2018新课标全国卷3高考理科数学试题与答案解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣=A ．12B ．2C D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 5．已知双曲线C ：22221x y a b-= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=6．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A．3B．3C．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a= A ．12- B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________．14．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．15．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA+cosA=0，,b=2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．21．（12分）已知函数()f x=x﹣1﹣alnx．（1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222nK ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l 3与C 的交点，求M的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题13. -1 14. -8 15. ∞1（-，+）4 16. ②③三、解答题 17.解：（1）由已知得tanA=π2A=3在 △ABC 中，由余弦定理得2222844cos+2-24=03c 6c c c c c π=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得ππ∠∠=∠-∠==，所以26CAD BAD BAC CAD故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π=g g g 1sin 26112AB AD AC AD 又△ABC的面积为⨯⨯∠=∆142sin 2BAC ABD 18.解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +=== ()363000.490P X ===()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间[)20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：（1）由题设可得，,ABD CBD AD DC ∆≅∆=从而 又ACD ∆是直角三角形，所以0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故 所以DOB D AC B ∠--为二面角的平面角2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC∆+==+=+==∠⊥在中，又所以，故DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OAu u u r的方向为x 轴正方向，OA u u u r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则-(1，0，0),(0，3，(1，0，0),(0，0，1)A B C D由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E 310，，2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故()()311，0，1，2，0，0，1，，22AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则00，即3100，22x z AD x y z AE -+=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩u u u r g u u u r g n n 可取311=,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭n 设m 是平面AEC的法向量，则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u ur g m m 同理可得(013,=-m则7cos,==g n m n m n m所以二面角D-AE-C的余弦值为720.解（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x g 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =u u u r u u u rg ,故()()()()121244220x x y y --+++=即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ， 所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x af 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥. 故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x -- 令1=1+2n x 得111+＜22nn ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3. 22.解：（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m得l 2的普通方程()212l :y x k=+设P （x,y ）,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠.所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠ （2）C 的极坐标方程为()()22240＜＜2cos sin ,r qq q p q p-=≠联立()()2224+cos sin cos sinr q q r q q ⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin q q q q-.故13tan q=-，从而2291=，=1010cos sin q q 代入()222-=4cos sin r q q 得2=5r ，所以交点M23.解： （1）()3＜121123＞2,x f x x ,x ,x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩当＜1x -时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤ 当＞2x 时，由()1f x ≥解得＞2x . 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而22212+1+235=--+2454x x x x x x x xx +---+≤--+⎛⎫ ⎪⎝⎭≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+.故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。