三角形问题时，还需要了解一些特殊三角形的性质。
常见的特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
对于等腰三角形来说，它的两个底边相等，顶角相等；对于等边三角形来说，它的三条边都相等；对于直角三角形来说，它含有一个直角（90°）。
在解决三角形问题时，我们需要根据已知条件选择合适的解题方法，利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等知识点进行计算。
高二解三角形知识点总结
高二解三角形知识点总结三角形作为几何学中的基本图形之一，是高中数学中的重点内容。
解三角形是指通过给定的已知条件，确定三角形的各个要素，如边长、角度等。
在高二阶段，学习解三角形是为了培养学生的问题解决能力和几何推理能力。
以下是高二解三角形的主要知识点总结：一、三角形的分类1.按边长分：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
2.按角度分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3.根据两个要素的判断：全等三角形、相似三角形。
二、解决三角形问题的基本工具1.正弦定理：用于求解任意三角形中的边长和角度，即a/sinA= b/sinB = c/sinC。
2.余弦定理：用于求解任意三角形中的边长和角度，即c² = a² + b² - 2abcosC。
3.正切定理：用于求解任意三角形中的角度，即tanA = (b/a)。
三、解三角形的常见方法1.已知两个边长和一个角度：根据正弦定理或余弦定理求解。
2.已知两个边长和一个角度的情况下，求其他边长和角度：利用三角形内角和为180°以及三角函数之间的关系求解。
3.已知两个角度和一个边长：根据正弦定理或余弦定理求解。
4.已知两个角度和一个边长的情况下，求其他边长和角度：利用三角形内角和为180°以及三角函数之间的关系求解。
5.已知三个边长：根据余弦定理求解。
四、解三角形问题的注意事项1.在使用三角函数求解时，应注意所使用的角度单位（弧度制或角度制）。
2.在使用余弦定理时，要注意角度与边长的对应关系。
3.在解决三角形问题时，需注意给出的已知条件是否足够。
通过学习以上知识点，我们能够更加熟练地解决各类三角形问题，提高数学分析和推理的能力。
解三角形不仅在高中数学中具有重要地位，同时也在实际生活和其他学科领域中有广泛的应用，如测量、导航、建筑等。
总结：在高二阶段，解三角形是一个重要的数学内容，学习解三角形有助于培养学生的问题解决能力和几何推理能力。
解三角形方法与技巧例题和知识点总结
解三角形方法与技巧例题和知识点总结一、解三角形的基本概念在平面几何中，三角形是一个非常重要的图形。
解三角形就是通过已知的三角形的一些元素（如边、角），求出其他未知元素的过程。
三角形中的基本元素包括三个角（通常用 A、B、C 表示）和三条边（通常用 a、b、c 表示）。
解三角形的主要依据是三角形的内角和定理（A ＋ B ＋ C ＝ 180°）以及正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理正弦定理的表达式为：＼（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼）。
正弦定理可以用于以下两种情况：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如：在三角形 ABC 中，已知角 A ＝ 30°，角 B ＝ 45°，边 c ＝10，求边 a 和边 b。
首先，根据三角形内角和定理，角 C ＝ 180° 30° 45°＝ 105°。
然后，利用正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），可得\（a ＝＼frac{c\sin A}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 30°｝｛＼sin 105°｝＼）。
同样，＼（＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＼），＼（b ＝＼frac{c\sin B}｛＼sin C} ＝＼frac{10\times\sin 45°｝｛＼sin 105°｝＼）。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和其他边。
例如：在三角形 ABC 中，已知边 a ＝ 6，边 b ＝ 8，角 A ＝ 30°，求角 B。
由正弦定理\（＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＼），可得\（＼sin B ＝＼frac{b\sin A}｛a} ＝＼frac{8\times\sin 30°｝｛6} ＝＼frac{2}｛3}＼）。
最全面的解三角形讲义
解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3 ，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2-=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc（当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1. 22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3， 所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 ∵2cos 2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴co sB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53. 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab=40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析 如图．答案 B17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 答案 C18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解一、 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： 1已知两角及任一边2已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况 已知a ,b 和A ,求B 时的解的情况:如果B A sin sin ≥,则B 有唯一解；如果1sin sin <<B A ,则B 有两解； 如果1sin =B ,则B 有唯一解；如果1sin >B ,则B 无解. 3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况： 1已知两边及夹角；2已知三边. 5、常用的三角形面积公式1高底⨯⨯=∆21ABC S ； 2B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆两边夹一角.6、三角形中常用结论1,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）； 2sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）. 3在△ABC 中,π=++C B A ,所以C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+.42sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+.二、典型例题题型1、计算问题边角互换例1、在ABC ∆中,若7:5:3sin :sin :sin =C B A ,则角C 的度数为 答案：=C 23π 例2、已知∆ABC 中,∠A 60=︒,3a =,则sin sin sin a b cA B C++++=．答案：2例3、在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=b ．求角A 的大小； 答案：π3题型2、三角形解的个数例1.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60。
,则此三角形的解的情况是 A. 有一解 B. 两解 C. 无解 D.有解但个数不确定 例2.在ABC ∆中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是 A 、7=a ,14=b ,︒=30A ； B 、25=b ,30=c ,︒=150C ； C 、4=b ,5=c ,︒=30B ；D 、6=a ,3=b ,︒=60B ;例3. 在△ABC 中,b sin A ＜a ＜b ,则此三角形有 A.一解B .两解C.无解D.不确定例4,在ABC ∆中,a=x, b=2, B=45°,若三角形ABC 有两个解,则x 的取值范围____________.例5．在ABC ∆中有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλ 题型3、判断三角形形状例1 在ABC ∆中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +⋅-=-⋅+,判断该三角形的形状;答案：等腰三角形或直角三角形例2 △ABC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例3. △ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若πsin π=πcos π=πcos π,则△ABC 为 A.锐角三角形 B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例4. 在ABC ∆中,已知3b =2√3πsin π,且cos π=cos π,角A 是锐角,则ABC ∆的形状是_________________.例5. 在ABC ∆中,若sin π=2sin πcos π,且sin π2=sin π2+sin π2, 则ABC ∆的形状是_________________.点拨判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状；角化边二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状;边化角题型4、求范围或最值问题例1、在锐角ABC ∆中,BC=1,B=2A,则ππcos π的值等于______,AC 的取值范围为________.例2、在ABC ∆中,∠A 60=︒,BC=3,则ABC ∆的两边AC+AB 的取值范围是____________.例3、在ABC ∆中,∠B 60=︒,AC=√3,,则AB+2BC 的最大值————————. 例4、在ABC ∆中,∠B 60=︒,AC=√3,则ABC ∆的周长的最大值为_________________.例5、△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,且a cos π+12π=π. 1.求角A 的大小2若a=1,求三角形ABC 的周长l 的取值范围. 题型5、面积问题例1、ABC ∆的一个内角为0201,并且三边构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为 答案：15√3例2.设在ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且b=3,c=1, △ABC 的面积为2,求cosA 与a 的值；例3:在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=,4cos ,35A b ==; Ⅰ求sin C 的值；Ⅱ求ABC ∆的面积.例4：C ∆AB 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ．向量π⃗⃗⃗⃗ =(π,√3π)与π⃗⃗⃗⃗ =(cos π,sin π)平行． I 求A ；II 若7a =,2b =求C ∆AB 的面积例5．在ABC ∆中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足 1求△ABC 的面积；2若c ＝1,求a 的值．例6.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=b ．Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积．例7：ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =I 求C ；II 若c ABC △=求ABC △的周长． 题型六、边化角,角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分,能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢 若两边都是正弦首先考虑角化边,若sin,cos 都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC ． Ⅰ求角C 的大小；例2在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若3a ＝2b ,则错误!的值为_____________.例3 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,a sin A ＋c sin C －错误!a sin C ＝b sin B .1求B ；2若A ＝75°,b ＝2,求a ,c .例4在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. I 证明：sin sin sin A B C =；II 若22265b c a bc +-=,求tan B .例5在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 已知b +c =2a cos B. I 证明：A =2B ；II 若△ABC 的面积2=4a S ,求角A 的大小.例6ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. I 若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； II 若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. 题型七、三角变换与解三角形的综合问题 例1. 在△ABC 中,AC=6, cos π=45 ，π=π4 （1） 求AB 的长（2） 求cos (π−π6)的值变式练习. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.且b sin 2π=πsin π 1,求角C2.若sin (π−π3)=35 ,求sin π的值2. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且tan π=2 ，tan π=3 1.求角A 的大小 2若c=3,求b 的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且ABC ∆的面积为S, 3ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2π. 1求sin π的值 2若C=π4 ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16 求b 的值变式练习1.在锐角ABC ∆中,向量m =(cos (π+π3)，sin (π+π3))，π=(cos π,sin π),且π⊥π 1.求A-B 的值2.若cos π=35,ππ=8,求ππ的长2. 在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且m =(π−π，π+π)，π=(π−π,π),且π∥π 1求B2若b =√13, cos (π+π6)=3√3926,求a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例1.在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,a =b (sin π+cos π). 1.求∠ABC2若∠A=π2,D 为三角形ABC 外一点,DB=2, DC=1,求四边形ABCD 面积的最大值;变式练习.如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB, DE=1, EC=√7, EA=2,∠ADC =2π3,且∠CBE, ∠BEC,∠BCE 成等差数列. 1求sin ∠πππ 2 求BE 的长4、如图,在梯形ABCD 中,已知A D∥BC,AD=1,BD=2√10，∠πππ=π4,tan ∠ADC=-2,求： 1CD 的长 2三角形BCD 的面积课时达标训练1、在锐角ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，1.设ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证三角形ABC 是等腰三角形2.设向量S=(2sin π,−√3),π=(cos 2π ,cos π),且π∥π,sin π=13,求sin (π3−π)的值.2、在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.已知a>b,a=5,c=6,sin π=35. 1求b 和sin π的值 2求sin (2π+π4)的值3、在ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.a =mb cos π,π为常数. 1若m=2,且cos π=√1010,求cos π的值；2若m=4,求tan （π−π）的最大值.4、如图,在梯形ABCD 中,已知A D∥BC,AD=1,BD=2√10，∠πππ=π4,tan ∠ADC=-2,求： 1CD 的长 2三角形BCD 的面积 5、已知函数fx=√32πππ2π−cos π−121求fx 的最小值,并写出取得最小值时自变量x 的取值集合；2设ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,且c=√3，π(π)=0,若ππππ=2ππππ,求a,b 的值;6. 在锐角ABC ∆中,角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，,已知2cosB=2c-b. 1若cosA+C=5√314,求cosC 的值；2若b=5,ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−5,求三角形ABC 的面积； 3若O 是三角形ABC 外接圆的圆心,且cos πsin πππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +cos πsin πππ=πππ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 求π的值⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解三角形基础练习1、满足︒=45A ,6=c ,2=a 的ABC ∆的个数为m ,则m a 为 .2、已知35,5==b a ,︒=30A ,解三角形;3、在ABC ∆中,已知4=a cm ,x b =cm ,︒=60A ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则x 的取值范围是A 、4>xB 、40≤<xC 、3384≤≤x D 、3384<<x 4、在ABC ∆中,若),(41222c b a S -+=则角=C . 5、设R 是ABC ∆外接圆的半径,且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-,试求ABC ∆面积的最大值;6、在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,33=BD ,135sin =B ,53cos =∠ADC ,求AD . 7、在ABC ∆中,已知,,a b c 分别为角C B A ,,的对边,若cos cos a Bb A=,试确定ABC ∆形状;8、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角C B A ,,的对边,已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=1求sin sin C A；2若1cos ,2,4B b ==求ABC ∆的面积;1、在ABC ∆中,若bc a c b c b a 3))((=-+++,且C B A cos sin 2sin =,则ABC ∆是A 、等边三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形2、ABC ∆中若面积S=)(41222c b a -+则角=C3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔AB ,在塔顶A 处测得山下水平面上一点C 的俯角为α,在塔底B 处测得点C 的俯角为β,若铁塔的高为h m ,则清源山的高度为 m ; A 、)sin(cos sin βαβα-hB 、)sin(sin cos βαβα-hC 、)sin(sin sin βαβα-hD 、)sin(cos cos βαβα-h4、ABC ∆的三个内角为A B C 、、,求当A 为何值时,cos 2cos 2B CA ++取得最大值,并求出这个最大值;5、在ABC ∆中,,,a b c 分别为角A B C 、、的对边,且满足sin cos c A a C = 1求角C 的大小2cos()4A B π-+的最大值,并求取得最大值时角B A ,的大小;正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2＋c2－b2＝错误!ac,则角B的值为或错误!或错误!2．已知锐角△ABC的面积为3错误!,BC＝4,CA＝3,则角C的大小为A．75° B．60° C．45°D．30°3．2010·上海高考若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13,则△ABCA．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为5．2010·湖南高考在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定二、填空题6．△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,已知a＝错误!,b＝3,C＝30°,则A＝7．2010·山东高考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．8．已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且AB＝1,BC＝4,则边BC上的中线AD的长为________．三、解答题9．△ABC中,内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2－c2＝2b,且sin B ＝4cos A sin C,求b.10．在△ABC中,已知a2＋b2＝c2＋ab.1求角C的大小；2又若sin A sin B＝错误!,判断△ABC的形状．11．2010·浙江高考在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,且S＝错误!a2＋b2－c2．1求角C的大小；2求sin A＋sin B的最大值．12.2015高考新课标2,理17本题满分12分ABC∆中,D是BC上的点,AD平分BAC∠,ABD∆面积是ADC∆面积的2倍．Ⅰ求sinsinBC∠∠；Ⅱ若1AD=,DC=求BD和AC的长．。
解三角形知识点整理
解三角形知识点整理一、正弦定理正弦定理是解三角形中非常重要的一个定理，它表明在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比值相等，即：＄＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B} ＝＼frac{c}｛＼sin C}＄其中，＄a$、＄b$、＄c$ 分别为三角形的三边，＄A$、＄B$、＄C$ 分别为它们所对的角。
正弦定理的作用主要有以下几点：1、已知两角和一边，求其他两边和一角。
例如，已知角＄A$、＄B$ 和边＄a$，可以通过正弦定理求出边＄b$ 和＄c$。
2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角。
需要注意的是，这种情况下可能会出现一解、两解或无解的情况，需要根据具体条件进行判断。
二、余弦定理余弦定理也是解三角形中常用的定理，它描述了三角形中三边长度与一个角的余弦值之间的关系。
对于三角形的三边＄a$、＄b$、＄c$，对应的角为＄A$、＄B$、＄C$，则有：＄a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A$＄b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B$＄c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C$余弦定理的应用：1、已知三边，求三个角。
2、已知两边和它们的夹角，求第三边。
三、三角形面积公式三角形的面积可以用多种方式来表示，常见的有以下两种：1、＄S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C$ （两边及其夹角）2、＄S ＝＼frac{1}｛2}ah$ （底乘以高的一半）其中，在使用第一种面积公式时，要注意正确选择两边和它们的夹角。
四、解三角形的常见类型1、已知三边，求三个角。
这种情况下，通常使用余弦定理来求解角的大小。
先根据余弦定理求出一个角的余弦值，然后通过反三角函数求出角的大小。
2、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
可以先用余弦定理求出第三边，然后再用正弦定理求出其他两个角。
3、已知两角和一边，求其他两边和角。
先用三角形内角和定理求出第三个角，然后使用正弦定理求出其他两边。
解三角形知识结构
④检验：检验上述所求解是否符合实际意义，从而得到实际问题解
①
②
③（R为△ABC外接圆半径）
④（r为△ABC内切圆半径）
⑤
⑥
①已知两边一夹角求面积
②已知两角一对边求面积
③已知三边求面为边，再进行代数恒等变换
③ 当a＜b时，则无解 ⅱ. a＝bsinA,则有一个解;
ⅲ. a＜bsinA,则无解;
⑹三角形元素及解三角形：一般地，把三角形三个角A、B、C和他们对边a、b、c叫做三角形元素；已知三角形几个元素，求其它元素过程，叫做解三角形；
⑴余弦定理证明：向量法
⑵余弦定理内容：三角形中任何一边平方等于其它两边平方和减去这两边及它们夹角余弦积2倍，即
③方向角：指北或指南方向线及目标方向线所成小于９０°水平角；
④方位角：指北方向线按顺时针时针转到目标方向线为止水平角；
①距离问题：ａ．一个可到达点到另一个不可到达点之间距离；ｂ．两个不可到达点之间距离；
② 高度问题
③角度问题
①分析：理解题意，分清已知及未知，画出示意图
②建模：根据已知条件及求解目标，建立一个解斜三角形模型
第一章解三角形知识结构
⑴正弦定理证明：①利用三角函数定义证明②利用三角形外接圆证明③利用等积法证明
⑵正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角正弦比相等，即
① ②asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=cinB
③ ④a=2RsinA,b=2RsibB,c=2RsinC
⑤ ⑥
⑦
① 已知两角和任一边，求其它边和角
②已知两边和其中一边对角，求其它边和角
⑴ 若A为钝角：① 当a＞b时，则有一解；② 当a=b时，则无解；③ 当a＜b时，则无解；
解三角形.知识框架
正余弦定理和解三角形的实际应用 要求层次 重难点 正余弦定理 C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形 C1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a .(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝b c ，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边.(1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.知识内容 高考要求模块框架 解三角形2a b c R ===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； (2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A B A B +； (4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径)(5) S △＝4abc R； (6) S △1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式) (7) S △＝r ·s .4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C .(1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ；(3)边与角关系：正余弦定理.5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222s i n s i n s i n 2s i n s i n c o sB C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，sin cos ,cos sin 2222B C A B C A ++== 解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两。
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⑴正弦定理的证明：①利用三角函数定义证明②利用三角形外接圆证明③利用等积法证明
⑵正弦定理的内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
① ②asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=cinB
③ ④a=2RsinA,b=2RsibB,c=2RsinC
⑤ ⑥
⑶余弦定理的推论：
①已知三角形两边和它们的夹角，求其它边和角；
②已知三角形的三条边，求三角形的三个角；
① A为钝角 △ABC为钝角三角形
② Ａ为直角 △ABC为直角三角形
③ Ａ为锐角△ABC为锐角三角形
①俯角和仰角：视线和水平线之间的夹角，视线在水平线下方成俯角，视线在水平线上方的成仰角；
② 坡角：坡向与水平向的夹角
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序的解出三角形，求得数学模型的解
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解
①
②
③ （R为△ABC的外接圆半径）
④ （r为△ABC的内切圆半径）
⑤
⑥
①已知两边一夹角求面积
②已知两角一对边求面积
③已知三边求面积
①化边为角，再进行三角恒等变换
②化角为边，再进行代数恒等变换
③当a＜b时，则无解ⅱ. a＝bsinA,则有一个解;
ⅲ. a＜bsinA,则无解;
⑹三角形的元素及解三角形：一般地，把三角形的三个角A、B、C和他们的对边a、b、c叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素，求其它元素的过程，叫做解三角形；
⑴余弦定理的证方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2倍，即
③方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于９０°的水平角；
④ 方位角：指北方向线按顺时针时针转到目标方向线为止的水平角；
①距离问题：ａ．一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离；ｂ．两个不可到达的点的之间的距离；
② 高度问题
③角度问题
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
② 建模：根据已知条件与求解目标，建立一个解斜三角形的模型
⑦
①已知两角和任一边，求其它边和角
②已知两边和其中一边的对角，求其它边和角
⑴若A为钝角：①当a＞b时，则有一解；②当a=b时，则无解；③当a＜b时，则无解；
⑵若A为直角：①当a＞b时，则有一解；②当a=b时，则无解；③当a＜b时，则无解；
①当a＞b时，则有一解；
⑶若A为锐角：②当a＝b时，则无解；
ⅰ. a＞bsinA,则有两个解;