中考数学几何模型大全精编版
初中数学63个几何模型
初中数学63个几何模型
1. 点
2. 直线
3. 射线
4. 线段
5. 角
6. 直角
7. 钝角
8. 锐角
9. 平角
10. 三角形
11. 直角三角形
12. 等腰三角形
13. 等边三角形
14. 直线角平分线
15. 外角
16. 内角
17. 同位角
18. 对顶角
19. 同旁内角
20. 同旁外角
21. 三线合一定理
22. 利用同旁内角、三线合一求外角
23. 利用对顶角求角度
24. 正方形
25. 矩形
26. 平行四边形
27. 菱形
28. 梯形
29. 等腰梯形
30. 同底同高面积公式
31. 全等三角形
32. 相似三角形
33. 欧拉线
34. 垂线
35. 点到直线距离公式
36. 垂线段定理
37. 中线
38. 角平分线
39. 中垂线
40. 外心
41. 垂心
42. 重心
43. 内切圆
44. 外切圆
45. 位似比
46. 「半周角」公式
47. 内角和公式
48. 细分
49. 长度单位转换
50. 平面直角坐标系
51. 平移变换
52. 旋转变换
53. 对称变换
54. 条件语句
55. 循环语句
56. 取模 %
57. 迭代过程
58. Turtle库
59. 折线
60. 多边形
61. 圆
62. 起重机问题
63. 网格问题。
中考数学几何模型大全精编版
中考数学几何模型大全精编版中考数学压轴题常考的9种出题形式1、线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般分为两到三部分。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数、坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3、动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点、动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形、矩形、三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4、一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象、构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学考试通常涉及代数问题，主要包括一元二次方程和二次函数，同时也会有其他知识点的辅助。
在解答一元二次方程和二次函数问题时，通常会采用简单解答题的方式。
然而，在难度较大的大题中，这些问题通常会与根的判别式、整数根和抛物线等知识点结合起来。
初中数学中涉及的函数包括一次函数、反比例函数和二次函数。
这类问题本身并不难，通常作为中档次题目考察考生对一次函数和反比例函数的掌握程度。
因此，在中考中遇到这类问题，需要避免失分。
列方程或方程组解应用题是中考数学中最重要的部分之一，几乎每次考试都会出现。
初中数学必会的12个几何模型精解精编(222页Word)
中考数学几何模型1：截长补短模型有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.例题1如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．【解析】证明：如图所示：（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A=∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠5+∠D=180，∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D，在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），∴CF=CD．∵BC=BF+CF，∴BC=AB+CD，变式1已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.答案：略例题2已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【解析】在BC上取点G使得CG=CD，∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，∴∠BOE=∠COD=60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG=∠COD=60°，∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE=BG，∴BE+CD=BG+CG=BC．变式2已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．【解析】AB=BD+CD，理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，∵∠ADB=90°﹣∠BDC，∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，∴∠ADB=∠ADE，在△ABD和△AED中，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，∵AB=AC，∴AE=AC，∴△ACE是等边三角形，∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．例题3如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE【解析】连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE变式3如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．【解析】CN=MN+BM（微信公众号：数学三剑客）证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM例题4在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为AE=AB+DE；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是10+4．（直接写出答案）．【解析】（1）AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠F AC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=135°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．∴∠FCA+∠GCE=45°．∴∠FCG=90°．∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．∵AE=AB+4+DE．∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．故答案为：10+4．例题5在△ABC中，∠BAC=90°．（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．【解析】（1）如图1（2）①DF+FH=CA，证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，∴四边形HFGA为矩形．∴FH=AG，FG∥AB，∴∠GFC=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，由（1）和平移可知，∠ECB=∠EBC=∠GFC，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴CG=FD，∴DF+FH=GC+AG，即DF+FH=AC；②解：FH﹣DF=AC，理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，∴四边形ACGH为矩形．∴AC=GH，CG∥AB，∴∠GCF=∠EBC，∵直线l是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，∴∠GCF=∠FCD，由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，∴∠FDC=∠FGC=90°．∵在△FGC和△CDF中∴△FGC≌△CDF，∴FG=FD，∵FH﹣FG=GH，∴FH﹣DF=AC．例题6如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【解析】（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，∴∠CGE=∠AEN，∴CG=CE，∵M是BC中点，∴BM=CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN=CG，∴BN=CE，∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．【练习1】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．【解析】如图，在AC上截取AE=AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=DE，∠B=∠AED，∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，∴CE=BD，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE，即∠B=2∠C，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴60°+2∠C+∠C=180°，解得∠C=40°，∴∠ABC=2×40°=80°．【练习2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.【练习3】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．【解析】探究结论：BM+CN=NM．证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在△DCE和△DBM中，∴R t△DCE≌R t△DBM（SAS），∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°∴DM=DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中，∴△DMN≌△DEN（S A S），∴BM+CN=NM．【练习4】如图，▱ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DF A=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠F AE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【解析】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，∴∠DF A=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．∴∠DF A=∠F AB=40°（两直线平行，内错角相等）；∵∠DF A=2∠BAE（已知），∴∠F AB=2∠BAE（等量代换）．即∠F AE+∠BAE=2∠BAE．∴∠F AE=∠BAE；∴2∠F AE=40°，∴∠F AE=20°；（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．∵∠F AE=∠BAE，AE=AE，∴△AEG≌△AEB．∴EG=BE，∠B=∠AGE；又∵E为BC中点，∴CE=BE．∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，∴∠BCF=∠EGF；又∵∠EGC=∠ECG，∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；又∵AG=AB，AB=CD，∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．【练习5】如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在R t△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠F AB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠F AB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠F AB+∠BAM=∠F AM，∴∠F AM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．【练习6】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．（2）证明：BC+CD=AC．【解析】（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD=∠ADB=60°．∵BC=CD，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．∵AM：CM=1：2，∴AM=，CM=，∴EM=，在R t△BEM中由勾股定理得BM==．过点C作CF⊥BM于点F．∴．∴，∴CF=．即点C到BM的距离．（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，∵AB=AD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，AD=BD，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠BCD=120°，∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，∴△DCF是等边三角形，∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，∴∠ADC=∠BDF，又∵AD=BD，∴△ACD≌△BDF，∴AC=BF=BC+CF，即AC=BC+CD．【练习7】如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．（1）若AE=2，求EF的长；（2）求证：PF=EP+EB．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，∴∠1+∠F AB=∠2+∠F AB=90°，∴∠1=∠2．∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，∴∠3=∠4．在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD，∴AE=AF=2，在R t△EAF中，由勾股定理，得EF==2．（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，∴△EAF为等腰直角三角形．∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．∵点P是AB的中点，∴AP=BP．在△AMP和△BEP中，∵，∴△AMP≌△BEP，∴BE=AM，EP=MP，∴MF=BE，∴PF=PM+FM=EP+BE．中考数学几何模型2：共顶点模型共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
2023年中考数学常见几何模型归纳(全国通用版)：一线三等角模型(从全等到相似)(解析版)
专题05一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ，AB AC ，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转 045 ，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转 4590 ，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE ，1DE ，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析(3)258BFC S【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ，45EAC ACE ，再根据90BDA CEA ，求出45ABD ，45ACE ，即可得出45DAB ABD EAC ACE ，最后根据三角函数得出1AD BD ，1AE CE ，即可求出2DE AD AE ；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC 中，根据勾股定理求出5AC ，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF ，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：∵90BAC ，AB AC ，∴90452ABC ACB ，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ，45EAC ACE ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴904545ABD ，904545ACE ，∴45DAB ABD EAC ACE ，∴sin 12AD BD AB DAB ，sin 1AE CE AC EAC ，∴2DE AD AE ．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ，∴90DAB DBA ，∵90BAC ，∴90DAB CAE ，∴DBA CAE ，∵AB =AC ，∴ABD CAE ≌，∴AD =CE ，BD =AE ，∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE ，在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC ，∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴AD AF AE CF ，即345AF ，解得：154 AF ，∴155544CF AC AF ，∵AB =AC =5，∴1152552248BFC S CF AB ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC = ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC= ，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°- ．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC= ，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（SAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°．∴△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．∵∠EDF =45゜∴∠ADE +∠BDF =180゜−∠EDF =135゜∴∠ADE =∠BFD在△AED 和△BDF 中A B ADE BFD AE BD ∴△AED ≌△BDF (AAS )答案为：△BDF ；②∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60゜∴∠BDE +∠BED =180゜−∠B =120゜∵∠EDF =60゜∴∠BDE +∠CDF =180゜−∠EDF =120゜∴∠BED =∠CDF在△BDE 和△CFD 中B C BED CDF BD CF∴△BDE ≌△CFD (AAS )故答案为：△CFD ；③∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC =90゜，AB =BC∴∠ABE +∠CBF =180゜−∠ABC =90゜∵AE ⊥l ，CF ⊥l ∴∠AEB =∠CFB =90゜∴∠ABE +∠EAB =90゜∴∠EAB =∠CBF在△ABE 和△BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC∴△ABE ≌△BCF (AAS )∴AE =BF =1，BE =CF =2∴EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∴∠AOC =90゜，AO =OC∴∠COE +∠AOD =180゜−∠ACO =90゜∵AD ⊥x 轴，CE ⊥x 轴∴∠CEO =∠ADO =90゜模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C ．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ ．当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△PCQ ？当 在许可范围内变化时， 取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有 、 的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE ；证明见解析；（2）30 ；75 ；（3）可能；30 ，30 或52.5 ，75 ．【分析】（1）证明△ADB ≌△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=∠2或∠1=∠CQP ，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，∵BDA BAC ，∴180DBA BAD BAD CAE ，∴DBA CAE ，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE BD ，AD CE ，∴DE AE AD BD CE ；（2）在△ABP 中，2230APC B ，∴1150 ，同理可得：230 ；由2 或1CQP ，即230 ，解得30 ，则△ABP ∽△PCQ ；∴当 在许可范围内变化时，30 时，总有△ABP ∽△PCQ ；由1 或2CQP ，同理可得：75 ．∴当 在许可范围内变化时，75 总有△ABP ∽△QCP ；（3）可能．①当30 ，30 时，则230B ，则△ABP ∽△PCQ ∽△BCA ；②当75 ，52.5 时，同理可得：115075 ，23052.5 ，∴△ABP ∽△CQP ∽△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN ＝，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．，3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B 时，求证：AD BC AP BP ．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB ，45B ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ，若CE CD 的长．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE或3DE 【分析】（1）证明出DCE AEF 即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ， 142MN x ．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM ，则有 21342x x ，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB，根据5AM ，可得3543GH MH ，进而求出125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC=．设DE y ，则6AE y ，即有164y y ，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ，∴90CED DCE ．∵EF CE ，∴90CED AEF ，∴DCE AEF ，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM ，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM ．此时，AG GM 取最小值．在Rt ABM中，5AM ．∴AG GM 的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ．设AF x ，则4BF x ，∴ 11422MN BF x ．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM ，由①知AG GM 的最小值为5、即5AM，又∵3GM ，∴2AG ．∴ 21342x x ，解得1x ，即1AF ．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB，由①知AG GM 的最小值为5，即5AM ，又∵3GM ，∴3543GH MH ．∴125GH ，95MH ．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB ，即1293556FB ，解得3FB ．∴1AF AB FB ．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y ，则6AE y ，∴164y y，解得3y或3．∵036，036 ，∴3DE或3DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ，Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ 相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE ，CD kCH ，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ，(2)EK LH ，证明见解析；(3)ET HT ，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ，根据余角性质得到PMR NRQ ，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR ，NRQ PMR ；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC ，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL ，可得到EK LH ；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM ，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN ，得到EM HN ，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT ．（1）解：∵MRN △是等腰直角三角形，∴=MR RN ，90MRN ，∵MP PQ ，NQ PQ ，∴90MPR NQR ，∴90PMR MRP MRP NRQ ，∴PMR NRQ ，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR∴MPR NRQ ≌△△，∴QN PR ，NRQ PMR ，故答案为：PR ，PMR ；（2）解：∵四边形ACEF 是正方形，∴AC CE ，90ACE ，∵EK BK ∴90B EKC ，∴90BAC ACB ACB ECK ，∴BAC ECK ，∵四边形ACEF 是矩形，∴∴BAC ECM ，∴ACB △同理：BCD NHC ∽△△，∴在NHT △和EMT △中， 3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO∵点M （2，1），∴OE 1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3NF OF ，∴NF ＝3，OF ＝33 ，3课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线l 过点C ，过点A 作AD l ，过点B 作BE l ，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE ．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为 4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45 后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．由已知得OM＝ON，且∠OMN＝∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，，∵点N的坐标为（4，2）∴42m nn m解得13mn∴点M的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．当D在AB的下方时，过D作DE⊥轴于E，交BC于F,同（1）可证得△ADE≌△DPF，∴=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE ，证明过程见解析；(3)DE BE AD ，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC ≌△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∵90ACB ，∴90ACD BCE ，∵AD MN ，∴90ACD CAD ，∴BCE ∠∠CA D ，又∵AC BC ，90ADC CEB ，∴() ≌ADC CEB AAS ，∴AD CE ，DC BE ，∵直线MN 经过点C ，∴DE CE DC AD BE ；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CE CD AD BE ；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD ，理由如下：∵AD MN 于D ，BE MN 于E ∴90ADC BEC ACB ，∴90CAD ACD ，90ACD BCE ，∴CAD BCE ，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB，∴ ADC CEB AAS △≌△∴CE AD ，CD BE ，∴DE CD CE BE AD .【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB ≌△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得∠BEA ＝∠AFC ，∠4＝∠ABE ，根据AAS 可证明△ABE ≌△CAF ；（3）先证明△ABE ≌△CAF ，得到ACF 与BDE 的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD 故可求解．【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，E ADC EBC DCA BC AC∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵BED CFD BAC∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又AB AC∴△ABE≌△CAF，∴ABE CAFS S∴ACF与BDE的面积之和等于ABE与BDE的面积之和，即为△ABD的面积，∵2CD BD，△ABD与△ACD的高相同则13ABD ABCS S△△=5故ACF与BDE的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝（用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC＝（用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC= ，证法见详解，（3）180º- ，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝∴线段BC 与AI 之间的数量关系为【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解．7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ，直线l 过点C ，AM l ，BN l ，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC ，90ACB ，N ，B ，E 三点共线，CN NE ，45E ，1CN ，2BN ．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC ，90ACB ，若1tan 2DCA ，直接写出AE AD 的值为．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD 于点B ，CD BD 于点D ，P 是BD 上一点，AP PC ，AP PC ，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c ________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ，2AB ，4CD ，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB 3AF ，则FG ________．9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐标为时，△CDE与△ACE相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ，∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF ，BDE 与CFD 相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC 为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF 沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD .①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值；②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE 与CFD 的周长之比.【答案】（1）~ BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF ；②BDE 与CFD 的周长之比为13.【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ，即可证明；（2）①设AE x ，AF y ，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，根据三角形的内角和定理得BED CDF ，即可证明~ BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ，再根据比例关系求出AE AF的值；②同理可证~ BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD，得28810x x y y ，再得到13x y ，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~ BDE CFD ，理由：B C EDF ，在BDE 中，180B BDE BED ，180180BDE BED B ，180BDE EDF CDF ∵，180180BDE CDF EDF ，BED CDF ，B C ∵，~BDE CFD ；（2）①设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A B C ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180B BDE BED ，180120BDE BED B ，180120BDE BED B ∵，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60B C ∵，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD，8BE AB AE x ∵，8CF AC AF y ，6CD BC BD 2886x x y y ， 2868y x y x y x ，105147x y ，57AE AF ；②设AE x ，AF y ，ABC ∵是等边三角形，60A ABC ACB ，8AB BC AC ，由折叠知，DE AE x ，DF AF y ，60EDF A ，在BDE 中，180ABC BDE BED ，180120BDE BED ABC ，180BDE EDF CDF ∵，180120BDE CDF EDF ，BED CDF ，60ABC ACB ∵，120DBE DCF ，~BDE CFD ，BD BE DE CF CD FD8BE AB AE x ∵，8CF AF AC y ，10CD BC BD ，28810x x y y ，2(8)10(8)y x y x y x ，13x y .~BDE CFD ∵.BDE 与CFD 的周长之比为13DE x DF y .【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD 交于点 2,1M ，且两直线夹角为 ，且3tan 2，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，3AB ，5BC ，点E 为BC 边上—个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90 ，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若DPC △为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．由（1）得NFO OEM △∽△∵M 坐标 2,1∴2OE ，ME ∵3tan 2 ∴32ON OM 解得：12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE 于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE BF；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB 延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题无答案
中考必会几何模型——31个模型轻松搞定所有中考几何题目录第一章8字模型与飞镖模型 (2)第二章角平分线四大模型 (5)第三章截长补短 (10)第四章手拉手模型 (13)第五章三垂直全等模型 (15)第六章将军饮马 (18)第七章蚂蚁行程 (24)第八章中点四大模型 (27)第九章半角模型 (33)第十章相似模型 (37)第十一章圆中的辅助线 (47)第十二章辅助圆 (54)第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC +BD >AD +BC 。
中考数学必会几何模型(含答案)
MATH微信：beijingdaxue777QQ:1456770148中考必会几何模型目录专题一角平分线相关问题模型 (3)模型1角平分线相关模型 (3)专题二8字模型与飞镖模型 (6)模型1：角的8字模型 (6)模型2：角的飞镖模型 (8)模型3边的“8”字模型 (10)模型4边的飞镖模型 (11)专题三半角模型 (15)专题四将军饮马模型 (23)模型1：直线与两定点 (23)模型2角与定点 (28)模型3两定点一定长 (31)专题五角平分线四大模型 (34)模型1角平分线的点向两边作垂线 (34)模型2截取构造对称全等 (35)模型3角平分线+垂线构造等腰三角形 (37)模型4角平分线+平行线 (39)专题六截长补短辅助线模型 (42)模型1截长补短 (42)专题七蚂蚁行程 (48)模型1立体图形展开的最短路径 (48)专题八三垂直全等模型 (55)模型1三垂直全等模型 (55)专题九手拉手模型 (62)模型1手拉手 (62)专题十相似模型 (68)模型1A、8模型 (68)模型2共边共角型 (72)模型3一线三等角型 (75)模型4倒数型 (79)模型5与圆有关的简单相似 (82)模型6相似和旋转 (85)专题十一圆中的辅助线 (89)模型1连半径构造等腰三角形 (89)模型2构造直角三角形 (90)模型3与圆的切线有关的辅助线 (94)专题十二中点四大模型 (97)模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (97)模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (99)模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (102)模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (107)专题一角平分线相关问题模型模型1角平分线相关模型（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；（2）如图2，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；（3）如图3，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．图1图2图3针对训练1.（2016•枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【小结】本题若不套用模型，则需要通过三角形的外角性质证明得到∠A、∠D的数量关系.2.（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+∠A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠BO C、∠A的数量关系.3.（2018•济南历城区模拟）如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2018=．【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，【小结】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。
中考数学九大几何模型标准版
初中数学九大几何模型、手拉手模型 - 旋转型全等条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形；条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形；结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠ AEDD EAED 1）等边三角形D结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
中考数学几何模型大全精编版
中考数学几何模型汇总a 手拉手转型全等和〉弄边三角翻＞曲；“砂“心均対尊边三觴a 時论,OAfZK L・\OBl) t②乙砒启•同.j③f疋苹分匚"7\(2)柚应、* Wh 励轟■“三痢骸> gift：® Af/K • XOHD l© LAEB - <M1* ；»①DE平分厶M仇>SMh M個⑴7◎躺眷REIMS>第论：① AOMC* MfiD t<p LAEB ■ S , A(JOE宰分厶松f打A模显二：手拉手模睜■稣型相似＜D- «HB3i* frft；cn AS f至右＞络逡辛» 甘團中①涉”山札、⑷盼、a ®HRXC交他千点£，艷有"氏• £⑴ ftKKRa茶件=CD ^B t WB・90",曙山罐“龍转至右固tiH” (g曲t 音图中① AfM - AOK hOBD t②起妖比交恥于点E,电韦皿「-山°心ffO Ol> 06—■ —• — * Etui ZfX D®/IC <K OA J @iJ/> 丄彳C]施!ea・Bc t师加IM■曲*31 e s-**5xrMW>(松ssffioe®酬)A 模型三：对角互补幔塑> 粘：(D"倔■如也XI 两’加* 6<7DY£jA 第逡：@HK 甲分厶"购* ®O/> + fJA ■ 2fM *cc^<i $” / ・ j a + 几<(-(K ' • sma* “KE 的一边玄初颐井终干点Qrj C 佛上固八惊蜡论交Ft * ® _______________________________________ F② _________________________________________________ 「®_ ________ _ _ . _________ . ____ I可挨育上适幕②眸万应i®亍溯.请思考扔如MtftWUrtffl 的!因b» Mft5»H»JS£：侏见翻踽爭件丁四边辭対■互补・注JI 歸小 国电斗?8©輒爾三轴彤14边中如 ②I 咬濡住“笑平分铢推与”两ia 椰r‘的区粥■ 国谢怖见的HU 礎腓面 ◎1竜伙和 乙申甲时,LCl>E - MED - LCOA • 相爭扣何推身？条件：①乙仙册垂■如團，证明MY 川■ M I②过甫丄如上图龙右八誠明QDC ・吐EJ >穹£仅工的一边交加饱卅安于蔬0灯』虬t 三个翦论=©co=C£ <TJE> Jr时堆-Q —迥QC 、③2此!SiW 明方进与sm 况谶，可怖割“⑴ 1«9"> 衆件』①厶“M ・2ZZKT-IKTj » Q0C 平分乙加片* 第逡,a )m (?Fj ©(；/>+(>£-tx ,也同以这样工»彌；①正方彫愀»②防-DF + BE a (g论二LEAF - 45* (i) •«¥*■■ «r^* 荼件，①正方臥3＜巾②乙总尸・舶5 » 第论：EF H RE ＞weuarHff^：M--M>■憑fh ® ^TMHC,②丄“忌7爲> 鈕：BD' >C£: - DE2若"M£制削结论酣八CT：■处：仍然咸N 木注n JI £c n * / 1⑷BO* «W＞曇件:①正方粥肿门打②LEA^・4脅( ＞馳：W 圧力尊矗直粛三角松jiwh 比**.«(*i*r-t->V am ■巫甘•胛.A “K/八曲用V ^U¥/-^K2 -45 •齐:、™- - e J /, Xlill 'AJ/K AH At：.A模那四；角含半角模那”華件1①正万的血m②辽暦■刃J*结险①汁-也*吐,©ACPF酌禺董打正方解肋C7J瞅叶半,tt n r r A /) r <*—*A «££：倍长中埃卿連＞条特=①^解A琥％②叫脏，①OF • AT ( »希胪丄"Kt型ra：蚀平岸3°.丿艇,◎平行块屈职有取b ” • E几朝隔科萨字全野扎和屮■ MfEf *” 乗件z 亍四边椭磁D I @J?C* 1AB、③ AM • !>M : ^<£1JZ),a 猪论二LEMD^^LMEA««f\： <T+ft AH仃》・rt,*. JV-/M/U K E讨.治谟YHfl WM・1U < W榊$4 V Iff . Ui't V,t 电単$芒严辛*V*壮jt味鼻畫此仏％力左屮甘见最新资料推荐十A W33A：朋三角形360*±22：H K 时曼心，屹A<>- /rf . .I 为等腰晝角三角影* ©£F-CF>菇论；①阿'■冊* F② M丄时H < O itti W it 昭WX3 勺第■ JI *iAft . © AfJJfl^AO/X' ,②“W ■ “DC ■灯©130 ・ <HE YE*>喀论土①rU -”心②*)d < b4 m rt WAV-^A+HW, J t > A U*1亠用汀■丄M屮” 彌：①MDE、M此均为等|»电舅三弟物②甜・存1 > 络豪①DF• 8F g DFLMM踏他匸曲准箱It晁楷. ZKH^*v*n] +1 m % hi•* tt IJ t <r 轄ijf SA 祐；©SOAa^OlK冷②£CU〃• LOIX -9«\ ⑧昶.g * 葩=(DXE 存”百1 ②—EfUWD 竺生JlH At XAG・・局"・烈鼻<7> *1 * // a W-<J* * VM^A■<MK ^1110*11?. HflL a liZM h< t；h HI/ .（3）i wa轉腐IV |<K /V t tf . K Itf -/¥・聊M«A:」*1亠盘材2」（心A卿七：最爾程険塑>和方知①(输±取口£叫粳泗£加「・三I ®a甘恠加L交片肝戌.脑肾求,** * U*-4. tV~： KU1«r •（i A * 4^ w*1峠境umt ci. ■ ；m审■中«・・H 4 “ •讦*i^l * * It.■，闻却遵練*嘴■亠审h峙1丄4 h ? * M ■1.- t-*~• D *H »f ** . * > II ・卄-・串I 4 1 «1 »t <tfF« ?，T・」A"勺■”， iiff , *此* * U fl Itl*/b<^Jt****A<K^* C> t»l 八W i * Pl H 1 t U 4 !O . *. r* -fh< M Kid ! il I *f ** - i« r< ■i'll i d4i «i・h t ■ 4"户沁* ■*. t irrVffM, 「*.g|2 iff• ：,3 ^i*t4 & F 气申L4 *|< S^i t i v^k 悼九卄《（・丹土’ f* I < <'j rt! * riO- i・；Ji£垃：理丄口殆为書屯轉*峠株g II甘站红吗理."舛険瞌呦i ivt員烂/解犠*tA：①塢人尘A_m上:^'4iA, *t Aifijt承買12姫询O n \t # r<-Mt**/v*（»fxa*n）> *ft:①iK ^LAOB.②M^OB上一龙魁③尸为g上T1 盏I④«为加上71知 >事■星小时"代仑的位卅0» 杀件r川0』人科・2(n.r(a町> 越向何啊，5屡小D广ttSMb 二侶角極塑HMfV; *J tit 4^* *Aj,r H 4M xr . c ：r*1 fti © 7协 *: ■卡*iv «x d —cr 」j_ij_i2£±L「 I —"，傀呼亠屯一.悄峯即ar-艸丄★叮上：mm:A ；■TR K'fv• ** i料务•务•罟ft J - .1；、\K»<-J ■ L4 A ut ~m if+ Mt“；Htt ；M W Pt - /7I» 7 m a M ” w -根,八+ m ： /u ; -/*f • Fitm ：»榛規九：栩妊角形樓I)* *f*-直衙巧卜阳i ”八r 一 M 河■，釘\ d t t 4必占幻■ f+: AflS ：,Li/H r ” M f ■・ t W -Mr★碎：审IB, rt 令殆們的代 上心■上■ Z< 7V ： - Wi J -/W 7f (. < /- /JJ - i/最新资料推荐-FK. * 4 *1 f ri T <1 t 4 t K/ A.AK 屯以丄馆点旳节M唱I M幻三覇小L* tt ]£ *JD中考数学压轴题常考的9 种出题形式1、线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
初中数学必学48个几何模型
初中数学必学48个几何模型
1. 直线和线段
2. 射线
3. 角
4. 直角
5. 锐角和钝角
6. 平行线
7. 等腰三角形
8. 等边三角形
9. 直角三角形
10. 直角坐标系
11. 等比例线段
12. 外接圆和内切圆
13. 弧和扇形
14. 正方形
15. 长方形
16. 平行四边形
17. 梯形
18. 圆
19. 半圆
20. 圆周角
21. 正多边形
22. 立方体
23. 长方体
24. 正方体
25. 球体
26. 圆锥
27. 圆柱
28. 右锥和右圆锥
29. 高锥和高圆锥
30. 正棱柱
31. 正棱锥
32. 正六面体
33. 正八面体
34. 正十二面体
35. 菱形
36. 菱形组合
37. 等角三角形
38. 曲线
39. 等腰梯形
40. 对称图形
41. 平行四边形法则
42. 夹角
43. 三角形中位线定理
44. 三角形中心
45. 三角形外角和
46. 面积公式
47. 三分点
48. 垂线定理。
中考数学必学几何模型大全(含解析)
中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小， 并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ， 又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ， 又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）； （2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）． 证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ， 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。
中考数学：初中数学几何模型大全+经典题型含答案
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
初中数学全部几何模型汇总+附例题精编
专题一 平行线的五大类拐点模型模型一 铅笔头模型1例题1 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 【总结】①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B ③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //例题2 如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321【解析】如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】例题3 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？【解析】如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？【解析】如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？【解析】同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题4 如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠【解析】①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲） 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想例题5 如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43【解析】锯齿BAECD +锯齿BA F CD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想例题6 如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ）A.149 B .5.149 C .150 D .5.150【解析】锯齿CD F BA +铅笔头CDEBA ；得证B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）微信公众号：数学三剑客 ③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题7 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A .30)()(3241=+-+θθθθB .40)()(3142=+-+θθθθ C .70)()(4321=+-+θθθθD .180)()(4321=+++θθθθ【解析】锯齿ADPCB +锯齿DAPBC ；得证A 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题8 如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠ 臭脚模型基础（汇总）【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线例题9 如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是【解析】①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头A F GH Q+臭脚Q HMNC 得证40=∠GHM ②方法二：锯齿B F GHMND 得证40=∠GHM 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型七 蛇型基础例题10 如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型八 蜗牛模型基础例题11 如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B【总结】辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线专题二 飞镖模型和8字模型模型一 角的飞镖模型1结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠【解析】①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 【总结】利用三角形外角的性质证明模型二 角的8字模型1结论：D C B A ∠+∠=∠+∠【解析】①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角【BOD ∠】的性质得证 【总结】①利用三角形内角和等于180 ②利用三角形外角的性质证明模型三 角的飞镖模型和8字模型2例题1 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A【解析】①方法一：飞镖ACD 得证180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A例题2 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】飞镖AB F+飞镖DEC 得证210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题3 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】8字模型得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题4 如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A【解析】连接BD 得飞镖BAD +飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A例题5 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A【解析】飞镖EHB +飞镖F AC 得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A模型四 边的飞镖模型1结论：CD BD AC AB +>+【解析】延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式【大的放左边，小的放在右边】模型五 边的8字模型1结论：BC AD CD AB +<+【解析】三角形三边关系+同号不等式【大的放在右边，小的放在左边】 【总结】①三角形两边之和大于第三边模型六 边的飞镖模型和8字模型2例题6 如图，点P 为ABC ∆内一点，试说明AB PC PB PA AC BC AB <++<++)(21AC BC ++【解析】三角形三边关系+边的飞镖模型可证例题7 如图，BD AC ,是四边形ABCD 的对角线，且BD AC ,相交于点O ，求证：AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB +++<+<+++)(21【解析】边的8字模型+三角形三边关系可证专题三 三垂直全等模型模型一 K 型三垂直1例题1 如图，DE AE DE AE BC CD BC AB =⊥⊥⊥,,,，求证：BC CD AB =+【解析】易证模型二 K 型三垂直2例题2 如图，等腰90,=∠∆AOB OAB Rt ，斜边AB 交y 轴正半轴于点C ，若)1,3(A ，则点C 的坐标为【解析】K 型三垂直模型+一次函数可得点C 坐标为)25,0(例题3 如图，在EF B ABC Rt ,90,=∠∆是AC 的垂直平分线，且CE EF =，D 是AB 的中点，21tan =A ，若15+=+DE EF ，求DEF ∆的面积【解析】21例题4 如图，在矩形ABCD 中，E AD AB ,12,6==为边AB 上一点，Q P AE ,,2=分别为边BC AD ,上的两点，且45=∠PEQ ，若EPQ ∆为等腰三角形，则AP 的长为【解析】10（该图为PQ EQ =）或6（PQ PE =图略）或224+（EQ EP =）模型三 L 型三垂直1例题5 如图，CE BE CE AD BC AC ACB ⊥⊥==∠,,,90，垂足分别是点1,3,,==BE AD E D ，则DE 的长是（ ）A .23B .2C .22D .10【解析】B模型四 L 型三垂直2例题6 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点D ，过C A ,分别作直线l 的垂线，垂足分别为F E ,，若a CF a AE ==,4，则正方形ABCD 的面积为【解析】217a例题7 如图，以ABC Rt ∆的斜边AC 为边，在ABC ∆同侧作正方形AEDC ，O 为对角线交点，连接BO ，若22,4==BO AB ，则正方形的面积是【解析】80例题8 如图，在ABC ∆中，BD CD BD CD AB BC AC ACB 3,,52,,90=⊥===∠，则ABD ∆的面积是【解析】①方法一：L 型三垂直+整体减空白 ②方法二：L 型三垂直+面积公式③方法三：铅垂高求面积法【½×（水平高×铅锤高）】 ④方法四：和角模型模型五 十字型三垂直1【解析】垂直⇔相等模型六 十字型三垂直2例题9 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别在边BC AB ,上，且1==BF AE ，则=OC【解析】512例题10 如图，在等腰ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，点D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥，分别交AD AB ,于点F E ,，连接DE ，求证：BDE ADC ∠=∠【解析】易证专题四 角平分线四大模型角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个叫分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上模型一 双垂直模型1角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等例题1 已知：43,21∠=∠∠=∠，求证：AP 平分BAC ∠【解析】易证例题2 已知：如图，在四边形中，CD AD AB BC =>,，BD 平分ABC ∠，求证：BAD ∠180=∠+C【解析】①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型例题3 如图，正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若点Q P ,分别是AD 和AE 上的动点，则PQ DQ +的最小值是【解析】①方法一：双垂模型②方法二：双等模型【将军饮马+垂线段最短】 答案：22有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形例题4 如图，在ABC ∆中，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足为D ，求证：C ∠+∠=∠12【解析】易证例题5 如图，在ABC ∆中，AC AB BAC ==∠,90，BE 平分ABC ∠，BE CE ⊥，求证：BD CE 21=【解析】易证例题6 如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点D ，H 是BC 的中点，求证：)(21AC AB DH -=【解析】易证例题7 如图所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OA OB =，连接BC ，易证：BOC AOC ∆≅∆例题8 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，求证：AB AC PB PC -<-【解析】易证例题9 在ABC ∆中，108,=∠=A AC AB ，BD 平分ABC ∠，求证：=BC CD AB +【解析】①方法一：双等模型 ②方法二：截长补短例题10 如图，梯形ABCD 中，BC AD //，点E 在CD 上，且AE 平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，求证：BC AB AD -=【解析】①方法一：双等模型+截长 ②方法二：双平模型+补短角平分线、平行线、等腰三角形，三个条件，知二推一例题11 如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F 作BC DE //，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若9=+CE BD ，则线段DE 之长为【解析】9例题12 如图，在ABC ∆中，CD BD ,分别平分ABC ∠和ACB ∠，AC FD AB ED //,//，如果cm BC 6=，则DEF ∆的周长【解析】cm 6例题13 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点F E ,分别在AD BD ,上，AB EF //，且CD DE =，求证：AC EF =【解析】双平模型+类倍长中线法（延长FD 于点G 使得DG FD =，连接CG ；延长AD 于点G 使得DG AD =，连接EG ）∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，例题14 如图，在矩形ABCD中，BAD∠的度数点G是EF的中点，求BDG【解析】①方法一：双平模型+手拉手模型【G点+反推法】②方法二：双平模型+隐形圆模型【共斜边】专题五 截长补短模型截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略。
初中数学中考常见几何模型
初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
初中数学几何经典模型精编版
初中数学几何经典模型精编版几何经典模型在初中数学中占有重要的地位，通过这些模型的学习，可以帮助学生更好地理解几何图形的性质及其变化规律，提高几何思维能力。
下面是初中数学几何经典模型精编版。
一、相似三角形模型1、比例模型：在一个园中，如何取一个点，使得从这个点出发，分别向圆上和圆外伸出两条射线，使得这两条射线的长度之比最大？求出这个比例。
说明：这是相似三角形模型中比例模型的典型问题。
解答：设这个点为P，圆心为O，射线与圆相交于A、B两点，如图所示。
设OP=r，则PA=x，PB=y，由于PA、OP、OB与PB、OP、OA相似，因此有：PA：OP=OP：OB即：x：r=r：y化简得：x:y=r²:（OE²-r²）当x+y最大时，OE=√(r²+xy)，代入得x∶y=r²∶（r²+xy），即：x+y=√(r²+xy)=r√(1+(x∶r)·(y∶r))，因此，此时x∶y=r²∶2r²=1∶2。
(注：该问题也可通过悬臂悬链线模型求解)2、面积模型1：已知ABC内接于⊙O，求AO∶OC。
解答：利用相似性质得：AB∶BC=AO∶CO，AB∶AC=AO∶OA即：AB²=AO·OC，AB²=AO²+OC²-2AO·OCcos∠AOC化简得：AO(OC-2r)=(r+AO)(r-AO)因为r>AO，所以有AO∶CO=r-AO∶r+AO3、面积模型2：已知三角形ABC中∠A=60°, AC=2，AB=a，BC=b，则COSB=log[（a²+b²-4）/6]，计算 COSB。
解答：应用余弦定理和海龙公式，得：①cosB=(4-b²-a²)/(4a)②S(ABC)=[a²√3]/4③S(ABC)=bhA/2|hA=√(a²-1)∵S(ABC)=S(A′B′C′)∴a′b′/A′B′=(√3a/4)/(a/2)=√3/2设h′是A′B′上的高，由相似关系得：=[S(ABC)/2+√3S(ABC)/2]/2=3S(ABC)/4∵A′B′=a/2，设A′O=x∴B′O^2+AO^2=(a/2)^2；AO+x=b；Hence，x=(b²-a²+1)/2b∴cosB′=2x/a=(b²-a²-1)/ab，∴cosB=log[（a²+b²-4）/6]二、圆1、切线定理：如图，⊙O的两条切线AP、BP（AP>BP），AB的中点为C,OC与BP交于K，求证：AK=KC。
中考数学几何模型大全
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中考数学几何模型汇总
中考数学压轴题常考的9种出题形式
1、线段、角的计算与证明问题
中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、图形位置关系
中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3、动态几何
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4、一元二次方程与二次函数
在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合
5、多种函数交叉综合问题
初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
6、列方程(组)解应用题
在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。
实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
7、动态几何与函数问题
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
做这类题时一定要有“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
8、几何图形的归纳、猜想问题
中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。
对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。
9、阅读理解问题
如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。
阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。
对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。
所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。