初中数学：经典几何模型大汇总

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初中数学——最全：初中数学几何模型

最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。

对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。

对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。

旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。

自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。

共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。

中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。

模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。

正方形的边长可以通过射影定理来求解。

假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。

这可以通过旋转相似模型来实现。

例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。

更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。

相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。

另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。

初中数学几何模型大全

初中数学几何模型大全全等变换平移:平行等线段〔平行四边形〕对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型角分线模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等.两边进行边或者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称〔翻折〕,翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段,需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等.自旋转模型构造方法：遇60度旋60度,造等边三角形遇90度旋90度,造等腰直角逼等腰旋顶点,造旋转全等遇中点旋180度,造中央对称说明：旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过“8〞字模型可以证实.模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用.当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边组相邻等线段,分组组成三角形证全等.点,证实另外两个顶点与中点所成图形为翻腰直角三角形.证实方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证实的等腰直角三角形和的等腰直角三角形〔或者正方形〕公旋转顶点,通过证实旋形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两一匚■中点旋转:方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中转全等三角形证实倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证.几何最值侬对称最值〔两点间线段最短〕二线段之和量短模型过桥模型四边脑周KM小模型三俗形用长最小模型同侧.异侧两线段之和最短就型轴对称模型同侧,异恻两线段之W最小段T；线段和差模型HIM对称最值〔点到直线垂线段最短〕说明：通过对称进行等量代换,转换成两点间距离及点到直线距离.旋转最值〔共线有最值〕说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段,定长线段的和为最大值,定长线段的差为最小值.剪拼侬三角形—四边形边形.四边形说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变形的形状.矩形一正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长,通过平移与旋转完成形状改变正方形+等腰直角三角形一正方形面积等分旋转相似侬说明：两个等腰直角三角形成旋转全等,两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度,趣转相似.第三边所成夹角符合旋转〃8〞字的规律.相似模型说明：注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证实相似中起到通过等量代稣构造相帕角形的作用.说明：(1)三垂直到一线三等角的演变,三等角以30良45原60度形式出现的居多.(2 )内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不同之处.另外,相似射影定理.相交弦定理〔可以推广到圆幂定理〕之间的比值可以转换口乘积,通过等线鼠等比值、等乘积进行代换,进行证实得到需要的结论.说明：相似证实中最常用的辅助线是做平行,根据题的条件或者结论的比值来做相应的平行线.A 模型一：手拉手模型-旋转型全等<1>融笈给a 条件:Q 均为等边三角形» 结论：① A 〔〃C ♦ M 〕BD ,② LAEB = 601 ③ OE 平分 LAED.<2〕等腰A 条件:A .4优均为等腰直用三角形a 结论,①△〔,〔 ■ N 〕BD J ② L.lEti - 9.\ A ③.E 平分乙IED .<3>任意等腰三角形A 轴：wcw 〞均为等股三龟形a 牯论二① A .,.・ &OBD ；② LAEB • LAOQ .»③0E 平分乙l£O .A 模型二:手拉手模型-旋转型相似〔DT^况A 条件：〔力〃,出,将△〃口〕旅转至右囹位贸 A 给论：> 右图中① A 〃C 〜AOMeMMC' M 〕BD ; a ②延长"交BD 于点E,必有UEC • LBOA⑵特殊情况 >条件,CD//AB ,乙〞财■佻产,将ACC 及旋转至右图位置>牯论：右图中①AOC&SAOJ A O AOIC ROBD 3②⑤连接/D. BC,必有；6〞.二』炉,8；⑥=…・/.卬〕〔对角线互相垂直的四边形〕5 @RDLAC .延长/C 交加于点&必有tan LOCDA模型三；对角互补模型⑴全等型30a①乙北加•乙DCE - 9.° j②oc平分&CB JJA 结论：① CD=CE:② 0D + °E ■ 6oc J ③,SoDt'E - $!110cB + §皿LA证!搬示：的乍垂直,如图,证实"DM •&CEN]■<②过点C作b 1 0C,如上图(右),证实AODC- AFEC ；, a当乙DCE的一边交/O的延长线于点Q时：〞以上三个结论：(DCD=C£(不变)3厂心“-$的」"‘@OE-OI〉・GOC, @" 211愉论那么方法第IT摊况T,可自HiS.K'S C>t£X H~ X'Mu<2>全等型-1200»霜：044OB・2乙XE・I2O03a ®oc 平分20%1y/a 结论:①C〞・CEj②./) +.£・优3(X T/—SflDCT " ^AGCD + SwKT " 7 0°A③4.,\A证骊I示：①可参考〃全等型-知,,证法一；②如却在05上取一点尸,使.尸=0C,证实AO"^IT为等边三角形.a(3)全领任意角a> 新：(Q- 2a, LDCE - 18() - 2(c . ©CD-C£；A 结论；①0('平分乙IO% ②,OE -2PC*cosa ,a @s(m - 5^CD- OC^sina -cosaa当〃的一边交乂.的延长线于点口时(如右上图〉；原结论变成：①②③I可参考上述第②种万法西亍证实.语思考初始条件的变化对模型幡oK a—35晌.>对角研触克结：①常见初始条件：四边形芯角互扑；注意两点：四点共圆及直通三通形斜②初始条件「角平分线〞与“两边相等〞的区别；③两种富见硒图域轴法3④注意00平分乙时,LCDE - LCED - LCOA・WCQ相等如何边中线；47f 推导？A模型四：角含半角模型M<1〕角含半角模型90° -1»①正方形9C?,45\>牯论,①EF - BE ；②KEF的周长为正方形一出CO周长的一半;也可以哪：a W=①正方形dBC?②EF = DF・BEa 结论: Z£//：45.<2〕角含半角模型式.,a条件：①正方形/出8； © LEAF - 450a 结论二EF -DF-BE> '岫线如下列图所示：〔3〕角含半鱼模型90° -3A条件二①吟② a 结论；RD2 + CE1 = DE2假设UM 曲到&版外部时,结论5+3 =.「仍然成立.设明＞遵履AC?方公不唯一〕V Z/JW«・・S〞・,4F •,4Ml・/CMAV Zl/W-Z(C £ - 45 \ .*. XIDIMXUT---A〞/s&sc Ai! X£a条件:①正方形/"CD;②LEAF - 45Q＞结论：A"比为等艘直角三用形°A模型五：倍长中线类模型⑴倍长中物飕里-1A 条件二①矩形ABCD；②〃"■"心③.尸,£7、»结论一"\LC广模型拄取,①有平行线TQI山E:②平行线|胡戋段有中点.尸,EF砌屣"8"字第ZU/A：・ A/他射.〔25借长中绳械型-2> 条件：.¥行四边形RRCD ；②"C ■ 2AB；③AM - DM；@CELAD.a结论:乙EMD・3乙AIEA情助〞：有个什AB/fCD .市中版.d V - /AV/达长EM•利造/“I〃心,八〃',4M C.V杓连号・vj.ur T vvcA通过构迨8字先等八段也量庆C1JL美系.用的欠小小化A 模型六：相似三角形360°旋转模型⑴相似三角形?等JO 角)酬.旋转模型斗检法a 条件:①NDE 、A4 AC 均为等腰直角三角形m ②EF ・CF, a 结论：①DF ・BF ；②DF1 B 尸Ml 财观,尚迨哥腰JLMAJEG 、M 〞C技劝独弓咕；将/V 句仲化到与EU ⑵ 任鄢时三角形360'旋转模3H 除法a (D M)ABsz2c ,② LOAH - Z ODC -巩尸；③BE ・CE .» 结论:① AE= l)E j ② LAEly - 2 LABO,③就的画个〉件“化仇」叫3〃,MHO . it为收晟.#NM8A.4取,雄靖傅化由江那么\ ।外匕小j m.传网色以*比M 4商* 此处.•机a 施叫乙区H ・N 〃M )H 削l:增长/)/： £ V .便\肥7出.杵修(O 形360°值 MM DF HAG.盘 FG ・DF . 4.li(Xi . B(i . Klf Um .MifKi京k 点；\加必“机；e A: U . 41)■ ZflC G横财姬：地太AJ «AG .使.0・AB .过长 < /> 财 A H 佗 DH = Cl> .林 t WB 〞OC7fHit J£ DE iiCG A KH .比 NJEDa 条件：① NXB SAODC ：②乙.4B ・£(〞)( ■ 9() BE ・CE.A 结论二① 4月■ DE 3 ② LAEiy - 2 LAHOa 条件：①&〃兄・、MBC 均为等腰直角三角形,② EF -CF a 结论：①DF =BF ；② DF1 BFA 模型七：最短程模型景后基幡化到：•两昆之昉,怪我累触2例二财点一①4点AH 惕上:⑵依・心怨力国大垂线段另短＜2＞最短路程彳械劝愎」将作.美中0C H 俾九•豺比傕•=,堂, -tA \1 作 MHKM,1俨.小・ A 俨-,Q2 M" 〔•0戊量收〕＞条件,①OC 平分"O%②?为〔M 上一定点,@ 〃为OJtf 点；@°为OH 上一动点: A 求」“O+PO最小时,几°的位置？(3> 题雌(^JM^2)条件：*014〕.8〔-20〕J 〔0,〃〕PB +此 PAi 够：〃为何值时,5 最小c A .sin ^OA,C 0 ——求解方法：①工轴上取〔口0〕,使5 ,②过码乍A/〕L4g 交〕'轴于点％艮防所求＞tan LEiiO = tan LOAC ③>忤！®ttft ai-4. <w-2 <ufl>(Mr) 6«M «A<) &*专内360 **««； .S〞着幺OL乩亳：“A."■〜. <“牙导越力・・^^**. «HaHR,*-X»Oflil4.4*tMXa・,直£・•卜十n五调.A^(*;•・称：< |-«; 〃彳一,胸>fta①—■九〔瞰・1⑵"启〞.剧,.明r<F +小停/®A 〃〔金曲IM -AH«3 K/H>JH /,小僖.1. 〞,H •：3 J〞W/,卜低方2.妁八的以廿也向工OcAfiZCD «rWW . £GWC-3(rXrx -2；0：rH-| ； 4 %.刖・£yq③ U址也人9**M»ft：把I ・ Jl<A〞eH"班・1,,4PI a«i>u. *,・外•川•eai<4〕最短路程稳型三〔旋转类最值锲型〕H小值而A 模型九：相似三角形模型I 千(J).腿三角形蜩-根本型 (2)才械三的阳模蛰第交举44与二*“冷；片A 鹏如护外作的认化 । \」,兴5"了":3 加区旧•凤 r nft ~?而慢牛且小客」l frU -牙明 k 用tt <以上水论地可力d it 忻做三.就Hit 行或明平行号.汇川ST4 " 4J' DF 时是二 _ = —=_ ( jAB HC £「上Ft ；如仃面凸表画 r re 上・,i 印一耳e 伊司电4也 lii^t -M. .it'M “ e W - H L < J 1-JW - J/*忤r i:阍t 、_ 冰=l Hj.iT 廿=", Wl用ZAB 「,上 if £ -^< iiK- s JA ffl；一⑷「・_l£K ■-f¥比= J5 :中】Il./N 为图的hj 峰:在阍：P A rm = ft rn中酹! 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初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OAB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型OCOCDEOB CDEOA CDACD（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

初中数学必背几何模型

一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ，连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ，连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。

初中几何46种模型大全

初中几何46种模型大全篇一：初中几何46种模型大全引言几何是初中数学的重要分支,其知识点涵盖了平面几何、立体几何、向量等多个方面。

在学习几何时,掌握各种几何模型是非常重要的,这些模型可以帮助我们理解和解决几何问题,提高解题能力。

本文将介绍初中几何中的46种常见的模型,包括它们的名称、定义、性质和应用。

正文1. 正方形模型正方形模型是几何中最基本的模型之一,它是一种边长相等的矩形。

正方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

正方形模型的性质有:- 正方形的四条边相等;- 正方形的对角线相等;- 正方形的面积等于其边长的平方。

2. 长方形模型长方形模型是有两个相等的长和两个不相等的宽的英雄。

长方形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和小于斜边的平方。

长方形模型的性质有:- 长方形的两条对角线相等;- 长方形的宽比长大,长比宽大;- 长方形的长和宽相等。

3. 平行线模型平行线模型是相互平行的直线。

平行线模型的定义如下:- 两直线平行,当且仅当它们的对应角相等且且它们的方向相同。

平行线模型的性质有:- 平行线之间有且仅有一个交点;- 平行线上的点的横坐标相等;- 平行线的方向相同。

4. 菱形模型菱形模型是具有四个相等的直角边的矩形。

菱形模型的定义如下:在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方,且任意两条边的长度小于第三条边的长度。

菱形模型的性质有:- 菱形的四条边相等;- 菱形的对角线相等;- 菱形的面积等于其四条边长度的平方和。

5. 等腰三角形模型等腰三角形模型是有一个相等的腰部的两个三角形。

等腰三角形模型的定义如下:- 在一个平面直角坐标系中,任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

等腰三角形模型的性质有:- 等腰三角形的两条直角边相等;- 等腰三角形的底角相等;- 等腰三角形的顶角平分线相等。

6. 等边三角形模型等边三角形模型是具有三个相等的边长的三角形。

初中数学30种模型汇总(最全几何知识点)

10.等面积模型:D是BC的中点
20.平移构造全等
30.二次函数中平行四边形存在性模型
01.三线八角
同位角：找F型
内错角：找Z型
同旁内角：找U型
02.拐角模型
一.锯齿型
1
1
3
2
2
3
4
∠1+∠3=∠2
∠1+∠2=∠3 +∠4
左和＝右和
二.鹰嘴型
1
1
2
3
3
2
∠1+∠3=∠2
∠1+∠3=∠2
鹰嘴＋小＝大
一.大小等边三角形
虚线相等，且夹角为60°
（全等，八字形）
四.大小等腰三角形（顶角为α）
结论：虚线相等，且夹角为α
（全等，八字形）
三. 大小等腰直角三角形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
二.大小正方形
结论：虚线相等，且夹角为90°
（全等，八字形）
15.半角模型
条件：正方形ABCD
∠EDF=45°
证：EF=AE+CF
条件：CD=AD,∠ADC=90°
∠EDF=45°
∠A+∠C=180°
证明：EF=AE+CF
条件：AB=AD
∠B+∠D=180°
∠EAF=1 ∠BAD
2
证明：EF=BE+DF
条件：AB=AC,∠BAC=90°
∠DAE=45°
证明：DE2=BD2+CE2
△CEF为直角三角形
初中数学30种模型汇总
(最全几何知识点)
01.三线八角
02.拐角模型
03.等积变换模型

初中数学：常见的几何模型汇总(高清图片版)

初中常见几何模型汇总全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。

初中几何常考模型汇总(完整版)

第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。

热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。

求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。

初中数学几何模型归纳

初中数学几何模型归纳1. 直线模型：直线是最基本的几何图形，可以用直线方程y = kx + b 来表示。

其中，k 是斜率，b 是截距。

2. 点模型：点是几何图形中的基本元素，可以用坐标(x, y) 来表示。

3. 线段模型：线段是由两个端点确定的有限长度的直线部分。

线段可以用起点和终点的坐标来表示。

4. 射线模型：射线是由一个端点和一个方向确定的无限延伸的直线部分。

射线可以用起点和方向向量来表示。

5. 角模型：角是由两条射线的公共端点和这两条射线之间的夹角组成的。

角可以用顶点、始边和终边来表示。

6. 三角形模型：三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。

三角形可以用三边的长度和三个内角的大小来表示。

7. 四边形模型：四边形是由四条边和四个内角组成的多边形。

四边形可以用四边的长度和四个内角的大小来表示。

8. 圆模型：圆是由一个圆心和一个半径确定的平面上的所有点到圆心的距离都等于半径的图形。

圆可以用圆心和半径来表示。

9. 椭圆模型：椭圆是由两个焦点和一个长轴、短轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之和等于常数的图形。

椭圆可以用两个焦点和长轴、短轴的长度来表示。

10. 双曲线模型：双曲线是由两个焦点和一个实轴、虚轴确定的平面上的所有点到两个焦点的距离之差等于常数的图形。

双曲线可以用两个焦点和实轴、虚轴的长度来表示。

11. 正多边形模型：正多边形是由相等的边和相等的内角组成的多边形。

正多边形可以用边数和内角度数来表示。

12. 梯形模型：梯形是由一对平行边和一对非平行边组成的四边形。

梯形可以用两对边的长度和夹角来表示。

13. 矩形模型：矩形是由四个直角和两对相等的边组成的四边形。

矩形可以用两对边的长度和夹角来表示。

14. 正方形模型：正方形是特殊的矩形，它的四个边都相等且四个角都是直角。

正方形可以用边长来表示。

15. 三角形面积模型：三角形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为S = (底边长度×高) / 2。

完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型

完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察。

掌握几何模型能够为考试节省不少时间。

下面是常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，产生联系。

垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型通过翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称。

旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过“8”字模型可以证明。

模型变形模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。

初中数学常用几何模型

目录1. 8字模型与飞镖模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分线平行线模型5. 角平分线＋两垂线段模型6.等腰三角形的存在性问题7.A型、8型相似模型8.一线三等角相似模型8字模型与飞镖模型资料编号:202109012143关键词 8字模型飞镖模型8字模型如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连结AD 、BC ,则有C BD A ∠+∠=∠+∠.OACBD因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型. 8字模型的证明:证法一:∵D A AOB ∠+∠=∠ C B AOB ∠+∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）证法二:∵︒=∠+∠+∠180AOD D A ︒=∠+∠+∠180BOC C B ∴AOD D A ∠-︒=∠+∠180 BOC C B ∠-︒=∠+∠180 ∵BOC AOD ∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.点评 8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中.有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）.如图所示,有结论:DBABCD∠+∠+∠=∠.因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型. 飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系.AB CD飞镖模型的证明:证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示.∵BADBCD∠+∠=∠∠+∠=∠1,1∴DBABCD∠+∠+∠=∠.证法二:作射线AC,如下图所示.∵DB∠+∠=∠∠+∠=∠42,31∴DB∠+∠+∠+∠=∠+∠4321∴DBBADBCD∠+∠+∠=∠.FBECADAEAE例1. 如图所示,求证:︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A .B EC AD证法一:（飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示. ∵︒=∠+∠+∠180BFE E B CFD BFE ∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C A CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A . 证法二:（8字模型）连结CD ,如图所示,则有21∠+∠=∠+∠E B∵︒=∠+∠+∠180ADC ACD A∴︒=∠+∠+∠+∠+∠18021ADB ACE A ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E ADB ACE B A . 证法三:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵︒=∠+∠+∠18021ADB EC ∠+∠=∠∠+∠=∠21 ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180ED C B A .BECDA例2. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A _________.F CBEAD解法一:（利用8字模型） ∵32∠+∠=∠+∠B A3121∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠F E D C∴=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A()3212∠+∠+∠∵︒=∠+∠+∠180321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A . 解法二:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵B A ∠+∠=∠1DC FE ∠+∠=∠∠+∠=∠32∴=∠+∠+∠321F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ ∵︒=∠+∠+∠360321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A .例3. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠E D C B CAD _________.解:（利用飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示.FBECD A∵︒=∠+∠+∠180BFE E B ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C CAD CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B CAD .例4. 如图,△ABC 和△DCE 均是等腰三角形,CE CD CB CA ==,,=∠BCADCE ∠.（1）求证:AE BD =;（2）若︒=∠70BAC ,求BPE ∠的度数.NMPDABCE（1）证明:∵=∠BCA DCE ∠ ∴ACD DCE ACD BCA ∠+∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ 在△BCD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD CA CB ∴△BCD ≌△ACE （SAS ） ∴AE BD =; （2）解:方法一:∵△BCD ≌△ACE∴21∠=∠ ∵CB CA =∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵PBA PAB BPE ∠+∠=∠ ∴PBA BAC BPE ∠+∠+∠=∠2︒=︒+︒=∠+︒=∠+∠+︒=140707070170ABC PBA方法二:∵︒=∠=70,BAC CB CA ∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵︒=∠+∠+∠180ABC BAC ACB ∴︒=︒-︒-︒=∠407070180ACB ∵△BCD ≌△ACE ∴21∠=∠∵APB ACB ∠+∠=∠+∠21 ∴︒=∠=∠40APB ACB ∵︒=∠+∠180APB BPE ∴︒=︒-︒=∠14040180BPE .点评方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示.例5. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥.证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12（8字模型） ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例6.（1）问题发现如图1,△ABC 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE .填空: ①AEB ∠的度数为_________;②线段AD 、BE 之间的数量关系为_________;（2）拓展探究如图2,△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DCE ACB ,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 的高,连结BE ,请写出AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.图 1ECAB D图 2MEBCAD解:（1）①︒60; ②BE AD =;提示: ∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形 ∴CE CD CB CA ==,︒=∠=∠60DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠ ∴BCE ACD ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）（属于“手拉手”全等模型） ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB （属于“8”字模型） ∴︒=∠=∠60ACB AEB . （2）解:︒=∠90AEB ,CM BE AE 2=-; 理由如下:∵︒=∠=∠90DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠∴BCE ACD ∠=∠∵△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形 ∴CE CD CB CA ==, 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）……………………………………7分 ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB ∴︒=∠=∠90ACB AEB……………………………………8分 ∵DE CM CE CD ⊥=, ∴CM 平分DCE ∠∴︒=∠=∠=∠=∠45ECM DCM CED CDE ∴EM DM CM == ∴CM DE 2= ∵AD AE DE -= ∴CM BE AE 2=-.手拉手全等模型资料编号:202108292312关键词手拉手全等模型三角形全等手拉手全等模型介绍手拉手全等模型常见的有三种图形形式:两个等腰直角三角形组成的手拉手全等模型、两个等边三角形组成的手拉手全等模型以及两个普通等腰三角形组成的手拉手全等模型.必须说明的是,组成手拉手全等模型的两个等腰三角形,共用顶角的顶点（即两个顶角的顶点重合）,且两个等腰三角形的顶角相等.如图1、图2、图3所示,如果把大等腰三角形的腰长看作大手,小等腰三角形的腰长看作小手,两个等腰三角形共用顶角的顶点,类似大手拉着小手,所以把这种模型称为手拉手模型（手拉手模型还有手拉手相似模型）.图中两个等腰三角形的相对位置发生变化时,始终存在一对全等三角形. 手拉手模型常和旋转结合,作为几何综合题出现.图 1图 2图 3在图1、图2、图3中,△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,AE AD AC AB ==,,且DAE BAC ∠=∠,连结BD 、CE ,则△ABD ≌△ACE . 结论证明:（以图1为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. 结论证明:（以图2为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）.点评手拉手全等模型的依据都是SAS. 重要推论推论1 如图所示,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DAE BAC ,连结BD 、CE ,则有: （1）△ABD ≌△ACE ; （2）CE BD CE BD ⊥=,.推论1证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）∵△ABD ≌△ACE ∴21,∠=∠=CE BD延长BD 交CE 于点F ,如图所示. ∵BCF DBC BFE ∠+∠=∠ ∴ACB DBC BFE ∠+∠+∠=∠2︒=∠+∠=∠+∠+∠=901ACB ABC ACBDBC∴CE BD ⊥.推论2 如图所示,△ABD 和△BCE 均为等边三角形,点A 、B 、C 在同一直线上,连结AE 、CD ,则有:FGHEDACB（1）△ABE ≌△DBC ; （2）DC AE =; （3）︒=∠60DHA ; （4）△ABG ≌△DBF ; （5）△BEG ≌△BCF ; （6）连结GF ,则AC GF //; （7）连结HB ,则HB 平分AHC ∠.推论2证明:（1）∵△ABD 和△BCE 均为等边三角形 ∴BC BE DB AB ==,,︒=∠=∠60CBE ABDFGHEDCAB∵点A 、B 、C 在同一直线上 ∴︒=∠=∠120DBC ABE 在△ABE 和△DBC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE DBC ABE DB AB ∴△ABE ≌△DBC ;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DBC ∴DC AE =;（3）∵△ABE ≌△DBC ∴21∠=∠∵12∠+∠=∠+∠ABD DHA ∴︒=∠=∠60ABD DHA ; （“8”字模型）（4）∵︒=∠=∠60CBE ABD ∴︒=︒-︒-︒=∠606060180DBF ∴DBF ABG ∠=∠ 在△ABG 和△DBF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DBF ABG DB AB 21 ∴△ABG ≌△DBF （ASA ）; （5）∵△ABG ≌△DBF ∴BF BG =由前面可知:︒=∠=∠60CBF EBG 在△BEG 和△BCF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE CBF EBG BF BG ∴△BEG ≌△BCF （SAS ）;（6）连结GF ,如图所示.∵BF BG =,︒=∠60FBG ∴△BFG 为等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABD BGF ∴AC GF //;（7）连结HB ,如图所示,作DC BN AE BM ⊥⊥,.∵△ABE ≌△DBC ∴DBC ABE S S ∆∆=,DC AE = ∴BN DC BM AE ⋅=⋅2121 ∴BN BM =∵DC BN AE BM ⊥⊥,,BN BM = ∴点B 在AHC ∠的平分线上 ∴HB 平分AHC ∠.点评要求学生能从复杂的几何图形中辨识出手拉手全等模型,并能用SAS 证明两个三角形全等.模型举例例1. 如图,在△ABC 和△ADE 中,AE AD AC AB DAE BAC ==︒=∠=∠,,90,点C 、D 、E 在同一条直线上,连结BD . 求证:（1）△ABD ≌△ACE ;（2）试猜想BD 、CE 有何关系,并证明.ECAB D分析:由条件可知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,所以该图形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依据都是SAS . 证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）CE BD CE BD ⊥=,. 理由如下:∵△ABD ≌△ACE ∴E CE BD ∠=∠=1, ∵︒=∠=90,DAE AE AD ∴︒=∠=∠45E ADE ∴︒=∠451C ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠9045451ADE BDE ∴CE BD ⊥.例2. 如图,△OAB 和△OCD 都是等边三角形,连结AC 、BD 相交于点E . （1）求证:①△OAC ≌△OBD ;②︒=∠60AEB ; （2）连结OE ,OE 是否平分AED ∠?请说明理由.EDOABC（1）证明:①∵△OAB 和△OCD 都是等边三角形 ∴OD OC OB OA ==,︒=∠=∠60COD AOB∴BOC COD BOC AOB ∠+∠=∠+∠ ∴BOD AOC ∠=∠ 在△OAC 和△OBD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OD OC BOD AOC OB OA ∴△OAC ≌△OBD （SAS ）; ②∵△OAC ≌△OBD ∴21∠=∠∵︒=∠+∠+∠180ABE EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1802ABO EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB ∴()︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB∴︒=∠+∠+∠180ABO OAB AEB ∴OAB ABO AEB ∠-∠-︒=∠180︒=︒-︒-︒=606060180C（2）OE 平分AED ∠. 理由如下:作BD ON AC OM ⊥⊥, ∵△OAC ≌△OBD ∴OBD OAC S S ∆∆=,BD AC = ∴ON BD OM AC ⋅=⋅2121 ∴ON OM =∵BD ON AC OM ⊥⊥,,ON OM = ∴OE 平分AED ∠.（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例3. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥. 证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12 ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例4. 如图,在线段AE 的同侧作等边△ABC 和等边△CDE （︒<∠120ACE ）,点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点. 求证:△CPM 是等边三角形.PMDBA EC分析:本题图形中包含手拉手全等模型,我们可以证明△ACD 和△BCE 全等.另外,关于等边三角形的判定,可先证明三角形是等腰三角形,再证明三角形有一个角等于︒60.证明:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴CE CD BC AC ==,,︒=∠=∠60DCE ACB ∴ACE DCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠∴ACD BCE ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴BE AD =∠=∠,21∵点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点 ∴AM BP =在△ACM 和△BCP 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AM BC AC 21 ∴△ACM ≌△BCP （SAS ） ∴CP CM =,43∠=∠∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠6043ACB ACP ACP PCM ∵CP CM =,︒=∠60PCM ∴△CPM 是等边三角形.三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词三垂直全等模型一线三等角全等模型三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.图 1图 2图 3如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,. 结论:△BCD ≌△CAE .结论的证明:∵DE AE DE BD ⊥⊥, ∴︒=∠=∠90E D ,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠901BCD ∴1∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC E D B 1 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ）.重要推论推论1 如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE +=;图 1证明:由前面可知:△BCD ≌△CAE ∴BD CE AE CD ==, ∵CE CD DE += ∴BD AE DE +=.推论2 如图2所示,BC AC BC AC CD BD CD AE =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE -=.图 2证明:∵CD BD CD AE ⊥⊥, ∴︒=∠=∠9021,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠903BCD ∴3∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC B 213 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ） ∴AE CD CE BD ==, ∵CE CD DE -= ∴BD AE DE -=.说明三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等. 模型举例例1. 如图,直线l 上有三个正方形c b a ,,,若c a ,的面积分别是5和11,则b 的面积是_________.l cba IH JFEBADCGlcba IHJFEBADCG分析三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG ≌△GJF . ∴JF CG =由题意可得:11,522====JF S BC S c a ∴112=CG在Rt △BCG 中,由勾股定理得:16115222=+=+==CG BC BG S b .∴b 的面积是16.例2. 如图1所示,已知在△ABC 中,︒=∠90BAC ,AC AB =,点P 为BC 上一动点（CP BP <）,分别过点B 、C 作AP BE ⊥于点E ,AP CF ⊥于点F . （1）求证:BE CF EF -=;（2）如图2,若点P 为BC 延长线上一点,其他条件不变,则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.图 1图 2PCBA（1）证明:∵AP BE ⊥,AP CF ⊥ ∴︒=∠=∠901E ,︒=∠+∠903CAE ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠902CAE ∴32∠=∠在△ABE 和△CAF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB E 321 ∴△ABE ≌△CAF （AAS ） ∴CF AE AF BE ==, ∵AF AE EF -= ∴BE CF EF -=;（2）如图3所示.图 3BECFEF+=.提示:关键在于证明△ABE≌△CAF.例3.如图,在△ABC中,BCACACB=︒=∠,90,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②BEADDE+=;（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:BEADDE-=;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE、AD、BE之间的数量关系.图 1图 2图 3图 1（1）证明:①∵MNAD⊥,MNBE⊥∴︒=∠=∠9021∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠904ACD ∵︒=∠+∠903ACD ∴43∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC 4321 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）; ②∵△ADC ≌△CEB ∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE += ∴BE AD DE +=;图 2（2）∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠90CEB ADC ∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠902ACD ∵︒=∠+∠901ACD ∴21∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC CEB ADC 21 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE -= ∴BE AD DE -=; （3）AD BE DE -=.提示:仍然是证明△ADC ≌△CEB .图 3例4.（1）如图1所示,已知在△ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90,直线m 经过点A ,m BD ⊥于点D ,m CE ⊥于点E ,求证:CE BD DE +=;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC 中,AC AB =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,且有α=∠=∠=∠BAC AEC BDA ,其中α为任意锐角或钝角,请问结论CE BD DE +=是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.m 图 1EDCBA m图 2ECD A B（1）证明:∵m BD ⊥,m CE ⊥ ∴︒=∠=∠9021 ∴︒=∠+∠903BAD ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠904BAD ∴43∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB 4321 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴CE AD AE BD ==, ∵AE AD DE += ∴BD CE DE +=;（2）成立. 理由如下:∵︒=∠+∠+∠1801BAD BDA ∴α-︒=∠+∠1801BAD ∵︒=∠+∠+∠1802BAD BAC ∴α-︒=∠+∠1802BAD ∴21∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB AEC BDA 21∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=,AD=CEBD∵AE=ADDE+∴BD=.DE+CE点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.BEFDBCA角平分线平行线模型资料编号:202108310011关键词角平分线平行线等腰三角形角平分线平行线模型介绍如图所示,OM 平分AOB ∠,点P 是OM 上一点,过点P 作OB PC //,交OA 于点C ,则△POC 是等腰三角形. 下图就是角平分线平行线模型.MOBACP模型证明:∵OM 平分AOB ∠ ∴21∠=∠ ∵OB PC // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴CP CO =∴△POC 是等腰三角形.点评在角平分线的条件下,常过角平分线上一点作一边的平行线,构造等腰三角形. 重要推论推论1 如图所示,在△ABC 中,ABC ∠、ACB ∠ 的平分线交于点D ,过点D 作BC EF //,交AB 于点E ,交AC 于点F ,则有: （1）FC FD ED EB ==,; （2）CF BE EF +=; （3）AC AB C AEF +=∆.推论1证明: （1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; （2）∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=;（3）∵AF EF AE C AEF ++=∆ ∴AF DF DE AE C AEF +++=∆ AF CF BE AE +++= AC AB +=.推论2 如图所示,四边形ABCD 为平行四边形,把△BCD 沿对角线BD 折叠,得到△D BC ','BC 交AD 于点E ,则△BDE 为等腰三角形.EC'DBCA说明:由折叠可知:BD C CBD '∠=∠,即BD 平分BC C ',所以上图中包含角平分线平行线模型.推论2证明:由折叠可知:21∠=∠∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BC AD // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠∴EDEB=∴△BDE为等腰三角形.模型举例例1.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使点C落在点E处,BE与AD 相交于点O.（1）由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出一组全等三角形:________________;（2）图中有等腰三角形吗?请你找出来:__________;（3）若8AB,求OB的长度.,6==BC解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如图上所示,由折叠可知:=∠1∠2∵BCAD//（为什么?）∴3=∠1∠∴3∠2∠=∴OD OB =,即△BOD 为等腰三角形. （3）由（2）可知:OD OB =. 设x OD OB ==,则x OA -=8 ∵四边形ABCD 为长方形 ∴︒=∠90A在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222OB AB OA =+∴()22268x x =+-解之得:425=x ∴425=OB . 例2. 如图,点O 是△ABC 的边AC 上一个动点,过点O 作直线BC MN //.直线MN 交ACB ∠的平分线于点E ,交ACB ∠的外角平分线于点F . （1）求证:OF OE =;（2）若6,8==CF CE ,求OC 的长.DNMEF BCAO（1）证明:∵CE 平分ACB ∠ ∴21∠=∠ ∵BC MN // ∴32∠=∠ ∴31∠=∠ ∴OC OE = 同理可证:OC OF = ∴OF OE =;（2）解:∵CF 平分ACD ∠ ∴ACD ∠=∠215 ∵51∠+∠=∠ECF ∴ACD ACB ECF ∠+∠=∠2121 ()︒=︒⨯=∠+∠=901802121ACD ACB在Rt △ECF 中,由勾股定理得:10682222=+=+=CF CE EF由（1）可知:521==EF OC . 例3. 如图,在△ABC 中,AD 平分BAC ∠,点E 、F 分别在BD 、AD 上,AB EF //,且CD DE =. 求证:AC EF =.EDBCAF证明:作AB CG //交AD 的延长线于点G . ∴G ∠=∠1 ∵AD 平分BAC ∠ ∴21∠=∠ ∴G ∠=∠2 ∴GC AC = ∵AB EF // ∴31∠=∠ ∴G ∠=∠3在△EDF 和△CDG 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC DE G 543 ∴△EDF ≌△CDG （AAS ） ∴CG EF = ∴AC EF =. 例4. 解答下列问题:（1）如图1所示,在△ABC 中,BC EF //,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分ACB ABC ∠∠、,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系;（2）如图2所示,BD 平分ABC ∠,CD 平分外角ACG ∠,BC DE //交AB 于点E ,交AC 于点F ,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系,并说明理由;（3）如图3所示,BD 、CD 为外角BCN CBM ∠∠、的平分线,BC DE //交AB 的延长线于点E .交AC 的延长线于点N ,直接写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系.图 1EFDBCAG图 2FEDBC AMN图 3F EDBCA（1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=; （2）CF BE EF -=. 理由如下:∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC DE //∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF -= ∴CF BE EF -=; （3）CF BE EF +=.例5. 如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,点E 在CD 上,且AE 平分BAD ∠,BE 平分ABC ∠.求证:BC AB AD -=.EB CAD证明:延长AE 交BC 的延长线于点F . ∵AE 平分BAD ∠ ∴21∠=∠ ∵BC AD // ∴F ∠=∠2 ∴F ∠=∠1 ∴BF BA =∵BF BA =,BE 平分ABC ∠ ∴FE AE =在△ADE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEC AED FE AE F 2F∴△ADE ≌△FCE （ASA ） ∴FC AD = ∵BC BF FC -= ∴BC AB AD -=.点评利用右图所示的辅助线也能证明问题.角平分线＋两垂线段模型资料编号:202112022157关键词角平分线性质定理等腰三角形三角形全等辅助线垂线段模型介绍角平分线＋两垂线段模型如图1,点P 是AOB ∠的平分线上一点,过点P 作OB PE OA PD ⊥⊥,,由角平分线的性质定理则有PE PD =.这就是角平分线＋两垂线模型.这种模型蕴含了边相等、角相等和三角形全等,还可以构造出等腰三角形.在图1中,若连结DE ,则得到等腰三角形PDE 和等腰三角形DOE .图 1模型推论（1）PED PDE ∠=∠; （2）Rt △POD ≌Rt △POE ; （3）OE OD =.证明:（1）∵OP 平分AOB ∠,OB PE OA PD ⊥⊥, ∴PE PD = ∴PED PDE ∠=∠; （2）∵OB PE OA PD ⊥⊥, ∴△POD 和△POE 都是直角三角形在Rt △POD 和Rt △POE 中∵⎩⎨⎧==PE PD OP OP∴Rt △POD ≌Rt △POE （HL ）;（3）由（2）可知: Rt △POD ≌Rt △POE ∴OE OD =.模型应用例1. 如图2所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 平分CAB ∠,若4,6==BD BC ,那么点D 到直线AB 的距离是__________.图 2图 3分析本题条件中有角平分线,有角平分线上一点到一边的垂线段（距离）,唯独缺少该点到另一边的垂线段（距离）,若作出该垂线段,则可构造出角平分线＋两垂线段模型. 解:作AB DE ⊥,则线段DE 的长度即为点D 到直线AB 的距离. ∵AD 平分CAB ∠,AB DE AC DC ⊥⊥, ∴DC DE = ∵4,6==BD BC∴246=-=-=BD BC DC ∴2=DE∴点D 到直线AB 的距离是2.例2. 如图4所示,在△ABC 中,︒=∠︒=∠70,50C B ,AD 是△ABC 的角平分线,AB DE ⊥于点E .（1）求EDA ∠的度数;（2）若3,8,10===DE AC AB ,求ABC S ∆.图 4图 5分析对于（1）,可根据直角三角形的两个锐角互余解决问题;对于（2）,可构造角平分线＋两垂线段模型求出AC 边上的高DF ,从而求出△ACD 的面积,继而求出△ABC 的面积. 解:（1）∵︒=∠︒=∠70,50C B∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠607050180180C B CAB ∵AD 平分CAB ∠ ∴︒=∠=∠30211CAB ∵AB DE ⊥ ∴︒=∠+∠901EDA∴︒=︒-︒=∠-︒=∠603090190EDA ; （2）作AC DF ⊥.∵AD 平分CAB ∠,AB DE ⊥,AC DF ⊥ ∴3==DF DE∴DF AC DE AB S S S ACD ABD ABC ⋅+⋅=+=∆∆∆2121 382131021⨯⨯+⨯⨯=27=.例3. 如图6所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 是BAC ∠的平分线,AB DE ⊥,DF BD =,求证: （1）EB CF =; （2）EB AF AB 2+=.图 6图 7分析根据条件知图6中存在角平分线＋两垂线段模型,故有DE DC =,这就为Rt △DCF 和Rt △DEB 全等提供了条件.证明:（1）∵AD 平分BAC ∠,AB DE ⊥,AC DC ⊥（︒=∠90C ） ∴DE DC =在Rt △DCF 和Rt △DEB 中∵⎩⎨⎧==DE DC DB DF∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ） ∴EB CF =;（2）在Rt △ACD 和Rt △AED 中∵⎩⎨⎧==DE DC AD AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ） ∴AE AC = ∵EB AE AB +=∴EB AF EB EB AF EB CF AF EB AC AB 2+=++=++=+=.例4. 如图8所示,在四边形ABCD 中,BD DC AD AB BC ,,=>平分ABC ∠. 求证:︒=∠+∠180BCD BAD .图 8ABC D图 9E分析本题难度较高,要证明︒=∠+∠180BCD BAD ,可证明BCD ∠等于BAD ∠的邻补角,而证明两个角相等,可通过证明两个角所在的三角形全等完成,必要时需要添加辅助线来构造全等三角形.题中已有角平分线的条件,过角平分线上的点向角的两边作垂线段,即作出角平分线＋两垂线段模型,即可构造出全等三角形. 证明:过点D 作BC DE ⊥,BA DF ⊥,交BA 的延长线于点F . ∵BD 平分ABC ∠,BC DE ⊥,BA DF ⊥ ∴DF DE =在Rt △DCE 和Rt △DAF 中∵⎩⎨⎧==DF DE DA DC∴Rt △DCE ≌Rt △DAF （HL ） ∴1∠=∠C ,即1∠=∠BCD ∵︒=∠+∠1801BAD ∴︒=∠+∠180BCD BAD .例5. 如图10所示,AD 平分BAC ∠,DE 所在直线是BC 的垂直平分线,E 为垂足,过点D 作AC DN AB DM ⊥⊥,.求证:（1）CN BM =; （2）()AC AB AM +=21. 图 10图 11分析对于（1）,我们能想到的最直接的方法是全等法,那就是证明BM 和CN 所在的三角形全等即可,图中只需连结DB 、DC ,就可以构造出全等三角形;对于（2）,直接下手证明会比较困难,于是我们把等式转化为AM AC AB 2=+,证明这个等式成立即可,当然,第（1）问的结论会为我们提供重要的条件. 证明:（1）连结DB 、DC ,如图11所示. ∵DE 垂直平分BC ∴DC DB =∵AD 平分BAC ∠,AC DN AB DM ⊥⊥, ∴DN DM =在Rt △DBM 和Rt △DCN 中∵⎩⎨⎧==DNDM DC DB ∴Rt △DBM ≌Rt △DCN （HL ）∴CN BM =;（2）在Rt △ADM 和Rt △ADN 中∵⎩⎨⎧==DN DM AD AD∴Rt △ADM ≌Rt △AND （HL ） ∴AN AM =∵CN AN BM AM AC AB -++=+ ∴AM AN AM AC AB 2=+=+ ∴()AC AB AM +=21.等腰三角形的存在性问题资料编号:202111182021关键词等腰三角形分类讨论尺规作图垂直平分线在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后,我们会遇到等腰三角形的存在性问题,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态,然后根据每种形态解决相关问题.然而我看到的是,学生不能考虑到每一种可能的形态,从而造成漏解.究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的.下面,我将教会大家如何借助于圆的知识和线段垂直平分线的性质,将等腰三角形的各种存在性（形态）“一网打尽”.如图1所示,已知线段AB ,现确定一点C ,使△ABC 为等腰三角形.图 1AB由于没有指明线段AB 是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB 为等腰三角形的腰长时:①以点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图2所示;图 2B图 3②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图3所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线l,垂足为点D,则垂直平分线l上任一异于点D的点都可以作为点C,如图4所示.B图 4使△ABC为等腰三角形.下面讨论已知线段AB和直线m,在直线m上确定一点C,B Array m图 5由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论: （1）当AB为等腰三角形的腰长时:①以点A为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图6所示;m图 6②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m 的交点即为点C ,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图7所示;m图 7（2）当AB 为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB 的垂直平分线l ,直线l 与直线m 的交点即为点C ,如图8所示.m图 8我们知道,角平分线和平行线组合在一起,即构成角平分线+平行线模型,这种模型中就存在等腰三角形,如图9所示.B图 9若要在OB边上确定一点D,使得△COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点C作OA边的平行线,该平行线与OB边的交点,即为其中一个点D的位置,如图10所示,该点D也是线段OC的垂直平分线与OB边的交点,只不过作平行线更容易找出该点.B图 10其余各点D的确定如图（11）、（12）所示,你是否知道这些点是怎样确定出来的吗?B图 11图 12以上共有3个点D,使得△COD为等腰三角形.解决等腰三角形的存在性问题,一般分为三步:分类、画图、计算.当然,随着学习的深入,以后我们还会遇到因动点而产生的等腰三角形问题,让我们拭目以待.应用例1.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有__________个.第 6 题图图 1图 2答案 8解析本题考查等腰三角形的存在性问题.分别以点A 、B 为圆心,以AB 的长为半径作圆,如图1所示,则可以找到这样的点C 有4个.这两种情况下,△ABC 是以AB 为腰长的等腰三角形.若AB 为底边长,则作出AB 的垂直平分线,如图2所示,可以找到这样的点C 有4个.综上所述,符合条件的点C 有8个.例2. 如图所示,︒=∠60AOB ,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足△OCE是等腰三角形,那么OEC ∠的度数为__________.解:∵OC 平分AOB ∠,∴︒=∠=∠3021AOB AOC 分为三种情况:①当CE CO =时,如图1所示,∴︒=∠=∠30EOC OEC ;图 1图 2②当OE OC =时,如图2所示. ∵OE OC = ∴OCE OEC ∠=∠ ∴︒=︒-︒=∠75230180OEC ; ③当EC EO =时,如图3所示.图 3（说明:此时,点E 在线段OC 的垂直平分线上或OB CE //） ∵EC EO =∴︒=∠=∠30ECO EOC∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180OEC .综上所述,OEC ∠的度数为︒30或︒120或︒75.点评在讨论一个三角形为等腰三角形时,常常需要分为三种情况进行讨论.。

初中数学十大模型

初中数学中考总复习几何十大模型1、模型一：“12345”模型
2、模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
3、模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角
形
角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
4、模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。

结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。

5、模型五：“将军饮马”模型
6、模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
7、模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
8、模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
9、模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
10、模型十：费马点。

初中数学几何模型大全(精心整理)

三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。

两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。

三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

初中数学几何模型大汇总3篇

初中数学几何模型大汇总第一篇：平面几何模型平面几何是数学中的一部分，研究图形的形状、大小、位置等问题。

以下是几种常见的平面几何模型：1. 等腰三角形模型：等腰三角形有两边相等，可用来研究角度和边长的关系。

2. 矩形模型：矩形有角度、边长等多个参数，可用来研究面积、周长以及对角线长度等问题。

3. 正方形模型：正方形是一种特殊的矩形，四边相等且四个角度相等，可用来研究面积、周长、对角线、内切正圆、外接圆等问题。

4. 圆形模型：圆形是平面几何中非常重要的一种形状，其属性有直径、半径、周长等常见参数，比如用圆作为基础模型制作软木板，可用来研究圆的各种性质。

5. 梯形模型：梯形有上下两个底和两条不等斜边，可用来研究面积、高度、周长等问题。

以上平面几何模型只是其中的几种，在实际应用中，根据需要还可制作多种其他模型，对于学习几何学的同学尤其重要。

第二篇：立体几何模型立体几何是一种研究空间内物体形状、大小、位置等问题的数学分支，以下是几种常见的立体几何模型：1. 立方体模型：立方体是一种六个矩形面完全相等的立体，可用来研究长方体的表面积、体积等问题。

2. 圆锥模型：圆锥是一种由一个圆锥面和一个圆锥顶端点相连的立体，可用来研究圆锥的面积、高度等问题。

3. 圆柱模型：圆柱是由两个共面平行圆面和一个连接两个圆面的矩形侧面组成的立体，可用来研究圆柱的面积、体积等问题；4. 球体模型：球体是一种几何体，由空间中所有距离一个固定点的点所组成，可用来研究球的体积、表面积等问题。

5. 锥体模型：锥体是由一个尖端和一个底面组成的几何体，可用来研究锥的体积等问题。

以上是立体几何中常见的几种模型，其它形状的几何体也可以通过结合上述模型进行制作。

第三篇：线性几何模型线性几何是一种研究空间中直线、曲线等形状的数学学科，以下是常见的线性几何模型：1. 直角坐标系模型：直角坐标系可以看作是空间中的一个网格，可用来研究线性方程、直线、曲线等问题。

【收藏】初中数学经典几何模型大全

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中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1、直接连接中点；
2、连对角线取中点再相连
【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF 的中点，连接GC、GE．
（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.
角平分线模型
【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .
手拉手模型
【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD 的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .
邻边相等的对角互补模型
【例】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF 为 .
半角模型
一线三角模型
弦图模型
最短路径模型
【两点之间线段最短】1、将军饮马
2、费马点【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】。

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似（1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB COACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。