三角函数及解三角形知识点

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三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x,y )是〉的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。

2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin : cos : tan :3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式(把角写成2…形式,利用口诀:奇变偶不变,符(2)商数关系:tan-E屮一、cos 。

(用于切化弦) (1)平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件,直接运用。

注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。

01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限)sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanxsin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan(-x ) - - tanxm )|sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一sin (— -〉)= cos ..zsin (㊁:)=cos :V )-?) = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法:n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•,令X = 0, 2,,2,求出相应的X 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

高三专题三角函数与解三角形总结归纳

高三专题三角函数与解三角形总结归纳

三角函数一. 任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1.角概念的推广:在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向,旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角,其中逆时针方向旋转的角叫做正角,顺时针方向的叫做负角;当射线没有旋转时,我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边,叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义:(1)正角,负角,零角 :见上文.(2)象限角:角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象限把象限角分为:第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. (3)轴线角:角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合: {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合: {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合:{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ (4)终边相同的角:与α终边相同的角:2,x k k Z απ=+∈ (5)与α终边反向的角:()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合:{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合:{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈(6)若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:180,k k Z αβ=⨯︒+∈ (7)成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意: (1)角的集合表示形式不唯一; (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.(二)弧度制1.弧度制的定义:lRα=2.角度与弧度的换算公式:180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意: (1)正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零;(2)一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 (一)三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ,余弦r x =αcos ,正切xy=αtan ,余切y x =αcot2.三角函数的定义域(二)单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图(1)PM 表示α角的正弦值,叫做正弦线;OM 表示α角的余弦值,叫做余弦线. 如图(2)AT 表示α角的正切值,叫做正切线.注:线段长度表示三角函数值大小,线段方向表示三角函数值正负.(三)同角三角函数的基本关系式(1)sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= (2)商数关系:ααααααcot sin cos ,tan cos sin == (3)平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=(四)诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质(一)基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数(二)函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 (一)倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+(二)万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式(合一变形)()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 (一)基础题型1.(2015·福建)若5sin 13α=-,且α为第四象限角,则tan α=( ) A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角,()4tan 23πα+=-,则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<,1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ,且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭,则tan2θ=( )A.C.(二)诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数,若,αβ为锐角三角形内角,则( )A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>,则下列各式中成立的是( )A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<(三)互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________;2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.(2016·广州检测)已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.13 B.3C.13-D.3-3.(2017·合肥模拟)已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求sin 2α的值; (2)求1tan tan αα-的值.(四)配凑角(已知条件会给θ范围)1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.138B.322C.1318D.13223.(2017·成都模拟)若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则αβ+=( ) A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则β=( )A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.45-B.35-C.45D.35(五)升角(一倍角、二倍角转换) 解题思路:2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一) 升角+诱导公式1.(2016·宿州模拟)若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=( )A.19-C. D.193.(2016·南昌三模)已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则tan 2α=( )A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 42cos3sin x x x -=( )A.79B.79-C.9D.9-二)升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.(2017·江西新余三校联考)已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.14B.78C.14±D.78±三)升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭,则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ (六)平方一)sin cos c θθ+=解题思路:2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且sin cos 222αα+=,则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=,则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.(1)求sin cos x x -的值;(2)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭,则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=( )A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为( )A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二)sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=,则tan 2α=________2.(2016·厦门质检)若2sin 21cos2αα=-,则tan α=________3.(2016·开封模拟)已知12sin 5cos 13αα-=,则tan α=( )A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=( )A.2C.2-D.(七)12tan tan sin 2θθθ+= (2016·青岛模拟)化简:211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________(八)齐次式 1.若tan 2α=,则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________;224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.(2015·广东)已知tan 2α=.(1)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值;(2)求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.(2016·天一大联考)已知函数()()log 24a f x x =-+(0a >且1a ≠),其图象过定点P ,角α的始边与x 轴的正半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P ,则sin 2cos sin cos αααα+=-________4.(广东省广州2017届高三下学期第一次模拟)已知tan 2θ=,且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则co s 2θ=( ) A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-,则sin 2α=( )A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 (一)图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则( )A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则α的最小值为( )A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称,则sin 2ϕ=______5.(2014·辽宁卷)将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.(2017·渭南模拟)由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则()f x 的解析式为( )A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.(2014·安徽)若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值为( ) A.8πB.4πC.38πD.5π48.(2016·广东汕头模拟)将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的12倍,再把图象上各点向左平移4π个单位长度,则所得的图象的解析式为( ) A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是( ) A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.(2016·长沙四校联考)将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象,则函数()f x 的单调递增区间为( ) A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可将函数sin 2y x =的图象( )A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后,与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合,则ϕ=________二)图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质:①()f x 是偶函数;②对任意实数x ,都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是( ) A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值,当12x =时取最小值,与y 轴的交点为(,则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ,若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上,则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+,对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π,且对任意x R ∈,都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立,则()f x 图象的一个对称中心的坐标是( )A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同,若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()f x 的取值范围________7.(2015·湖南)将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象,若对满足()()122f x g x -=的12,x x ,有12min 3x x π-=,则ϕ=( ) A.512πB.3πC.4πD.6π8.(2016·安徽芜湖一模)函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()()12f x f x =,则()12f x x +=( )A.2-B.12-C.12D.29.(2017·石家庄模拟)函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则ϕ=( )A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示,223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.23-B.12-C.23D.1213.(2016·泉州质检)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,若tan 3α=,则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.35-B.45-C. D.三.特殊三角函数最值1.当06x π<≤时,函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.(2016·全国Ⅱ)函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为( )A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四.参数相关1.已知0ω>,函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,则ω的取值范围________2.(2016·全国乙卷)已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭,4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围( )A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围( )A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>,函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间错误!未找到引用源。

高中数学三角函数解三角形知识点

高中数学三角函数解三角形知识点

高中数学三角函数解三角形知识点高中数学中,三角函数和解三角形是重要的知识点。

本文将详细介绍三角函数的定义和性质,以及如何运用三角函数解决各种三角形相关的问题。

一、三角函数的定义和性质1. 正弦函数(sin):在一个直角三角形中,对于一个锐角θ,正弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比,即sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦函数(cos):在一个直角三角形中,对于一个锐角θ,余弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比,即cosθ = 邻边/斜边。

3. 正切函数(tan):在一个直角三角形中,对于一个锐角θ,正切函数的值定义为所对直角边与邻边之比,即tanθ = 对边/邻边。

4. 正弦函数和余弦函数的关系:正弦函数与余弦函数互为倒数,即sinθ = 1/cosθ。

5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系:正切函数与正弦函数、余弦函数的比值相等,即tanθ = sinθ/cosθ。

6.三角函数的周期性:正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性,周期为2π或360°。

7.三角函数的图像:正弦函数图像为一条波浪线,余弦函数图像为正弦函数图像向右平移π/2或90°,正切函数图像则为一系列渐进线(纵坐标趋近于正负无穷)。

二、解三角形的基本方法解三角形是指已知一个或多个角度和边长,求解出三角形的未知边长和角度的过程。

1.已知两边算第三边:利用三角形的两边之和大于第三边的性质,可以根据给定的两边长度求解第三边的取值范围。

2.已知一边和与之相对的角度算另外两个角度:根据三角形的内角和等于180°,可以利用给定的一边和一个角求解另外两个角度。

3.已知两边和一个角度算第三边:先根据已知的两边和一个角度求解第三个角度,然后根据三角形的角度和边长之间的关系求解第三边。

三、解三角形的具体例题1.已知三边,求三个角的大小:根据余弦定理或正弦定理计算出三个角的大小。

2.已知三个角,求三个边长:根据正弦定理或余弦定理计算出三个边长的取值范围。

第5章 三角函数与解三角形公式

第5章 三角函数与解三角形公式

三角函数与解三角形公式总结【预备知识点】一、任意角与弧度制(一)任意角1.任意角的概念:规定一条射线绕其端点任意方向旋转所形成的角。

2.任意角的分类:(1)正角:规定一条射线绕其端点逆时针方向旋转所形成的角。

(2)负角:规定一条射线绕其端点顺时针方向旋转所形成的角。

(3)零角:规定一条射线绕其端点无任意方向旋转所形成的角,始边与终边重合的角。

口诀:正逆负顺零重合3.相等角、相反角与角的运算(1)相等角:旋转方向相同且旋转量相等。

(2)相反角:旋转方向相反且旋转量相等。

(3)角的运算:线性加减运算与数乘运算。

4.常见误区:(1)锐角是第一象限角,但是第一象限角不一定是锐角,因为有周期。

例如420°。

(2)钝角是第二象限角,但是第二象限角不一定是钝角,因为有周期。

例如495°。

(3)直角不是任意象限角,属于y轴的特殊角。

(4)平角、周角属于轴线角,它不属于任何一个象限角。

(二)弧度制1.弧长公式及其意义(1)弧长公式:l=nπr180⟺lr=n∗π180=|α|⟺l=|α|r(2)弧长公式的意义:(i)圆心角α所对的弧长与半径r的比值,只与α大小有关。

(ii)弧长长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用rad表示,读作弧度。

其中rad可省略。

(3)一般地,正角的弧度数是正数,零角的弧度数是0,负角的弧度数是一个负数。

2.角度制与弧度制的互换依据:180°=π rad{1°=π180rad≈0.01745 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°=57°18′(三)常见的角度制与弧度制互换表示二、三角函数常用特殊值【大重点,熟练背诵】【必考知识点】一、三角函数概念(1)定义式【熟记理解】(2)同角三角函数的基本关系【大重点题型:化弦为切经常用到,结合诱导公式与恒等变换】(i)平方关系【重点记第一个】sin2x+cos2x=11+cot2x=csc2x1+tan2x=sec2x(ii)商数关系【重点记第一个】tanx=sinx cosxcotx=cosx sinx(iii)倒数关系tanx∗cotx=1sinx∗cscx=1cosx∗secx=1(3)三角函数在各象限的符号【大重点并背诵】二、诱导公式【大重点,以下表格全背】诱导公式的基本思路【以第1组~第4组为例】:(1)首先,任意负角的三角函数转化成任意正角的三角函数【用公式3或1】(2)其次,任意正角的三角函数转化成0∼2π的三角函数【用公式1】(3)最后,0∼2π的三角函数转化成锐角三角函数【用公式2或4】三、三角恒等变换【大重点,所有公式都要背】1.两角和与差的正弦、余弦、正切Cα−β:cos(α−β)=cosα∗cosβ+sinα∗sinβCα+β:cos(α+β)=cosα∗cosβ−sinα∗sinβSα−β:sin(α−β)=sinα∗cosβ−cosα∗sinβSα+β:sin(α+β)=sinα∗cosβ+cosα∗sinβTα−β:tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα∗tanβTα+β:tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα∗tanβ扩展:三角和公式Cα+β+γ:cos(α+β+γ)=cosα∗cosβ∗cosγ−cosα∗sinβ∗sinγ−sinα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗cosγSα+β+γ:sin(α+β+γ)=sinα∗cosβ∗cosγ+cosα∗sinβ∗cosγ+cosα∗cosβ∗sinγ−sinα∗sinβ∗sinγTα+β+γ:tan(α+β+γ)=tanα+tanβ+tanγ−tanα∗tanβ∗tanγ1−tanα∗tanβ−tanα∗tanγ−tanβ∗tanγ2.二倍角的正弦、余弦、正切C2α: cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1; cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2S2α: sin2α=2sinα∗cosαT2α: tan2α=2tanα1−tan2α扩展1:半角公式Cα2: cosα2=±√1+cosα2Sα2: sinα2=±√1−cosα2Tα2: tanα2=sinα1+cosα=1−cosαsinα=±√1−cosα1+cosα注意:正负由α2所在的象限决定!其中Cα: cosα=cos2α2−sin2α2=1−2sin2α2=2cos2α2−1=1−tan2α21+tan2α2Sα: sinα=2sin α2∗cosα2=2∗tanα21+tan2α2Tα:tanα=2∗tanα2 1−tan2α2扩展2:三倍角公式S3α: sin3α=3sinα−4sin3α=4sinα∗sin(π3−α)∗sin(π3+α)C3α: cos3α=4cos3α−3cosα=4cosα∗cos(π3−α)∗cos(π3+α)T3α: tan3α=3tanα−tan3α1−3tan3α=tanα∗tan(π3−α)∗tan(π3+α)扩展3:四倍角公式S4α: sin4α=−4∗[cosα∗sinα∗(2sin2α−1)]C4α: cos4α=1−8∗cos2α∗sin2αT4α: tan4α=4tanα−4tan3α1−6tan2α+tan4α扩展4:五倍角公式S5α: sin5α=16sin5α−20sin3α+5sinαC5α: cos5α=16cos5α−20cos3α+5cosαT5α: tan5α=5−10tan2α+tan4α1−10tan2α+5tan4α3.和差化积公式sin α+sin β=2sin α+β2∗cosα−β2sin α−sin β=2cos α+β2∗sinα−β2cos α+cos β=2cos α+β2∗cosα−β2cos α−cos β=−2sin α+β2∗sinα−β2tan α+tan β=sin(α+β) cosα∗cosβtan α−tan β=sin(α−β) cosα∗cosβcot α+cot β=sin(α+β) sinα∗sinβcot α−cot β=−sin(α−β) sinα∗sinβtan α+cot β=cos(α−β) cosα∗sinβtan α−cot β=−cos(α+β) cosα∗sinβsin2α−sin2β=sin(α+β)∗sin(α−β)cos2α−cos2β=−sin(α+β)∗sin(α−β)sin2α−cos2β=−cos(α+β)∗cos(α−β)cos2α−sin2β=cos(α+β)∗cos(α−β)记忆口诀:同名和差三角积,(sin α±sin β或cos α±cos β:等式左边只有同是正弦或同是余弦才可以相加减。

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y xr rαα==,()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)+ + - + - + - - - + + -sin αcos αtan α3.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:22221sincos 1,1tan cos αααα+=+=(2)商数关系:sin tan cos ααα=(用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。

注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式(把角写成απ±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质 sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时,max 1y =;当22x k ππ=-()k Z ∈时,min 1y =-.当()2x k k Z π=∈时,max 1y =;当2x k ππ=+()k Z ∈时,min 1y =-.既无最大值也无最小值周期性2π 2ππcos α132 221212- 22- 32- 1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-0 无 0函 数性质7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法: ①“五点法”――设X x ωϕ=+,令X =0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象; ②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

三角函数与解三角形:正弦定理和余弦定理

三角函数与解三角形:正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理【考点梳理】1.正弦定理和余弦定理(1)S=12a·h a(h a表示边a上的高);(2)S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A.(3)S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).【考点突破】考点一、利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中,∠BAC=3π4,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.[解析] 设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos∠BAC=(32)2+62-2×32×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=b sin∠BACa=3310=1010,由题设知0<B<π4,所以cos B=1-sin 2B=1-110=31010.在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B,故由正弦定理得AD=AB·sin Bsin(π-2B)=6sin B2sin B cos B=3cos B=10.【类题通法】1.正弦定理是一个连比等式,只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.(2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.【对点训练】1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B +sin C)=(a-3c)sin A,则角B的大小为()A.30°B.45°C.60°D.120°[答案]A[解析] 由正弦定理a sin A =b sin B =csin C 及(b -c )·(sin B +sin C )=(a -3c )sin A 得(b -c )(b +c )=(a -3c )a ,即b 2-c 2=a 2-3ac ,∴a 2+c 2-b 2=3ac .又∵cos B =a 2+c 2-b 22ac ,∴cos B =32,∴B =30°.2.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =________.[答案] 2113[解析] 在△ABC 中,∵cos A =45,cos C =513,∴sin A =35,sin C =1213,∴sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.又∵a sin A =b sin B ,∴b =a sin B sin A =1×636535=2113.考点二、判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,满足a cos A =b cos B ,则△ABC 的形状为( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形(2)设角A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,则“A +B <C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[答案] (1)D (2)A[解析] (1)因为a cos A =b cos B ,由正弦定理得sin A cos A =sin B cos B ,即sin 2A =sin 2B ,所以2A =2B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选D.(2)由A +B +C =π,A +B <C ,可得C >π2,故三角形ABC 为钝角三角形,反之不成立.故选A. 【类题通法】1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系.(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式;要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能. 【对点训练】1.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若2sin A cos B =sin C ,那么△ABC 一定是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形[答案] B[解析] 法一:由已知得2sin A cos B =sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,即sin(A -B )=0,因为-π<A -B <π,所以A =B .法二:由正弦定理得2a cos B =c ,再由余弦定理得2a ·a 2+c 2-b 22ac =c ⇒a 2=b 2⇒a =b .2.在△ABC 中,c =3,b =1,∠B =π6,则△ABC 的形状为( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形[答案] D[解析]根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.考点三、与三角形面积有关的问题【例3】已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin A sinC.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积.[解析] (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2,故a2+c2=2ac,进而可得c=a= 2.所以△ABC的面积为12×2×2=1.【类题通法】三角形面积公式的应用方法:(1)对于面积公式S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【对点训练】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,△ABC的面积为332,求△ABC的周长.[解析] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,即2cos C sin(A+B)=sin C,故2sin C cos C=sin C.可得cos C=12,所以C=π3.(2)由已知得12ab sin C=332.又C=π3,所以ab=6.由已知及余弦定理得a2+b2-2ab cos C=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以△ABC的周长为5+7.。

高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)

高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
3、三角形面积公式:
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下:
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式: 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式: sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为:
π 3π (0, 0) ( , , 1 ) ( , π, 0) ( , ,) -1( , 2π , 0) . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
y
2、记住余切函数的图象:
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ) sin α = x y x y , cos α = , tan α = , cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:
ymax + ymin . 2
ymax − ymin , 2

(完整版)三角函数及解三角形知识点总结

(完整版)三角函数及解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y xr rαα==,()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。

2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)+ + - + - + - - - + + -sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:22221sincos 1,1tan cos αααα+=+=(2)商数关系:sin tan cos ααα=(用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。

注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式(把角写成απ±2k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限)Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质 sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时,max 1y =;当22x k ππ=-()k Z ∈时,当()2x k k Z π=∈时,max 1y =;当2x k ππ=+()k Z ∈时,min 1y =-.既无最大值也无最小值度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α122232132 22121cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0 1tan α 0 3313无3-1-33-无函数 性 质7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法: ①“五点法”――设X x ωϕ=+,令X =0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象; ②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

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三角函数知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角,确定()*n n α∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭. 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r =>,则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0y x xα=≠.10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .12、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭. 13、三角函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=.()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 口诀:奇变偶不变,符号看象限.14、函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移ϕ个单位长度,得到函数()sin y x ϕ=+的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1ω倍(纵坐标不变),得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象.函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质:①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ.函数()sin y x ωϕ=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122x x x x T =-<. 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域R R ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭ 值域 []1,1-[]1,1- R 最值 当22x k ππ=+()k ∈Z 时,max 1y =;当22x k ππ=- ()k ∈Z 时,min 1y =-.当()2x k k π=∈Z 时,max 1y =;当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值周期性2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数 奇函数 单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 函 数 性 质()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数.[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数.()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+c osA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB辅助角公式()sin cos αααϕA +B =+,其中tan ϕB =A. 降幂公式(sin^2)x=1-cos2x/2(cos^2)x=i=cos2x/2万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2) tana=2t/(1-t^2)公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin (2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan (2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosαtan (π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin (-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan (-α)=-tanα cot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限。

同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα ·secα=1商的关系:sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)tan2A=2tanA/(1-tan2A)sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导附推导:sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*,(因为cos^2(α)+sin^2(α)=1)再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。

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