数学中考复习专题(七)图形的初步认识

一. 教学目标1. 了解线段、射线、直线的区别与联系．掌握它们的表示方法．2. 掌握“两点确定一条直线”的性质，了解“两条直线相交只有一个交点”．3. 理解线段的和与差的概念，会比较线段的大小，理解“两点之间线段最短”的性质．4. 理解线段的中点和两点间距离的概念．5. 会用尺规作图作一条线段等于已知线段．6. 理解角的概念，理解平角、直角、周角、锐角、钝角的概念．7. 掌握度、分、秒的换算，会计算角度的和、差、倍、分．8. 掌握角的平分线的概念，会画角的平分线．9. 会解决有关余角、补角的计算问题；会用“同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等”进行推理． 10. 灵活运用对顶角和垂线的性质；11. 掌握并灵活运用平行线的性质和判定进行有关的推理和计算； 12. 理解和识别方向角13. 建立初步的空间观念，会判断简单物体的三视图， 14. 了解旋转体和多面体的概念．15. 会计算圆柱、圆锥的侧面展开图的面积． 二. 教学重点、难点：会画基本几何体（立方体、圆柱、圆锥、球）的三视图．能根据三视图描述基本几何体或实物原型．会解决有关余角、补角的计算． 三. 知识要点：知识点1、生活中的立体图形1. 生活中的常见立体图形有：球体、柱体、锥体，它们之间的关系如下所示⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧球体五棱锥四棱锥三棱锥棱锥圆锥锥体五棱柱四棱柱三棱柱棱柱圆柱柱体立体图形 2. 多面体：由平面围成的立体图形叫做多面体 知识点2、由立体图形到视图1. 视图：（1）直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图） （2）简单的几何体与其三视图、展开图教学准备中考复习之专题七 图形的初步认识（3）由三视图猜想物体的形状2. 通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）．俯视图反映物体的长和宽，主视图反映了它的长和高，左视图反映了宽和高．所以主视图和俯视图的长度相等，且互相对正，即“长对正”主视图与左视图的高度相等，且互相平齐，即“高平齐”俯视图与左视图的宽度相等，即“宽相等”知识点3、立体图形的展开图圆柱的侧面展开图是一个矩形，一边长为母线的长，另一边是底面的周长．圆锥的侧面展开图是一个扇形，其中扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是底面圆的周长正方形的展开图的形状比较多知识点4、平行投影和中心投影平行投影：在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影．1. 在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．2. 物体在阳光下的影长与方向随时间的变化而变化3. 太阳光可以看作是一束平行光线中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．1. 在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．2. 在灯光下，不同位置的物体，影子的长短和方向都是不同的，但是任何物体上的一点与其影子的对应点的连线一定经过光源所在的点．知识点5、线段、射线、直线（1）连接两点的所有线中，线段最短．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端的距离相等（2）射线、线段可以看作直线的一部分知识点6、角由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角1周角＝2平角＝4直角＝360度互余和互补：如果两个角之和是一个直角，那么这两个角互余如果两个角之和是一个平角，那么这两个角互补知识点7、垂直（1）两条直线相交的四个角中有一个为直角时，称这两条直线互相垂直，交点叫垂足．（2）在同一平面内，经过直线外（上）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）直线外这个点到垂足间的线段叫做点到直线的距离．知识点8、平行线1. 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线．2. 两条直线被第三条直线所截，出现的三种角：同位角，内错角，同旁内角．直线m截直线a，b成如图所示的8个角，在图中：同位角：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8；内错角：∠3和∠5，∠4和∠6；同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5．3. 平行公理经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．4. 平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行．另外，平行于同一直线的两条直线互相平行．垂直于同一直线的两条直线互相平行．5. 平行线的性质：两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线．例题精讲例1. 判断正误，并说明理由①两条直线如果有两个公共点，那么它们就有无数个公共点；（）②射线AP与射线PA的公共部分是线段PA；（）③有公共端点的两条射线叫做角；（）④互补的角就是平角；（）⑤经过三点中的每两个画直线，共可以画三条直线；（）⑥连结两点的线段，叫做这两点间的距离；（）⑦角的边的长短，决定了角的大小；（）⑧互余且相等的两个角都是45°的角；（）⑨若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角；（）⑩大于直角的角叫做钝角．（）解：①√．因为两点确定唯一的直线．②√，因为线段是射线的一部分．如图：显然这句话是正确的．③×，因为角是有公共端点的两条射线组成的图形．④×．互补两角的和是180°，平角为180°．就量上来说，两者是相同的，但从“形”上说，互补两角不一定有公共顶点，故不一定组成平角．如下图⑤×．平面内三点可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上．⑥×．连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离．⑦×．角的大小，与组成角的两条射线张开的程度相关，或者说与射线绕着它的端点旋转过的平面部分的大小相关，与角的边画出部分的长短无关．⑧√，“互余”即两角和为90°．⑨×．“互补”即两角和为180°．想一想：这里的两个角可能是怎样的两个角？⑩×，钝角是大于直角而小于平角的角．【注意】1. 第⑤题中三个点的相互位置共有两种情况，如图再如两角互补，这里的两角有两种情形，如图：图（1）图（2）因此，互补的两个角中，可能有一个是钝角，也可能两个角都是直角，因此在作出判断前必须全面地考虑，这就要求有“分类讨论”的思想，“分类讨论”是数学中重要的思想方法之一．2. 注意数和形的区分与联系：“线段”表示的是“图形”，而“距离”指的是线段的“长度”，指的是一个“数量”，两者不能等同．例2. 如图：是一个水管的三叉接头，试画出它的三视图．【注意】画三视图的原则是：长对齐，宽相等，高平齐．例3. 下面是正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）和面A所对的会是哪一面？（2）和B 面所对的会是哪一面？ （3）面E 会和哪些面平行？答：（1）和面A 所对的是面D ；（2）和B 面所对的是面F ；（3）面E 和面C 平行． 例4. 下面是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是 （ C ）例5. 下图是正方体分割后的一部分，它的另一部分为下列图形中的（ B ）例6. （1）线段DE 上有A 、B 、C 三个点，则图中共有多少条线段？ （2）若线段DE 上有n 个点呢？DECB A解：（1）10条．方法一：可先把点D 作为一个端点，点A 、B 、C 、E 分别为另一个端点构成线段，再把点A 作为一个端点，点B 、C 、E 分别为另一个端点构成线段……依此类推，数出所有线段求和，即得结果．方法二：5个点，每个点与另外一个点为端点可以组成一条线段，共有5×4条，但不计重复的应有5421⨯⨯条，即10条．（2）（n ＋1）＋n ＋（n －1）＋…＋3＋2＋1＝2)2)(1(++n n （条）例7. 计算：（1）37°28′＋44°49′；（2）118°12′－37°37′×2；（3）132°26′42″－41.325°×3； （4）360°÷7（精确到分）． 解：（1）37°28′＋44°49′＝81°77′ ＝82°17′（2）118°12′－37°37′×2＝118°12′－75°14′ ＝117°72′－75°14′ ＝42°58′．（3）法一 132°26′42″－41.325°×3＝132.445°－123.975° ＝8.47°．法二 132°26′42″－41.325°×3＝132°26′42″－123.975° ＝132°26′42″－123°58′30″ ＝131°86′42″－123°58′30″ ＝8°28′12″． （4）360°÷7＝51°＋3°÷7 ＝51°＋25′＋5′÷7 ＝51°＋25′＋300″÷7 ≈51°＋25′＋43″ ≈51°26′．【注意】⑴1°＝60′，1′＝60″，低一级单位满“60”，要向高一级单位进“1”，由高一级单位借“1”要化成“60”加入低一级单位参与运算．⑵在“度”、“分”、“秒”的混合运算中，可将“分”、“秒”化成度，也可将小数部分的度数化成“分”“秒”进行计算．例8. 已知∠α与∠β互为补角，且∠β的32比∠α大15°，求∠α的余角． 解：由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠-∠︒=∠+∠1532180αββα解之得⎩⎨⎧︒=β∠︒=α∠11763∴∠α的余角＝90°－∠α＝90°－63°＝27°． 答：∠α的余角是27°．例9. 下列语句正确的个数有（ ）个 （1）不相交的两条直线叫做平行线．（ ）（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（ ） （3）两直线平行，同旁内角相等．（ ）（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A （1）错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”． （2）错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”． （3）错，应为“两直线平行，同旁内角互补”．（4）错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．例10. 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＝∠BED ．_分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和．如图，过E 点引一条直线EF ∥AB ，则有∠B ＝∠1，再设法证明∠D ＝∠2，需证EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到．证明：过点E作EF∥AB，则∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D＝∠2（两直线平行，内错角相等）．又∵∠BED＝∠1＋∠2，∴∠BED＝∠B＋∠D（等量代换）．例11. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝360°－（∠B＋∠D）．分析：此题与例10的区别在于E点的位置及结论．我们通常所说的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例10的结论是一致的．因此，我们模仿例10作辅助线，不难解决此题．证明：过点E作E F∥AB，则∠B＋∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠D＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B＋∠1＋∠D＋∠2＝180°＋180°（等式的性质）．又∵∠BED＝∠1＋∠2，∴∠B＋∠D＋∠BED＝360°（等量代换）．∴∠BED＝360°－（∠B＋∠D）（等式的性质）．例12. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠D－∠B．分析：此题与例10的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同．模仿例10与例11作辅助线的方法，可以解决此题．证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB＝∠B（两直线平行，内错角相等）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）．∵∠BED＝∠FED－∠FEB，∴∠BED＝∠D－∠B（等量代换）．例13. 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED＝∠B－∠D．分析：此题与例12类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化．证明：过点E作EF∥AB，则∠1＋∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠FED＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠1＋∠2＋∠D＝180°．∴∠1＋∠2＋∠D－（∠1＋∠B）＝180°－180°（等式的性质）．∴∠2＝∠B－∠D（等式的性质）．即∠BED＝∠B－∠D．例14. 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE．求证：∠BFE＝∠FEC．证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF＝∠1（两直线平行，内错角相等）．过E点作EH∥CD ，则∠DCE＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．又∵EH∥CD （已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4（等式的性质）即∠BFE＝∠FEC．证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点．∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠ABF（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF＝∠DCE（已知），∴∠1＝∠DCE（等量代换）．∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）．∴∠BFE＝∠FEC（两直线平行，内错角相等）．证法三：（如图12）连结BC．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．又∵∠ABF＝∠DCE（已知），∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE（等式的性质）．即∠FBC＝∠BCE．∴BF∥EC（内错角相等，两直线平行）．∴∠BFE＝∠FEC（两直线平行，内错角相等）．课后练习一. 选择题1. 下列各图中，分别画有直线AB，线段MN，射线DC，其中所给的两条线有交点的是（）2. 如果在一条直线上得到10条不同的线段，那么在这条直线上至少要选用（）个不同的点．A. 20B. 10C. 7D. 53. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m＋n等于（）A. 12B. 16C. 20D. 以上都不对4. 在下列立体图形中，不属于多面体的是（）A.正方体B. 三棱柱C. 长方体D. 圆锥体5. 图中几何体的主视图是（）6. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A. 南偏西50度方向； B. 南偏西40度方向 ； C. 北偏东50度方向；D. 北偏东40度方向7. 如图，AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，则图中与∠1相等的角共有（ ）A. 6个B. 5个C. 4个D. 2个8. 同一平面内的四条直线若满足a ⊥b ，b ⊥c ，c ⊥d ，则下列式子成立的是（ ） A. a ∥d B. b ⊥d C. a ⊥d D. b ∥c9. 如图，∠1和∠2互补，∠3＝130°，那么∠4的度数是（ ）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°10. 已知：AB ∥EF ，且∠ABC ＝20°，∠CFE ＝30°，则∠BCF 的度数是（ ） A. 160°B. 150°C. 70°D. 50°11. 如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有……（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，已知直线AB ∥CD ，当点E 在直线A B 与CD 之间时，有∠BED＝∠ABE ＋∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是 （ ）A. ∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE ；B. ∠BED ＝∠ABE －∠CDEC. ∠BED ＝∠CDE －∠ABE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE;D. ∠BED ＝∠CDE －∠ABE13. 一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°14. 如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的数互为相反数，则填在A 、B 、C 内的三个数依 次是（ ）．A. 0，－2，1B. 0，1，－2C. 1，0，－2D. －2，0，1ABCDEFGH1CCABED15. 如图6，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）A. ⎩⎨⎧-==+14y x 90y xB. ⎩⎨⎧-==+152y x 90y xC. ⎩⎨⎧-==+2y15x 90y xD. ⎩⎨⎧-==152y x 902x16. 如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体的木块总数应是（ ）A. 25B. 66C. 91D. 120二. 填空题1. 用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数是 _________．2. 时钟的分针每60分钟转一圈，那么分针转90°需______分钟，转120°需______分钟，25分钟转______度．3. 已知A 、B 、C 三个点在同一条直线上，若线段AB ＝8，BC ＝5，则线段AC ＝_________4. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________．5. 如图，B 、O 、C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，DO 平分∠AOC ， 则∠EOD ＝_________°6. 如图，AB ∥CD ，BE ，CE 分别平分∠ABC ，∠BCD ，则∠AEB ＋∠CED ＝ ．7. 将点P （－3，y ）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，－1），则xy ＝___________． 8. 已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ，且∠AOC ＝68°，则∠BOE ＝9. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角为_________．10. 如图，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为____．11. 如图，甲、乙两地之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是北偏东︒50，如果甲、ABEDC乙两地同时开工，要使公路准确接通，那么在乙地施工应按β∠为______度的方向开工．12. 将一个底面半径为2cm 高为4cm 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为___________________cm 2；13. 一个圆锥形的蛋筒，底面圆直径为7cm ，母线长为14cm ，把它的包装纸展开，侧面展开图的面积为_________________cm 2（不计折叠部分）．14. 如图所示立方体中，过棱BB 1和平面CDD 1C 1垂直的平面有__ 个．15. 如图，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，∠A ＝118°，则AEC ∠等于_ 度．16. 某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东30°方向45千米的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示．按这种表示方式，南偏东60°方向78千米的位置，可用代码表示为 ． 三. 解答题1. 一个角的余角比它的补角的92还多1°，求这个角． 2. 如图，已知AB ∥ED ，∠ABC ＝135°，∠BCD ＝80°，求∠CDE 的度数．3. 已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE ＝AF ．求证：AD 平分∠BAC ．DB4. 如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数．5. 如图，已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于E ，F 为EC 上一点，且∠EAF ＝∠C ．求证：（1）∠EAF ＝∠B ；（2）AF 2＝FE ·FB6. 给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2）中，并作简要说明：一. 选择题1. A2. D3. B4. D5. D6. B7. B8. C9. A 10. D 11. B 12. C 13. A 14. A 15. B 16. C 二. 填空题1. 112. 15 20 1503. 13或34. 后面、上面、左面．5. 90°6. 90°7. －10；8. 56°9. 30° 10. 600； 11. 130° 12. 16π 13. 98 14. 1 15. 31° 16. 040078 三. 解答题1. 解：⑴设这个角为x 度，则90－x ＝1)180(92+-x 解得 x ＝63 答：这个角为63度． 2. 解：延长BC 交DE 于F ．由∠ABC ＝135°易得∠BFD ＝45°， 又∠BCD ＝80°，得∠CDE ＝35° 3. 证明：∵AD ⊥BC 于D ，EG ⊥B C 于G ∴AD ∥EG ，∴∠2＝∠3，∠1＝∠E ， ∵AE ＝AF ∴∠E ＝∠3，∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ． 4. 解：∵EG 平分∠AEF ∴∠AEG ＝∠GEF 又∵AB ∥CD ∴∠AEG ＝∠1＝40° ∴∠AEF ＝2∠AEG ＝80°∴∠2＝180°－∠AEF ＝180°－ 80°＝100° 5. 证明（1）∵AB ∥CD （已知），∴∠C ＝∠B 又∵∠EAF ＝∠C ， ∴∠EAF ＝∠B（2）∵∠AFB ＝∠EFA ，∠EAF ＝∠B ∴△EAF ∽△ABF练习答案BF EF AF AFEFBF AF 2⋅=∴=∴第 3 页 共 15 页6. 解：（1）如图，沿正三角形三边中点连结折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底而下底为正三角形的直三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个三棱柱的上底．。