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数学聪明屋3(数线段)Microsoft Office Word 文档
数线段点没有体积,没有大小,仅表示空间中的一个位置。
过两个点可以作一条直线,而且只能作一条直线。
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。
或表示为两个点之间可以连接一条线段,而且只能连接一条线段。
例1:已知平面上的几个点连线段、数线段:例2:下图中有多少条线段?5+4+3+2+1=15条32356 1条(由5条基本线段组成的线段) 3条(由3条基本线段组成的线段) 4条(由2条基本线段组成的线段) 2条(由4条基本线段组成的线段) 5条(基本线段有5条) 还可以这样数:如图,以1为起点的线段有5条; 以2为起点的线段有4条; 以1条;先数基本线段有5条,再数相邻的若干根基本线段组合的线段数(如图):如图可以连3条线段。
例3:第一种算法:不重复地数第1点:4条(绿色线段)第2点:3条(红色线段)第3点:2条(橙色线段)第4点:1条(黒色线段)第5点:0总共:4+3+2+1=10(条)第二种算法:每一点都可向其余4点连线段,暂且重复地数,然后总和除以24×5÷2=10(条)数一数,下图中有几条线段?1 2 32数一数,下图中有几条线段?3数一数,下图中有几条线段?4已知不在同一直线上的4个点,每两个点间画一条线段,共能画多少条线段?5已知不在同一直线上的8个点,每两个点间画一条线段,共能画多少条线段?6数一数,图中有多少个交点?有多少条线段?7数一数,图中有多少个交点?有多少条线段?8数一数,图中有多少个交点?有多少条线段?。
数学作业题 Word 文档
7+14= 18-9= 8+16= 25-5= 9+18= 56-45= 10+20= 45-23= 11+22= 78-23=12+24= 10-3= 15-4= 20-5= 25-6=30-7= 35-8= 40-9= 45-10= 50-11=55-12= 60-13= 65-14= 70-15= 75-16=80-17= 85-18= 90-19= 95-20= 100-21= 105-22= 110-23= 115-24= 120-25= 125-26= 130-27= 13+26= 14+28= 15+30= 16+32=17+34= 18+36= 19+38= 20+40= 21+42=22+44= 23+46= 24+48= 25+50= 26+52=27+54= 28+56= 29+58= 30+60= 31+62=32+64= 33+66= 5 ÷1 = 10 ÷2 = 15÷3 = 20 ÷4 = 25 ÷5 = 30 ÷6 = 35 ÷7 = 40 ÷8 = 45 ÷9 = 50 ÷10 = 55 ÷11 = 60 ÷12 = 65 ÷13 = 70 ÷14 = 75 ÷15 = 80 ÷16 = 85 ÷17= 90 ÷18 = 95 ÷19= 100 ÷20= 100÷25= 1200÷30= 99÷11= 340÷17= 204÷2= 550÷50= 201÷3= 404÷40=1.45+15×6=2.250÷5×8=3.6×5÷2×4=4.30×3+8=5.400÷4+20×5=6.10+12÷3+20=7.(80÷20+80)÷4=8.70+(100-10×5)=9.360÷40=10.40×20=11.80-25=12.70+45=13.90×2=14.16×6=15.300×6=16.540÷9=17.30×20= 18.400÷4=19.350-80=20.160+70=21.18-64÷8=22.42÷6+20=23.40-5×7=24.80+60÷3=25.41+18÷2=26.75-11×5=27.42+7-29=28.5600÷80=29.25×16=30.120×25=31.36×11=32.1025÷25=33.336+70=34.25×9×4=35.200-33×3=36.3020-1010=37.12×50=38.25×8=39.23×11=40.125÷25=41.4200-2200=42.220+80=43.20×8×5=44.600-3×200=45.20+20÷2=46.35-25÷5=47.36+8-40=48.2800÷40=49.98÷14 =50.96÷24 =51.56÷14 =52.65÷13 =53.75÷15 =54.120÷24 =55.200÷25 =56.800÷16 =57.840÷21 =58.560÷14 =59.390÷13 =60.600÷15 =61.72÷24 =62.85÷17 =63.90÷15 =64.96÷16 =65.78÷26 =66.51÷17 =67.80÷40 =68.100÷20 = 69.100÷4 =70.240÷40 =71.920÷4 =72.300÷60=73.64÷2 =74.64÷4 =75.50÷5 =76.60÷8 =77.96÷4 =78.90÷6 =79.400+80 =80.400-80 =81.40×80 =82.400÷80 =83.48÷16 =84.96÷24 =85.160×5=86.4×250=87.0×518=88.10×76=89.36×10=90.15×6=91.24×3=92.5×18=93.26×4=94.7×15=95.32×30=96.40×15=97.60×12=98.23×30=99.30×50=100.5×700=1/2+1/3-1/4+1/5-1/6=3/4-3/5+4/5-4/6+5/6-5/7=1/2-1/2-1/2+1/2=1/100000+3-32/867=1+1/2-1/3= 15265357163237515632536721653/10+1= 67/68+34/35-23/24=89/90+123/124-234/235=1. 125×3+125×5+25×3+25 =2. 9999÷3+101÷11÷(101-92)=3. (23/4-3/4) ÷(3×6+2)=4. 3/7 × 49/9 - 4/3 =5. 8/9 × 15/36 + 1/27=6. 12× 5/6 +2/9 ×3 =7. 8× 5/4 + 1/4 =8. 6÷ 3/8 + 3/8 ÷6 =9. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 =10. 5/2 -( 3/2 + 4/5 )=11. 7/8 + ( 1/8 + 1/9 )=12. 9 × 5/6 + 5/6 =13. 3/4 × 8/9 - 1/3 =14. 7 × 5/49 + 3/14 =15. 6 ×( 1/2 + 2/3 )=16. 8 × 4/5 + 8 × 11/5 =17. 31 × 5/6 +5/6 =18. 9/7 - ( 2/7 + 10/21 )=19. 5/9 × 18 + 14 × 2/7 = 20. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 =21. 14 × 8/7 + 5/6 × 12/15=22. 17/32 + 3/4 × 9/24=23. 3 × 2/9 + 1/3 =24. 5/7 × 3/25 + 3/7=25. 3/14 + 2/3 + 1/6 =26. 1/5 × 2/3 + 5/6 =27. 9/22 + 1/11 ÷ 1/2=28. 5/3 × 11/5 + 4/3 =29. 45 × 2/3 + 1/3 × 15 =30. 7/19 + 12/19 × 5/6=31. 1/4 + 3/4 ÷ 2/3 =32. 8/7 × 21/16 + 1/2 =33. 101 × 1/5 + 1/5 × 21 = 34. 50+160÷40 =35. 120-144÷18+35 =36. 347+45×2-4160÷52 =37 (58+37)÷(64-9×5)=38. 95÷(64-45)=39. 178-145÷5×6+42=40. 812-700÷(9+31×11)=41. 85+14×(14+208÷26)=42. 85+14-(14+208÷26)=43. 120-36×4÷18+35=44. (58+37)÷(64-9×5)=45. (6.8-6.8×0.55)÷8.5=46. 0.12× 4.8÷0.12×4.8=47. (3.2×1.5+2.5)÷1.6= 48. 6-1.6÷4+ 5.38+7.85-5.37=49. 7.2÷0.8-1.2×5+ 6-1.19×3-0.43=50. 6.5×(4.8-1.2×4)=51. 5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.74 =52. 32.52-(6+9.728÷3.2)×2.5=53. [(7.1-5.6)×0.9-1.15] ÷2.5 =54. 5.4÷[2.6×(3.7-2.9)+0.62]=55. 12×6÷(12-7.2)-6 =56. 12×6÷7.2-6=57. 0.68×1.9+0.32×1.9 =58. (58+370)÷(64-45)=59. 420+580-64×21÷28 =60. 136+6×(65-345÷23)=61. 15-10.75×0.4-5.7 = 62. 18.1+(3-0.299÷0.23)×1=63. (6.8-6.8×0.55)÷8.5 =64. 0.12× 4.8÷0.12×4.8=65. (3.2×1.5+2.5)÷1.6 =66. 3.2×6+(1.5+2.5)÷1.6=67. 0.68×1.9+0.32×1.9 =68. 10.15-10.75×0.4-5.7 =69. 5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.74=70. 32.52-(6+9.728÷3.2)×2.5=71. [(7.1-5.6)×0.9-1.15] ÷2.5=72. 5.4÷[2.6×(3.7-2.9)+0.62]=73. 12×6÷(12-7.2)-6=74. 12×6÷7.2-6 =75. 33.02-(148.4-90.85)÷2.5= 76. (25%-695%-12%)÷36=77. 1/4×3/5+3/4×2/5 =78. 1-1/4+8/9÷7/9 =79. 1/6/+3/24+2/21 =80. 1/15÷3/5 =81. 3/4+/9/10-1/6 =82. [1/3+1/2+/5/6-1/3] ÷1/7 =83. 1/5+3/5/2+3/4 =84. (2-2/3×1/2) ×2/5 =85. 5268.32-2569 = 86. 3+456-52×8 =87. 5%+6325=88. 1/2+1/3+1/4 =五、口算58题1)1234-1089=2) 89+456-78=3) 5%+3/7 × 49/9 - 4/3 =4) 9 × 15/36 + 1/27 =5) 2× 5/6 +2/9 ×3 =6) 3× 5/4 + 1/4 =7) 94÷ 3/8 +–3/8 ÷6 =8) 95/7 × 5/9 + 3/7 × 5/9 =9) 6/2 -( 3/2 + 4/5 ) = 10) 8 + ( 1/8 + 1/9 )=11) 8 × 5/6 + 5/6 =12) 1/4 × 8/9 - 1/3 =13) 10 × 5/49 + 3/14 =14) 1.5 ×( 1/2 + 2/3 )=15) 2/9 × 4/5 + 8 × 11/5 =16) 3.1 × 5/6 + 5/6 =17) 4/7 - ( 2/7+10/21 )=18) 19 × 18 + 14 × 2/7 =19) 5 × 25/16 + 2/3 × 3/4 =20) 4 × 8/7 + 5/6 × 12/15 =21) 7/32 +–3/4 × 9/24 =22) 2/3÷1/2-1/4×2/5 =23) 2-6/13÷9/26-2/3 =24) 2/9+1/2÷4/5+3/8 =25) 10÷5/9+1/6×4 =26) 1/2×2/5+9/10÷9/20=27) 5/9×3/10+2/7÷2/5 =28) 1/2+1/4×4/5-1/8 = 29) 3/4×5/7×4/3-1/2 =30) 23-8/9×1/27÷1/27 =31) 8×5/6+2/5÷4 =32) 1/2+3/4×5/12×4/5=33) 8/9×3/4-3/8÷3/4 =34) 5/8÷5/4+3/23÷9/11=35) 1.2×2.5+0.8×2.5=36) 8.9×1.25-0.9×1.25=37) 12.5×7.4×0.8 =38) 9.9×6.4-(2.5+0.24)=39) 6.5×9.5+6.5×0.5 =40)0.35×1.6+0.35×3.4 =41)0.25×8.6×4 =42)6.72-3.28-1.72 =43)0.45+6.37+4.55 =44)5.4+6.9×3-(25-2.5)=45)2×41846-620-380 =46)4.8×46+4.8×54 =47)0.8+0.8×2.5 =48)1.25×3.6×8×2.5-12.5×2.4= 49)28×12.5-12.5×20 =50)23.65-(3.07+3.65)=51)(4+0.4×0.25)8×7×1.25=52)1.65×99+1.65 =53)27.85-(7.85+3.4)=54)48×1.25+50×1.25×0.2×8 =55)7.8×9.9+0.78 =56) (1010+309+4+681+6)×12 =57)3×9146×782×6×854 =58)5.15×7/8+6.1-0.60625=六、口算53题1. 3/7 × 49/9 - 4/32. 8/9 × 15/36 + 1/273. 12× 5/6 + 2/9 ×34. 8× 5/4 + 1/45. 6÷ 3/8 + 3/8 ÷66. 4/7 × 5/9 + 3/7 × 5/97. 5/2 -( 3/2 + 4/5 )8. 7/8 + ( 1/8 + 1/9 )9. 9 × 5/6 + 5/610. 3/4 × 8/9 - 1/311. 7 × 5/49 + 3/1412. 6 ×( 1/2 + 2/3 )13. 8 × 4/5 + 8 × 11/514. 31 × 5/6 + 5/615. 9/7 - ( 2/7 + 10/21 )16. 5/9 × 18 + 14 × 2/717. 4/5 × 25/16 + 2/3 × 3/418. 14 × 8/7 + 5/6 × 12/1519. 17/32 + 3/4 × 9/2420. 3 × 2/9 + 1/321. 5/7 × 3/25 + 3/722. 3/14 × 2/3 + 1/623. 1/5 × 2/3 + 5/624. 9/22 + 1/11 ÷ 1/225. 5/3 × 11/5 + 4/326. 45 × 2/3 + 1/3 × 1527. 7/19 + 12/19 × 5/628. 1/4 + 3/4 ÷ 2/329. 8/7 × 21/16 + 1/230. 101 × 1/5 + 1/5 × 2131.50+160÷40 +(58+370)÷(64-45)32.120-144÷18+3533.347+45×2-4160÷5234(58+37)÷(64-9×5)35.95÷(64-45)36.178-145÷5×6+42 +420+580-64×21÷2837.812-700÷(9+31×11)+ (136+64)×(65-345÷23)38.85+14×(14+208÷26)39.(284+16)×(512-8208÷18)40.120-36×4÷18+3541.(58+37)÷(64-9×5)42.(6.8-6.8×0.55)÷8.543.0.12× 4.8÷0.12×4.844.(3.2×1.5+2.5)÷1.6 +3.2×(1.5+2.5)÷1.645.6-1.6÷4+ 5.38+7.85-5.37=46.7.2÷0.8-1.2×5+6-1.19×3-0.43=47.6.5×(4.8-1.2×4)+ 0.68×1.9+0.32×1.948.10.15-10.75×0.4-5.749.5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.7450.32.52-(6+9.728÷3.2)×2.551.[(7.1-5.6)×0.9-1.15] ÷2.552.5.4÷[2.6×(3.7-2.9)+0.62]53.12×6÷(12-7.2)-6 +12×6÷7.2-6102×4.57.8×6.9+2.2×6.9 5.6×0.258×(20-1.25)127+352+73+4489+276+135+3325+71+75+29 +88 243+89+111+57 9405-2940÷28×21 920-1680÷40÷7 690+47×52-398148+3328÷64-75360×24÷32+7302100-94+48×5451+(2304-2042)×23 4215+(4361-716)÷81 (247+18)×27÷2536-720÷(360÷18)1080÷(63-54)×80 (28+912)×5-61781. 18.1+(3-0.299÷0.23)×12. (6.8-6.8×0.55)÷8.53. 0.12×4.8÷0.12×4.84. (3.2×1.5+2.5)÷1.6 (2) 3.2×(1.5+2.5)÷1.65. 6-1.6÷4=5.38+7.85-5.37=6. 7.2÷0.8-1.2×5=6-1.19×3-0.43=7. 6.5×(4.8-1.2×4)=0.68×1.9+0.32×1.98. 10.15-10.75×0.4-5.79. 5.8×(3.87-0.13)+4.2×3.7410. 32.52-(6+9.728÷3.2)×2.511. [(7.1-5.6)×0.9-1.15] ÷2.512. 5.4÷[2.6×(3.7-2.9)+0.62]13. 12×6÷(12-7.2)-614. 12×6÷7.2-615. 33.02-(148.4-90.85)÷2.5应用题42题1、一个长方体沙坑,长4米,宽2米,深0.5米,如果每立方米黄沙重1.4吨,这黄沙重多少吨?2、一个长方体铁皮水箱,长18分米,宽10分米,已知这个水箱最多可装水1620升,这个水箱有多深?3、一个盛药水的长方体塑料箱,里面长是0.6米,宽0.25米,深0.5米,如果把这一整箱药水装入每瓶可装400毫升的小瓶中,这箱药水最少装多少瓶?4、一个正方体钢坯棱长6分米,把它锻造成横截面是边长3厘米的正方形的长方体钢材,钢材长多少米?5、一个长方体油桶,底面积是18平方分米,它可装43.2千克油,如果每升油重0.8千克,油桶的高是多少分米?6、在一只长25厘米,宽20厘米的玻璃缸中,有一块棱长10厘米的正方体铁块,这时水深15厘米,如果把这块铁块从缸中取出来,缸中的水深多少厘米?7、一个长方体油箱,底面是一个正方形,从里面量边长是6分米。
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(2)设xy ln y
0,求
dy
|x 0,
d2y
|x 0
dx
dx2
(3)设y(1x2)sin x,求y.
9/14
二、求下列函数的导数:
(1)设xln cot
,y
tan,求
dy
与
d
2y
;
dx
dx2
(2)设x
f (t ),y tf (t )
f (t),又f
(t )存在且不为零,求
dy与d2y
;
dx dx2
0
g(x)
在x
0处二阶可导。
四、设xg( y)是yf ( x)的反函数,问如何由f ( x), f(x)算出g ( y)?
8
高等数学习题集
§6隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
必作习题
P138-1401,2,3,7,8,11
必交习题
一、 求下列函数的导数
(1)设arctanylnx2y2,求dy;
与相对误差。
12
高等数学习题集
习题课(二)
必作习题
P1579,10,11,12,13
必交习题
一、用简便方法求下列函数的导数:
x(1
x)
;
(1)y ln
x2
1
x
(2)yxx;
x
t (1
t)
0
0相应的点处的切线方程。
二、求曲线
y
1
在t
tey
0
13/14
三、 设曲线yf ( x)与ysin x在原点相切,求limxf (2)。
x
1
3/14
二、设f ( x)(axb)sin x(cxd ) cos x,确定a, b, c,d使f (x)x cos x。
如何使用公式功能在Word文档中进行简单的计算
如何使用公式功能在Word文档中进行简单的计算Word是一款常用的文字处理软件,除了基本的文字编辑和格式设置功能外,它还提供了强大的公式功能,可以在文档中进行简单的计算。
这使得我们能够轻松地处理一些简单的数学问题,例如计算总和、平均值等。
本文将介绍如何使用公式功能在Word文档中进行简单的计算,帮助读者更好地利用这一功能。
一、打开公式编辑器要使用公式功能,首先需要打开Word的公式编辑器。
在Word中,我们可以通过点击“插入”菜单栏中的“公式”按钮来打开公式编辑器。
另一种方式是使用快捷键“Alt+=”来快速打开公式编辑器。
一旦打开公式编辑器,就可以开始进行计算了。
二、输入计算公式在公式编辑器中,我们可以像在计算器中一样输入数学表达式。
例如,如果我们想计算两个数的和,可以输入“=3+5”,然后按下回车键即可得到计算结果。
公式编辑器支持常见的数学运算符,如加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)等,所以我们可以完全按照数学表达式的方式输入计算公式。
三、引用文档中的数据除了直接输入数字和运算符,我们还可以引用文档中的数据来进行计算。
假设我们有一个包含数据的表格,我们可以在公式中引用这些数据来进行计算。
例如,如果我们要计算表格中某一列的总和,可以使用“=SUM(表格范围)”的公式来实现。
在这个公式中,“SUM”表示总和的意思,“表格范围”指定了要计算的数据范围。
通过这种方式,我们可以轻松地对大量数据进行计算,提高工作效率。
四、添加函数公式编辑器还支持函数的使用,通过使用函数,我们可以进行更复杂的计算。
函数是预先定义好的一些计算规则,可以帮助我们实现特定的功能。
在公式编辑器中,我们可以通过输入函数名和参数来使用函数。
例如,如果我们想计算一组数字的平均值,可以使用“=AVERAGE(数列范围)”的公式。
在这个公式中,函数名是“AVERAGE”,参数是要计算的数据范围。
五、调整公式样式在Word的公式编辑器中,我们还可以调整公式的样式,使其更符合文档的整体风格。
(完整word版)高等数学D
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节:函数要求:理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念,会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节:数列的极限第三节:函数的极限要求:理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节:无穷小与无穷大要求:理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系,理解无穷小的性质。
第五节:极限运算法则要求:掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节:极限存在准则,两个重要极限要求:会用两个重要极限求极限。
第七节:无穷小的比较要求:了解无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。
第八节:函数的连续性第九节:闭区间上连续函数的性质要求:理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质(最值定理、零点定理)。
第二章导数与微分第一节:导数概念要求:理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义(含曲线的切线方程与法线方程)。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节:函数的和、积、商的求导法则要求:记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节:反函数和复合函数的求导法则要求:掌握复合函数的求导法则。
第四节:高阶导数要求:会求高阶导数。
第五节:隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求:会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节:函数的微分要求:了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节:中值定理要求:熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节:洛必达法则要求:会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节:函数的单调性与曲线的凹凸性要求:掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
小学数学计算公式 Word 文档
小学数学计算公式1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价5、工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数小学数学图形计算公式1、正方形:C周长S面积a边长周长=边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a2、正方体:V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3、长方形:C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4、长方体:V:体积s:面积a:长b:宽h:高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh5、三角形:s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形:s面积a底h高面积=底×高s=ah7、梯形:s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 8圆形:S面C周长∏d=直径r=半径(1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r(2)面积=半径×半径×∏9、圆柱体:v体积h:高s:底面积r:底面半径c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高(4)体积=侧面积÷2×半径10、圆锥体:v体积h高s底面积r底面半径体积=底面积×高÷3。
《离散数学》word版
第七章图在自然界和人类社会的实际生活中,用图形来描述和表示某些事物之间的关系既方便又直观。
例如用工艺流程图来描述某项工程中各工序之间的先后关系,用网络图来描述某通讯系统中各通讯站之间信息传递关系,用开关电路图来描述IC中各元件电路导线连接关系等等。
图论起源于18世纪,它是研究由线连成的点集的理论。
一个图中的结点表示对象,两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。
事实上,任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。
由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系,所以图形中两点之间连接与否最重要,而连接线的曲直长短则无关紧要。
由此经数学抽象产生了图的概念。
研究图的基本概念和性质、图的理论及其应用构成了图论的主要内容。
7.1 图的基本概念7.1.1图的定义7.1.1.1无向图定义7.1.1 设A,B是任意集合。
集合{(a,b)|aA且bB}称为A和B的无序积,记为A&B。
在无序积中,两个元素间的顺序是无关紧要的,即(a,b)=(b,a)。
定义7.1.2 无向图G是一个二元组<V,E>,记作G=<V,E>,其中V是一个非空有限集合,其元素称为结点(顶点)。
E是一个V&V的多重子集,其元素称为边(无向边)。
我们可用平面上的点来表示顶点,两点间的连线表示边,从而将任一个无向图用图形表示出来。
[例7.1.1]无向图G=<V,E>,其中V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,c),(b,d),(c,d)}。
7.1.1.2有向图定义7.1.3 有向图G是一个二元组<V,E>,记作G=<V,E>,其中V是一个非空有限集合,其元素称为顶点,E是一个V V的多重子集,其元素称为有向边或弧,简称为边。
注:1)在有向图G=<V,E>中,若e=〈u,v〉,则称u和v为e的起点和终点;2)自回路既可看成是有向边又可看成是无向边;3)去掉有向图中边的方向得到的图称为该有向图的基图。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。
集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。
比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑵、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。
⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。
⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作,并规定,空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:①、任何一个集合是它本身的子集。
Word文档中如何使用公式和计算功能
Word文档中如何使用公式和计算功能Word是一款功能强大的文档处理软件,不仅可以用于编写文章和制作演示文稿,还具备一些数学计算和公式编辑的功能。
在本文中,我将介绍如何在Word文档中使用公式和计算功能。
公式编辑Word提供了内置的公式编辑器,可以帮助用户轻松创建和编辑各种数学公式。
以下是使用公式编辑器创建数学公式的步骤:1. 打开Word文档,将光标定位在您想要插入公式的位置。
2. 在"插入"选项卡中,找到"符号"组,并点击下方的"公式"按钮。
这将打开公式编辑器。
3. 在公式编辑器中,您可以使用键盘输入数学符号和运算符,也可以通过点击界面上的符号进行选择。
您可以使用上下箭头键在不同的栏目中切换,找到所需的符号。
4. 在编辑公式时,您可以使用上方的工具栏进行格式设置,例如设置上下标、分数、根号等。
您还可以使用工具栏上的命令按钮,如求和、积分、极限等,方便地插入特殊的数学操作符号。
5. 编辑完成后,点击公式编辑器上方的"确定"按钮,即可插入该数学公式到Word文档中。
计算功能除了公式编辑器,Word还提供了一些内置的计算功能,可以在文档中进行简单的数学计算。
以下是使用计算功能的步骤:1. 打开Word文档,将光标定位在您想要进行计算的位置。
2. 在"插入"选项卡中,找到"符号"组,并点击下方的"等于"按钮。
这将在文档中插入一个表示等于的符号。
3. 在等于符号的右侧,输入您要进行的数学计算。
可以使用键盘输入数字、运算符和括号等。
4. 在输入完成后,按下回车键,Word将自动计算出结果,并在文档中显示。
5. 如果您想进行更复杂的计算,可以使用Word的"宏"功能,编写自定义的计算程序。
总结通过使用Word的公式编辑器和计算功能,您可以方便地在文档中插入数学公式并进行简单的数学计算。
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《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)二、题型与解法A.极限的求法 (1)用定义求(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法(5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法(7)洛必达法则与Taylor 级数法(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-,求 解:20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.121)12(lim ->-+x xx x x (重要极限)4.已知a 、b 为正常数,xx x x b a 30)2(lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解:令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换)6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f(洛必达与微积分性质)7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a解:令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x (连续性的概念)三、补充习题(作业) 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x (洛必达)2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- (洛必达或Taylor ) 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x (洛必达与微积分性质)第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定,求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定,求1|0==x dxdy解:两边微分得x=0时y x y y ==cos ',将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定,则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e (),在(==处切线的直角坐标方程。
高等数学word教材
高等数学word教材高等数学 Word 教材高等数学是大学阶段学习的重要课程之一,涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个领域。
Word 是一款功能强大的文字处理软件,为学生提供了良好的撰写和编辑文档的环境。
因此,将高等数学教材文本编写成适合使用 Word 格式的教材文件是非常实用和有益的。
本文将介绍如何在 Word 中编写和排版高等数学教材。
一、使用标题样式在编写高等数学教材时,为了使内容结构清晰,我们可以使用Word 的标题样式。
通过使用不同级别的标题样式,可以将教材内容分级呈现,方便读者快速导航和理解。
例如,我们可以使用“标题1”样式表示一级标题(如章节标题),使用“标题2”样式表示二级标题(如节标题),以此类推。
这样,读者可以通过快速浏览标题来了解整个教材的结构。
二、插入数学公式高等数学教材中大量涉及到数学公式的表达与推导。
Word 提供了强大的数学公式编辑功能,使得插入和编辑数学公式变得十分方便。
在 Word 的“插入”菜单中,可以选择“公式”功能,通过输入数学公式的符号和运算符,轻松创建复杂的数学公式。
为了提高公式的可读性,我们可以合理使用括号、下标和上标,并调整公式字号和字体样式。
三、使用图表和图像在高等数学教材中,图表和图像的使用能够更直观地呈现数学概念和理论。
Word 提供了丰富的图表和图像功能,可以插入各种类型的图表(如折线图、柱状图、饼图等)和图像(如数学函数图像、几何图形等)。
在插入图表和图像时,我们应该注意保持图形的清晰度和比例,以及为图像添加适当的标注和说明。
四、编写习题和解答高等数学教材中,习题和解答是学生巩固知识和提高能力的重要部分。
在 Word 中编写和排版习题和解答非常方便。
我们可以使用列表功能对习题进行编号,使用表格功能对解答进行整齐排版。
此外,我们也可以添加答案解析、注意事项等补充内容,以帮助学生更好地理解和完成习题。
五、制作目录和索引为了便于读者查找和定位教材内容,我们可以在文件开头或结尾添加目录和索引。
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初中数学公式大全初中数学定理、公式汇编一、数与代数1.数与式(1)实数实数的性质:①实数 a 的相反数是— a,实数 a 的倒数是1(a≠0);a②实数 a 的绝对值:a( a 0)a 0( a 0)a(a 0)③正数大于0,负数小于0,两个负实数,绝对值大的反而小。
二次根式:①积与商的方根的运算性质:ab a b (a≥0,b≥0);a a( a≥ 0, b> 0);b b②二次根式的性质:a2a( a 0) aa(a 0)( 2)整式与分式①同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即 a m a n a m n ( m、n 为正整数);②同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 a m a n a m n ( a≠ 0, m、 n 为正整数, m>n);③幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即( ab) n a n b n(n为正整数);④零指数: a 0 1 (a≠0);⑤负整数指数: a n1( a ≠ 0, n 为正整数);a n⑥平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方,即( a b)( a b)a 2b 2 ;⑦完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍,即 (ab) 2 a 2 2ab b 2 ;分式①分式的基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,即a a ma a m bb ;b b,其中 m 是不等于零的代数式;m m②分式的乘法法则:a c ac ;b d bd③分式的除法法则:a c a d ad(c 0) ;b db cbc( a ) nn④分式的乘方法则:a n ( n 为正整数);b b⑤同分母分式加减法则:a b a bc c c ;⑥异分母分式加减法则:a d ab cdc b;bc2. 方程与不等式① 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c 0 (a ≠ 0 ) 的 求 根 公 式 :xbb 2 4ac (b 2 4ac0)2a② 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 :b 24ac 叫 做 一 元 二 次 方 程ax 2bx c 0 ( a ≠0)的根的判别式:0 方程有两个不相等的实数根; 0 方程有两个相等的实数根; 0方程没有实数根;③一元二次方程根与系数的关系:设x 1 、 x 2 是方程 ax 2 bx c0 ( a ≠ 0)的两个根,那么x1 + x2b c ;= a,x1x2=a不等式的基本性质:①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变;②不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;3.函数一次函数的图象:函数 y=kx+b(k 、b 是常数, k≠ 0) 的图象是过点( 0,b)且与直线y=kx 平行的一条直线;一次函数的性质:设 y=kx+b ( k≠ 0),则当 k>0 时, y 随 x 的增大而增大;当k<0, y 随 x 的增大而减小;正比例函数的图象:函数y kx 的图象是过原点及点(1,k)的一条直线。
初中数学分式方程-word文档
初中数学分式方程-word 文档1.下列关于x 的方程,是分式方程的是( )A .32325x x ++-=B .2172x x -=C .213x x π-+=D .1212x x =-+ 解分式方程 2.分式方程532x x =+ 的解为( )A.1B.2C.3D.4 3.关于x 的分式方程211x a x -=+的解为正数,则字母a 的取值范畴为( )A.a ≥-1B.a>-1C.a ≤-1D.a<-1分式方程的解法4.小明解方程1x -x -2x =1的过程如下.请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.解:方程两边同乘x ,得1-(x -2)=1.……①去括号,得1-x -2=1.……②合并同类项,得-x -1=1.……③移项,得-x =2.……④解得x =-2.……⑤∴原方程的解为x =-2.……⑥分式方程的增根 5.若关于x 的分式方程2233x m x x ++=--有增根,则m 的值是( )A.m=-1B.m=0C.m=3D.m=0或m=3由实际问题列分式方程6.岳阳市某校举行运动会,从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元,且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同.设每个笔记本的价格为x元,则下列所列方程正确的是( )A. B.C. D.列分式方程解决工程问题7.某校为美化校园,打算对面积为1800m2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,同时在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天?8.在某市一都市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标.经测算,甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合作24天完成.(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?(2)甲队施工一天,需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程打算在70天内完成,在不超过打算天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,依旧由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱?列分式方程解决行程问题9.济南与北京两地相距480km,乘坐高铁列车比乘坐一般快车能提早4 h到达,已知高铁列车的平均行驶速度是一般快车的3倍,求高铁列车的平均行驶速度.10.轮船在顺水中航行akm所需的时刻和逆水航行b(a>b)km所需的时刻相同.已知水流的速度是20km/h,用a,b表示轮船在静水中的速度.列分式方程解决利润问题11.某服装店用960元购进一批服装,并以每件46元的价格全部售出,由于服装畅销,服装店又用了2220元,再次以比第一次进价多5元的价格购进服装,数量是第一次购进服装的2倍,仍以每件46元的价格出售,卖了部分后,为了加快资金周转,服装店将剩余20件以售价的九折出售,问:(1)该服装店第一次购进此种服装多少件?(2)两次出售服装共盈利多少元?。
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数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
我word如何编辑数学题
我word如何编辑数学题在学习word的编辑数学题时,人们可以使用word软件的各种功能,来实现编辑数学题的需求。
以下是word编辑数学题的一些常见方法:一、选择字体1、打开word文档,将光标移动到需要编辑的数学题对应的位置。
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二、使用排版格式1、选择对应的排版格式,点击工具栏中的“排版”,在弹出窗口中可以看到各种排版格式,可以根据实际需要,进行选择排版格式的操作。
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期末考试将至,检测一学期学习成果的时刻到了。
怎么样,孩子们有信心吗?来让我们一起试试吧!题目一二三四五六七八总分分数一.小小填空知识多,请你快来填一填。
(18分)1.一个正方体,无论从哪个方向看,看到的都是()。
2.小明看一本书,每天看15页,a天看完,这本书共有()页。
3.1•b=()3×b+5×a=()4.41×26+59×26=()×265.把()平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做()。
6.506.04读作(),二百点零六九写作()。
8.2吨147千克=()吨175毫升= ()升9.看右图,∠1=25°,∠2=50°,那么∠3=()°。
10.用分数表示下面涂色部分。
()()二.小小审判员。
(对的打“√”,错的打“×”)(10分)1.14和42的最大公因数是7。
……………………………………………()2.等腰梯形一定是轴对称图形。
…………………………………………()3.把分数改写成小数是0.009。
………………………………………()4像…………………………………()5.(125-50)×8=125×8-50。
………………………………………………()6.正方形的面积公式用字母表示是S=a•a=2a。
…………………………()7.50分钟=0.5小时。
………………………………………………………()8.在建筑中人们把房顶支架做成在三角形是因为三角形具有稳定性。
…()9.8844.43读作八千八百四十四点四十三。
………………………………()10.一个数的末尾添上“0”或去掉“0”,它的大小不变。
………………()三.了解小小知识窗,回答问题。
(6分)你知道中国的五大名山吗?1.东岳泰山——“五岳独尊”。
泰山高达1545米,在五岳的高度中,排行第三,却被称为“五岳之首”、“五岳独尊”、“天下第一山”。
2.西岳华山——奇险第一。
位于西安市东120公里处的华阴县城南,以奇险峻秀著称,南峰高度为2160米,素称“天下奇险第一山”,也是著名的道教圣地之一。
3.衡山四绝——“南岳独秀”衡山又称南岳,位于湖南省衡山县,山势雄伟,绵延数百公里。
七十二峰中以祝融、天柱、芙蓉、紫盖、石五峰最有名。
最高峰为祝融峰,海拔1290米。
4.北岳恒山——海拔最高五岳中以北岳恒山最高,位于山西省浑源县城南四公里处,绵延150余公里。
主峰天峰领海拔2017米,被誉为“塞外第一山”。
高耸入云,给人以顶天立地之感。
5、中岳嵩山——胜迹如云中岳嵩山,位于河南省登峰县境,因地处中原,古称“中岳”。
其主峰峻极峰海拔1491米。
山峰多寺也多,有“上有七十二峰、下有七十寺”之说。
恒山衡山华山泰山嵩山阅读上面文字完成下面各题。
(1)把“1545米”和“2160米”改写成以“万”为单位的数并读出来。
1545米:读作:2160米:读作:(2)把“1290米”、“2017米”、“1491米”改写成以“千米”为单位的数。
1290米= 千米2017米= 千米四.聪明的小画家。
(10分)1.在方格纸上画图。
(每小格的边长为1厘米)。
(6分)(1)底边是6厘米的等腰三角形。
(2)底是5厘米,高是3厘米的平行四边形。
(3)上底是3厘米,下底是5厘米,高是4厘米的等腰梯形。
2.先在下边的梯形中画一条线段,把梯形分成一个三角形和一个平行四边形,再画出三角形的一条高。
(4分)五.计算乐园。
(29分)1.比一比谁算得又对又快。
(5分)125×8= 10-0.5= 15.3+4.7= 240÷40=14×4= 1-0.86= 1- =25×3×4= 1-0.3+0.45=2.竖式计算我最棒。
(8分)203×87= 930×25=3.04-1.87= 12.3+8.54=3.你的简算学得怎么样?检验一下吧!(12分)59×23+23 (25+125)×8 25×47×465×102 2.3+10.9+7.7 54.2-(4.2+17)4.求出下面每组数的最大公因数。
(4分)18和24 30和45六.统计小行家。
(7分)1992~2008年5届奥运会中国获得金银牌数统计表1992年1996年2000年2004年2008年金牌枚数16 16 28 32 51银牌枚数22 22 16 17 211.请根据统计结果完成复式统计图。
(5分)1992 1996 2000 2004 2008(年)2.从复式统计图中,你获得了哪些信息?你能预测一下下一届奥运会中国健儿可能得多少块金牌吗?(2分)七.生活中的数学。
(18分)1.玩具公司要生产5000个玩具,,安排48名工人生产,按每人每天生产12个计算,10天能不能完成任务?(3分)2.小明看一本故事书,第一天看了它的,第二天看了它的,还剩几分之几没看?(3分)3.为迎“五•一”,旺源超市的一些小家电打折出售,打折出售的单价表如下:类别电饭煲微波炉九阳豆浆机单价(元)280 580 385打折当天卖出电饭煲23个,微波炉34个,九阳豆浆机2个。
(1)电饭煲和九阳豆浆机当天一共卖出多少元?(3分)(2)电饭煲当天营业额比微波炉少多少元?(3分)4.王大爷有一块长35米,宽25米的菜地,菜地中间留了宽1米的路。
王大爷把菜地平均分成了4块种蔬菜,求每一块菜地的面积是多少?(3分)35米25米八.自主探究。
(5分)一袋糖果分给小朋友,若每人5颗,则余12颗;若每人6颗,则差6颗,问有多少个小朋友?一、命题思想与试题分析此次考试是以测试学生知识掌握的水平性测试,主要通过试卷考察学生基本知识、基本技能与利用所学知识解决问题的能力等掌握情况,个别题目灵活具有选拔和甄别的功能。
总体来讲,本试卷难易适中,没有偏、难、怪题,涉及面广,较全面地考查了学生半学期以来的学习状况。
考查的知识点是四年级下册第一至第四单元部分内容,包括四则运算、位置与方向、运算定律和小数意义与性质。
试卷共有六大题:一、用心思考,正确填写:包括根据坐标填写方向、应用运算定律、小数大小的比较以及改写小数等;二、仔细推敲,判断对错:测查了学生对基础概念的掌握和应用情况;三、认真辨析,合理选择:考查学生对所学知识简单应用情况;四、注意审题,细心计算:包括口算、四则运算、简便运算三部分;五、动手操作,清楚准确:考察的是位置与方向;六、联系实际,解决问题:6个应用题从不同角度考察了学生解决实际问题的能力。
从难易程度看:其中容易题占70%,中等题目占24%,较难题6%。
二、答题情况与成绩汇总1、填空题。
学生失分较多的是2、3、9题,其它题都易得分。
其中2小题错误原因主要是学生对名数的改写还未系统学过,另外同学们在填写时不加单位,这点应该引起老师们的注意;3小题125+99×125共有()个125.这一题主要在简便计算时计算过但并没有过多的强调过其算式的组成,这一点可以体现出我们在平时教学中的不到位,应从多方面去引导学生分析数学问题;这些错误都是由于学生不细致分析题目,缺少思考与推理能力而造成的。
所以,在今后的教学中应告诉学生考虑问题要全面。
事实证明,学生的良好思维品质和学习习惯的培养还要老师的“功力”。
第9题是一道较难的题。
但在复习时做过并讲过类似的题型,学习习惯好的同学都能按照讲授的思维方法顺利完成,但有些同学对于这样的题型就无从入手了。
这里就可以看出学生灵活思维能力相对较弱。
2、判断题。
2小题0乘任何数都得0,0除以任何数也都得0;4小题0.1和0.4之间有两个小数。
这两题错误率较高,主要原因是学生读题不细心造成的,其实这样的题目练习过很多,只要细心就能做对,千万不能凭感觉。
正如一位数学教育家说的“感观有时可能给人们带来错觉。
严谨、科学地论证才是真正的数学品质。
”填空或选择题有时不仅可以检测学生对知识的掌握程度,还可以测出学生的判断能力与鉴别能力等,所以培养学生良好的数学学习品质是至关重要的。
3、计算训练。
其中口算完成较好;四则运算有部分同学对运算顺序已经淡忘,这与学习简便运算有关;值得一提的是简便运算,在教育局教研室试卷分析会上我校学生简便运算正确率是最高的,这源于我组几位教师针对本学期的这一难点所做出的努力是分不开的,也得益于我校计算研究中心一直推广的计算练习密不可分。
但每次考试都有部分学生粗心大意不能准确进行计算。
这样的情况也是我们一直以来所困惑的,有什么好办法能消除这种低级错误呢?希望各位教师多想点好办法传授给大家,这样会促进我们教学成绩的尽快提高。
4、操作题。
本题在一个图中考察了学生位置与方向的所有内容,其中1、3小题以学校为观测点去画图的几乎没有做错的,但2小题同样是以学校为观测点题目却是学校在书店北偏西20°方向800米处错的较多,分析其原因有两点(1)由于惯性,凭感觉答题;(2)不会利用位置的相对性进行转化后再画图。
不过从学校的整体的作图情况看来还是不错的(其中用铅笔规范作图、注意细节如:角度、线段点、具体名称的标注。
)这与平时教师的严格要求有很大关系。
由此可见,我们学生的基本作图技能还是值得夸赞的。
只有坚持不懈,学生们的空间观念与概念才会打下坚固而扎实的基础。
5、解决问题。
我想应用题就是给出一个具体的情境,并提出一些有效的数据让学生解答,目的在于检测学生计算技能、科学推理能力、综合应用知识的能力。
绝大多数学生能正确找出条件和问题,解题思路和解题方法都有所加强。
但目前我们发现学生的读题能力、理解题意的能力还是有一定的距离,特别是学生对含有数理逻辑很难明白。
有的学生乱动笔,写出来的东西根本就没有半点逻辑。
这说明学生对题目中提供的原始材料、情境、信息,不能耐心解读、全面观察并选择有用信息帮助解决问题。
反思我们平时的教学,不难发现,我们强调数学与生活的联系,往往在新课引入时比较注重,而课中、课尾,恐怕是只剩“数学”而不见“生活”了吧!其实,每一个数学问题都不是孤立存在的,它都是从生活情境中提炼出来的。
将复杂情境贯穿于数学学习的全过程,切实提高学生灵活解决问题的能力,是应该引起我们思考的问题。
另外,从整张卷面看,值得我们注意的是,大部分学生审题方面存在问题。
还有卷面中免不了有单纯的计算错误、抄错数据、等我们常说的低级错误。
可见平时的作业习惯、读题习惯、验算习惯、估算习惯等影响学习效果的非智力因素,不是临考时想控制就能控制的,需要数学教师一贯的关注,循序渐进的培养和持之以恒的监测;但学生的卷面是值得我们骄傲的(如:统一、整洁的钢笔字,思路清晰的解题过程等)都很好地反映了我校一直关注的学习习惯、书写习惯。