初中数学几何题(超难)及答案分析

几何经典难题

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，

∠PAD ＝∠PDA ＝150．

求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1

的中点．

求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交

MN 于E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）

（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）

A P C D B

A F

G C

E B O D D 2

C 2 B 2 A 2

D 1

C 1

B 1

C B D

A A 1 B

F

6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A

，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三）

7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ）

8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P

是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

N

9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．（初二）

10、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．

11、设P 是正方形ABCD 一边BC

求证：PA ＝PF ．（初二）

12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求

证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）

E E P

13、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．

求：∠APB 的度数．（初二）

14、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．

求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）

16、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．

17、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：

≤L ＜2．

A

P C B P

A D C

B C

B D A

F

P

D

E

C

B

A

18、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．

19、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．

20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．

C

C

D

解答

1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠OEG, 即△GHF ∽△OGE,可得

EO GF =GO GH =CO

CD

,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形

3.如下图连接BC 1和AB 1分别找其中点F,E.连接C 2F 与A 2E 并延长相交于Q 点， 连接EB 2并延长交C 2Q 于H 点，连接FB 2并延长交A 2Q 于G 点，

由A 2E=12A 1B 1=12B 1C 1= FB 2 ，EB 2=12AB=12BC=F C 1 ，又∠GFQ+∠Q=900

和

∠GE B 2+∠Q=900,所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ， 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B 2C 2 ， 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C 2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=

∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

5.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。