MATLAB可视化方法和技巧1_3复数的计算和图示

复数的计算和图示

表3 MATLAB关于复数运算的函数

{范例3_1}复数的加减法

设有两个复数z1 = 1 + 2i和z2 = 4 + 3i，其中i是虚数单位求两个复数的和z1 + z2和差z2–z1。

[解析]复数有三种表示形式

(1)代数式

z = x + i y(3_1_1)

(2)三角式

z = r(cosθ + isinθ) (3_1_2) 其中r是复数的模，θ是复角。代数式与三角式的换算关系是

r=arctan y x

θ(3_1_3)

x = r cosθ，y = r sinθ(3_1_4)

(3)指数式

z = r e iθ(3_1_5) 其中利用了欧拉公式

e iθ= cosθ + isinθ(3_1_6)

设有两个复数

z1 = x1 + i y1，z2 = x2 + i y2(3_1_7) 复数加法是

z= z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (3_1_8) 复数减法是

z= z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2) (3_1_9) [程序]P3_1plus.m如下。

%复数的加减法

clear %清除变量

z1=1+2i; %第1个复数(1)

x1=real(z1); %取第1个复数的实部(2)

y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部(2)

x2=4; %第2个复数的实部

y2=3; %第2个复数的虚部

z2=x2+i*y2; %形成第2个复数(3)

z=z1+z2; %两复数之和(4)

x=real(z); %取复数的实部

y=imag(z); %取复数的虚部

figure %创建图形窗口

quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(5)

hold on%保持图像

quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数(5)

quiver(0,0,x,y,0) %画复数之和(5)

plot([x1,x],[y1,y],'--') %画虚线(6)

plot([x2,x],[y2,y],'g--') %画虚线(6)

axis equal%使坐标刻度相等(7)

grid on%加网格

r=abs(z); %求模(8)

theta=angle(z)*180/pi; %求复角(9)

text(0,0,num2str(theta),'FontSize',16) %显示复角(10)

text(x,y,num2str(r),'FontSize',16) %显示模(10)

title('两复数之和','FontSize',16) %显示标题

z=z2-z1; %两复数之差

x=real(z); %取复数的实部

y=imag(z); %取复数的虚部

figure %创建图形窗口

quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数(11)

hold on%保持图像

quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数

quiver(x1,y1,x,y,0) %画复数之差

axis equal%使坐标刻度相等

grid on%加网格

title('两复数之差','FontSize',16) %标题

[说明](1)变量i表示虚数单位，可用于形成复数。

(2)函数real和imag取复数的实部和虚部。

(3)如果已知数据的实部和虚部，也可形成复数。

(4)求复数之和时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，形成新的复数。

(5)quiver指令画箭杆，前两个参数表示箭杆的起点坐标，后两个参数表示箭杆两个分量的长度，第5个参数表示按所给数据画箭杆。

(6)画虚线形成平行四边形，如P3_1a图所示。

(7)坐标间隔应该相等。

(8)对于复数(包括实数)，abs函数求模。

(9)angle函数求复角。

(10)text指令显示文本。

(11)求复数之差时，三个复数形成三角形。

P3_1a 图 P3_1b 图

{范例3_2}复数的乘除法

设有两个复数z 1 = 1 + 2i 和z 2 = 4 + 3i ，求两个复数的积z 1z 2和商z 2/z 1。

[解析]复数乘法为

z = z 1z 2 = (x 1 + i y 1)(x 2 + i y 2) = x 1x 2 - y 1y 2 + i(x 1y 2 + x 2y 1) (3_1_10)

用指数表式为

z = r 1exp(θ1)r 2exp(θ2) = r 1r 2exp(θ1 + θ2) (3_1_11)

可见：两复数相乘时，其模等于两个复数的模的乘积，其复角等于两个复数的复角之和。

复数除法为

2

2222111212122122111111111i (i )(i )()i()====i (i )(i )z x y x y x y x x y y x y x y z z x y x y x y x y ++-++-++-+ (3_1_12)

用指数表式为

z = r 2exp(θ2)/[r 1exp(θ1)] = (r 2/r 1)exp(θ2 – θ1) (3_1_13)

可见：两复数相除时，其模等于两个复数模的商，其复角等于两个复数的复角之差。

复数的乘方用指数表示为

z n = |z |n exp(i n θ) = |z |n cos(n θ) + isin(n θ) (3_1_14)

[程序]P3_2times.m 如下。

%复数的乘除法

clear %清除变量

z1=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z1:');%键盘输入第1个复数(1)

z2=input('请输入第1个复数(包括实数和虚数)z2:');%键盘输入第2个复数(1)

x1=real(z1); %取第1个复数的实部

y1=imag(z1); %取第1个复数的虚部

x2=real(z2); %取第2个复数的实部

y2=imag(z2); %取第2个复数的虚部

z=z1*z2; %两复数之积

x=real(z); %取复数的实部

y=imag(z); %取复数的虚部

figure %创建图形窗口

quiver(0,0,x1,y1,0) %在复平面画第1个复数

hold on %保持图像

quiver(0,0,x2,y2,0) %画第2个复数