初中数学九大几何模型
初中数学常见几何模型大全
初中数学常见几何模型大全
以下是一些常见的初中数学几何模型大全：
1. 点（Point）：没有大小和形状，用一个大写字母表示。
2. 直线（Line）：由无限多个点组成，没有宽度和厚度。
3. 线段（Line Segment）：直线上的两个点及其之间的部分。
4. 射线（Ray）：起始于一个点，延伸至无穷远的部分。
5. 角（Angle）：由两条射线共享一个端点而形成的图形。
6. 三角形（Triangle）：由三条线段组成的图形。
7. 直角三角形（Right Triangle）：一个角为直角（90度）的三角形。
8. 等腰三角形（Isosceles Triangle）：具有两边长度相等的三角形。
9. 等边三角形（Equilateral Triangle）：三条边都相等的三角形。
10. 平行四边形（Parallelogram）：具有两对平行边的四边形。
11. 矩形（Rectangle）：具有四个直角的平行四边形。
12. 正方形（Square）：具有四个相等边和四个直角的矩形。
13. 梯形（Trapezoid）：具有一对平行边的四边形。
14. 圆（Circle）：由所有与圆心距离相等的点组成的图形。
15. 圆环（Annulus）：由两个同心圆之间的区域组成。
16. 椭圆（Ellipse）：平面上所有到两个给定点距离之和等于常数的点的轨迹。
17. 弧（Arc）：圆上的一段连续的部分。
18. 扇形（Sector）：圆心角及其对应的弧所围成的区域。
这些是初中数学中常见的几何模型，它们在解题和证明过程中起着重要的作用。
初中数学几何公式大全和九大几何模型
初中数学几何公式和九大几何模型1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2矩形的对角线相等62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1菱形的四条边都相等65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1关于中心对称的两个图形是全等的72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型OD ECABAED DOECBABOC ECAEDD图2图 2、手拉手模型 - 旋转型全等D E③OE 平分∠ AED图 2图 1 OABD OAO ②∠ AEB=∠AOB ； 且∠ COD=∠AOB1）等边三角形3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形图 1图 1C结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；C条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
初中几何九大模型汇总
初中几何九大模型汇总1. 点（Point）：点是几何中最基本的对象，它没有长度、宽度或高度，只有位置。
点通常用大写字母标记，例如A、B、C等。
2. 线段（Line Segment）：线段是由两个点确定的，它是一条有限长度的直线。
线段通常用两个字母标记，如AB。
线段具有长度和方向。
3. 直线（Line）：直线是无限延伸的线段，它由无数个点组成，没有起点和终点。
直线通常用一条小箭头标记，如AB。
直线上的任意两点可以确定一条直线。
4. 角（Angle）：角是由两条射线共享一个起点而形成的，它是两边之间的夹角。
角可以分为锐角、直角和钝角。
角通常用大写字母标记，如∠ABC。
5. 三角形（Triangle）：三角形是由三条线段组成的一个闭合图形。
三角形的内部有三个顶点和三条边。
三角形可以根据边长和角度分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形等。
6. 四边形（Quadrilateral）：四边形是由四条线段组成的一个闭合图形。
四边形的内部有四个顶点和四条边。
四边形可以根据边长和角度分为不同的类型，如矩形、正方形、菱形等。
7. 五边形（Pentagon）：五边形是由五条线段组成的一个闭合图形。
五边形的内部有五个顶点和五条边。
五边形可以分为凹五边形和凸五边形。
8. 六边形（Hexagon）：六边形是由六条线段组成一个闭合图形。
六边形的内部有六个顶点和六条边。
六边形可以分为凹六边形和凸六边形。
9. 圆形（Circle）：圆形是由一个中心点和一个半径确定的，它由无数个点组成的闭合曲线。
圆形的内部为圆的内部，外部为圆的外部。
通过研究这九大基本模型，我们可以深入了解几何形状的特征和性质。
学生们可通过观察和比较不同形状的特点，理解几何变换、相似性、对称性等概念。
此外，还可以通过实际生活中的例子，将几何知识应用于实际问题中，提高学生的应用能力。
总之，初中几何九大模型是学习几何必不可少的基础，通过对它们的认识和掌握，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型模型一：手拉手模型----旋转型全等1、等边三角形【条件】△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=60°；△ OE平分△AED2、等腰直角三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=90°；△OE平分△AED3、顶角相等的两任意等腰三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰三角形；且△COD=△AOB【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=△AOB；△OE平分△AED模型二：手拉手模型----旋转型相似1、一般情况【条件】 CD△AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ；△延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC=△BOA2、特殊情况【条件】 CD△AB ，△AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ； △延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC =△BOA ； △BD AC=OD OC=OB OA=tan∠OCD ；△BD△AC ；△连接AD 、BC ，必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2 ； △BD AC S ABCD •=21模型三：对角互补模型1、全等型-90°【条件】 △△AOB=△DCE=90°；△OC 平分△AOB【结论】 △CD=CE ；△OD+OE=2OC ；△2ODCE OCD OCE 12S S S OC ∆∆=+= 证明提示：△作垂直，如图2，证明△CDM△△CEN△过点C 作CF△OC ，如图3，证明△ODC△△FEC ※当△DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：△CD=CE ；△OE -OD=2OC ；△2△OCD △OCE OC 21S S =-2、全等型-120°【条件】 △△AOB=2△FCE=120°；△OC 平分△AOB【结论】 △CF=CE ；△OF+OE=OC ；△2OFCE OCF OCE 4S S S ∆∆=+=证明提示：△可参考“全等型-90°”证法一；△如图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
(完整版)初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学几何公式大全和九大几何模型
初中数学几何公式和九大几何模型1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学十大模型
初中数学中考总复习几何十大模型1、模型一：“12345”模型
2、模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
3、模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角
形
角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
4、模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
5、模型五：“将军饮马”模型
6、模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
7、模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
8、模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
9、模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
10、模型十：费马点。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型-、手拉手模型(1)等边三角形D【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形;【结论】：①△ OAC B/OBD :②/AEB=60 ° ;^OE 平分Z AED(2 )等腰直角三角形【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形;DE【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形;且/COD= ZAOB【结论】：①厶OAC也/OBD ;②/AEB= Z AOB ;③OE平分Z AED【结论】：①右图中△ OCD sJOAB mOAC S Q BD；②延长AC交BD于点E,必有Z BEC= /BOA ;③——=――=——=tan /OCD :④ BD _LAC; AC OC OA⑤连接AD、BC,必有AD2 BC2二AB 2 CD2；® S三、模型三、对角互补模型将△OCD旋转至右图的位置△BCD图i2(2)全等型-120【条件】：①Z AOB=2 ZDCE=120 °;3OC 平分Z AOB【结论】：-:3 2①CD=CE :②OD+OE=OC :③S^CE =S^CD S^OC^—OC2证明提示：①可参考“全等型-90。
”证法一；②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△ OCF为等边三角形。
(1)全等型-90【条件】：①/AOB= ZDCE=90 ° ;^DC 平分Z AOB【结论】：① CD=CE :② OD+OE= ... 2 OC ;③ S^DCE证明提示:①作垂直, 如图2，证明△ CDM也zCEN②过点C作CF JOC，如图3，证明△ ODC ^zEEC※当ZDCE的一边交AO的延长线于D时(如图4):以上三个结论：①CD=CE :② OE-OD= .. 2 OC ；③ S^OCE - S^oCD②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;(3) 全等型-任意角a【条件】：①/A0B=2 a,Q CE=180-2 a;②CD=CE ;【结论】：①0C 平分Z AOB :②OD+OE=2OC cos a;2③ S A DCE - S A OCD S A OCE - OC Sin a C0S a※当ZDCE 的一边交AO 的延长线于 D 时(如右下图)：原结论变成：①对角互补模型总结:①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线;可参考上述第②种方法进行证明。
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初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；O ABCDE 图 1OABC D E图 2OABCDE 图 1O ABCDE图 2OABCDEOCD E图 1图 2OCO CDEO BCDEOC D③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD△OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
AOBCDE 图 1A O BCDEM N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4A对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③注意OC 平分∠AOB 时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导 四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半； 也可以这样：【条件】：①正方形ABCD ；②EF=DF+BE ；【结论】：①∠EAF=45°；（2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF-BE ； （3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；【结论】：222DE CE BD =+（如图1）若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论222DE CE BD =+仍然成立（如图2） （4）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE 为等腰直角三角形； 证明：连接AC （方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE ，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH ∽△CAE ，∴AEACAH DA =∴△AHE ∽△ADC ，∴△AHE 为等腰直角三角形AO BCDE A BDEFABDEFGABC DEABC DE FABCDGHFEABCDGHF E模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD ；②BD=BE ； ③DF=EF ； 【结论】：AF ⊥CF模型提取：①有平行线AD ∥BE ；②平行线间线段有中点DF=EF ； 可以构造“8”字全等△ADF ≌△HEF 。
（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD ；②BC=2AB ；③AM=DM ；④CE ⊥AB ； 【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB ∥CD ，有中点AM=DM ，延长EM ，构造△AME ≌△DMF ，连接CM 构造等腰△EMC ，等腰△MCF 。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型 （1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅助线：延长DF 到点G ，使FG=DF ，连接CG 、BG 、BD ，证明△BDG 为等腰直角三角形；突破点：△ABD ≌△CBG ； 难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅助线：构造等腰直角△AEG 、△AHC ； 辅助线思路：将DF 与BF 转化到CG 与EF 。
（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法 【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； A BCE F D H A BFDHAB C DMEAB CDME F A EB D FC AEBDFCGA EBD FCABDFCG【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA 到G ，使AG=AB ，延长CD 到点H 使DH=CD ，补全△OGB 、△OCH 构造旋转模型。
转化AE 与DE 到CG 与BH ，难点在转化∠AED 。
（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法 【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ；【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE 至M ，使ME=DE ，将结论的两个条件转化为证明△AMD ∽△ABO ，此为难点，将△AMD ∽△ABC 继续转化为证明△ABM ∽△AOD ，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：①动点在直线上；②起点，终点固定（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC 平分∠AOB ；②M 为OB OB 上一动点；【问题】：求MP+PQ 最小时，P 、Q 的位置辅助线：将作Q 关于OC 对称点Q ’，转化PQ ’=PQ ，过点M 作MH ⊥OA ，则MP+PQ=MP+PQ ’≥MH(垂线段最短） （3）最短路程模型二（点到直线类2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n ） 【问题】：n为何值时，PA 55PB +最小 求解方法：①x 轴上取C(2,0),使sin ∠OAC=55；②过B 作BD ⊥AC ，交y 轴于点E ，即为所求；③tan ∠EBO=tan ∠OAC=21，即E （0，1） （4）O A B DCEOA BDCEGHOA B DCEA POQ MBQ'HPA【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB 绕点O 在平面内360°旋转； 【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少【结论】：以点O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB ；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O 为圆心，OB ，OC 为半径作圆；③点P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA 的最大值为10，则OC=6；若PA 的最小值为1，则OC=3； 若PA 的最小值为2，则PC 的取值范围是0<PC<2 【条件】：①Rt △OBC ，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P 为BC ⑤△OBC 绕点O 旋转【结论】：PA 最大值为OA+OB=321+；PA如下图，圆的最小半径为O 到BC 垂线段长。
模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C ；辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A 的对称点BA ’、CA ’、则BA=AA ’=CA ’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
模型九：相似三角形模型（1）相似三角形模型--基本型 平行类：DE ∥BC ； A 字型8字型A 字型 结论：BCDEAC AE AB AD ==(注意对应边要对应） （2）相似三角形模型---斜交型 【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°； 【结论】：AE ×AB=AC ×AD 【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC ；O A B最小值位置最大值位置BCA B CABCA'【结论】：AC 2=AE ×AB第四个图还存在射影定理：AE ×EC=BC ×AC ；BC 2=BE ×BA ；CE 2=AE ×BE ； （3）相似三角形模型---一线三等角型【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°； （2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°； （3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；【结论】：①△ABC ∽△CDE ；②AB ×DE=BC ×CD ；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。