编译原理 第三章

符号串x、y的连接,是把y的符号写在x的符号之后得到的符号串xy 如 x=ab, y=cd 则 xy=abcd ，特别地εx ＝ x ε＝ x。
符号串的方幂
设x是符号串，把x自身连接n次得到的符号串z＝xx…xx， 称为x的方幂，记为z＝xn 。 特别地，a0=ε。
Σ的闭包Σ*:表示Σ上的一切符号串（包括ε）组成的 集合，即Σ的闭包，表示为方幂的形式如下: Σ*＝Σ0∪Σ1∪Σ2∪…Σn∪… Σ的正闭包Σ＋: Σ＋＝Σ1∪Σ2∪…Σn∪…
定义3.7 若L(G1)=L(G2)，则称文法G1和G2是等价的。 也就是说，如果两个文法定义的语言一样，则称这两个文 法是等价的。
文法中的元符号 →或 ∷= 表示左部由右部定义 | 表示定义同一个左部的几个可选择的右部 文法中的源符号 文法定义的语言中的符号，全部由文法的终结符构成。
文法是一个数学系统 ，一个形式数学系统可由下列 基本成分来刻画：一组基本符号，一组形成规则，一组公 理，一组推理规则。 定义3.1 文法G定义为四元组(Vn，VT，P，S)。其中Vn为非终结 符号集(或语法实体，或变量) ；VT为终结符号集；P为产 生式(也称规则)的集合；Vn，VT 和 P是非空有穷集。S称 作识别符号或开始符号，它是一个非终结符，至少要在一 条产生式中作为左部出现。 Vn 和 VT 不 含 公 共 的 元 素 ， 即 Vn∩VT=φ 通常用V表示Vn∪VT，V称为文法G的字母表或字汇表 。 其中规则，也称重写规则、产生式或生成式，是形如 α→β或α∷=β的(α，β)有序对，其中α是字母表V的 正闭包V+中的一个符号，β是V*中的一个符号。α称为规 则的左部，β称为规则的右部。
间的差异） 。
如果不考虑语义和语用，即只从语法这一侧面来看语言，这种 意义下的语言称作形式语言。形式语言抽象地定义为一个数学系统。 “形式”是指这样的事实：语言的所有规则只以什麽符号串能出现 的方式来陈述。形式语言理论是对符号串集合的表示法、结构及其 特性的研究。是程序设计语言语法分析研究的基础。
3.2 符号和符号串
第3章 文法和语言
【学习目标】
本章目的是为语言的语法描述寻求工具 ◇ 掌握对源程序给出精确无二义（严谨、简洁、易读）的语法描 述手段——文法。 ◇ 熟练使用文法定义程序设计语言的单词和语法成分 ◇ 对形式语言的理论有一个初步基础
【本章难重点】
本章将介绍文法和语言的概念，它们是形式语言的理论基础，形 式语言抽象地定义为一个数学系统。重点讨论上下文无关文法及其句 型分析中的有关问题。
例3.1 文法G=(Vn，VT，P，S)，其中Vn={S}，VT={0，1}， P={S→0S1，S→01}。这里，非终结符集中只含一个元素S；终
结符集由两个元素0和1组成；有两条产生式；开始符号是S。 例3.1还可以写成： G：S→0S1 S→01 或G[S]：S→0S1 S→01 为书写简洁，常把相同左部的产生式，形如 A→α1 A→α2 … A→αn 缩写为： A→α1|α2|…|αn 这里的元符号"|"读做"或"。
语言L和M的并表示为 L∪M，是一个语言，满足: {w|w is in L or is in M}
语言L和M的连接是一个语言，记为 LM，LM={st |s∈L且 t∈M} 如： L1M1 ={a1,b1,…y1,z1,a2,b2…a9…z9}。 特别地，L {ε}= {ε}L=L。 语言L的闭包记为 L*，L* = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪... 特别地， L0= {ε}；Ln = LLn-1 = Ln-1 L,n≥1。 语言L的正闭包记为 L+，L+= L1 ∪ L2 ∪ L3 ... L+ = LL* = L*L； L* = L+ ∪ {ε} 如：（L1∪M1）* ={a,b,… y,z，1,2…8,9 ，aa,1a,…xyz, 6789st..} L1（L1∪M1）* ={所有字母打头的字母和数字符号串}
2、由规则去推导或产生句子 一旦有了一组规则以后，我们可以按照如下方式用它 们去推导或产生句子。我们开始去找∷=左端的带有〈句 子〉的规则并把它表示成∷=右端的符号串，这个动作如 下所示：
<句子> <主语><谓语> <代词><谓语> 我<谓语> 我<动词><直接宾语> 我是<直接宾语> 我是<代词> 我是<名词> 我是大学生
为定义文法所产生的语言，我们还需要引入推导的概念，即定 义V*中的符号之间的关系：直接推导 、长度为n(n≥1)的推导 和长度为n(n≥0)的推导 。
定义3.2
如α→β是文法G=(Vn，VT，P，S)的规则(或说是P中的一产 生式)，γ和δ是V*中的任意符号，若有符号串v，w满足： v=γαδ，w=γβδ 则说v(应用规则α→β)直接产生w，或者说，w是v的直接推导 ，也可以说，w直接归约到v，记作v w。 例 3 . 1 的 文 法 G， 可 以 给 出 直 接 推 导 的 一 些 例 子 如 下 ： v=0S1,w=0011,直接推导：0S1 0011，使用的规则：S→01， 这里γ=0，δ=1。 v=S,w=0S1，直接推导：S 0S1使用的规则：S→0S1，这里γ=ε ，δ=ε。 v=0S1,w=00S11,直接推导：0S1 00S11，使用的规则：S→0S1， 这里γ=0，δ=1。
每个程序都是一个“基本符号”串，设有一基本符号集，那么PASCAL 或C语言可看成是在这个基本符号集上定义的，按一定规则构成的一切基 本符号串组成的集合。 1、字母表Σ：亦称符号表，是符号的有穷集合。 2、符号串：由字母表中的字符组成的任何有穷序列，称为符号串。 3、符号串的运算 符号串x包含的符号个数即为其长度，表示为|x|。 空符号串，即不包含任何符号的符号串，用ε表示，其长度为0。 符号串的头尾，固有头和固有尾：若z＝xy是一符号串，则x是z的头， y是z的尾，如果x是非空的，那么y是z的固有尾，同样如果y非空，x是固 有头。 符号串的连接
定义3.3
如果存在直接推导的序列： v=w0 w1 w2… wn=w,(n＞0)，则称v推导出(产生) w(推导长 度为n) ，或称w归约到v。记作v w。
定义3.4
若有v w，或v=w，则记作v w。
定义3.5
设G[S] 是一文法，如果符号串x是从识别符号推导出来的，即 有S x，则称x是文法G[S]的句型。若x仅由终结符号组成， 即S x，x∈VT*，则称x为G[S]的句子。 例3.1的文法，存在直接推导序列v=0S1 00S11 000S111 00001111=w，即0S1 00001111，也可记作0S1 00001111。 例3.2的文法，存在直接推导序列v=〈标识符〉 〈标识符〉 〈数字〉 〈字母〉〈数字〉 x〈数字〉 x1=w，即： 〈标识符〉 x1，也可记作〈标识符〉 x1。 S，0S1，000111都是例3.1的文法G的句型，其中000111是G的 句子。〈标识符〉〈字母〉，〈字母〉〈数字〉，a1等都是例3.2 文法G的句型，其中a1是G的句子。
定含义（各个记号和记号所表示的对象之间的关系） 。 语用 Pragmatics：表示在各个记号所出现的行为中，它们的来源、 使用和影响。 每种语言具有两个可识别的特性，即语言的形式和该形式相关 联的意义。 语言的实例若在语法上是正确的，其相关联的意义可以从两个 观点来看，其一是该句子的创立者所想要表示的意义，另一是接收 者所检验到的意义。这两个意义并非总是一样的，前者称为语言的 语义，后者是其语用意义（幽默、双关语和谜语就是利用这两方面意义
3.3文法和语言的形式定义
如果语言是有穷的（只含有有穷多个句子），可以将句子逐一 列出来表示；但是如果语言是无穷的，我们不可能将语言的句子逐 一列出来，而是希望寻求语言的有穷表示。 语言的有穷表示有两个途经：一种是生成方式，就是利用文法， 利用文法的规则和推导手段，可以将语言中的每个句子用严格定义 的规则来构造。另一种方法是识别方式，是使用自动机的行为描述 语言：它的行为相当於一个过程，当输入的一个符号串属于某语言 时，该过程经有限次计算后就会停止并回答“是”，若这个符号串 不属于此语言，该过程要麽能停止并回答“不是”，要麽永远继续 下去。 我们要介绍的文法即是生成方式描术语言的：语言中的每个句 子可以用严格定义的规则来构造。下面给出文法的定义。 下面给出文法的定义。进而在文法的定义的基础上，给出推导 的概念，句型、句子和语言的定义。
两个符号串集合A和B的乘积
符号串集合：若集合A中的一切元素都是某字母表上的符 号串，则称A为该字母表上的符号串集合。 若A、B是符号串集合，则AB＝{xy|x∈A，y∈B}。
字母表∑上的一个语言是∑上的一些符号串的集合 (字母表 ∑上的每个语言是∑* 的一个子集)。 例如：若有字母表Σ={a,b}, 则∑*={ε,a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab,…} 关于语言的概念，我们说集合A={ab,aabb,aaabbb,…,anbn,…} 为字母表∑上的一个语言，也可以把集合A描述为： {w|w∈∑*且w=an bn,n≥1}。 我们说集合B={a,aa,aaa,…}为字母表∑上的一个语言，同 样也可以把集合B描述为{w|w∈∑*且w=an,n≥1}。 既然将语言定义为一个集合，那么有关集合的运算也适合语 言。即：设L是（∑上的）一个语言,M是（∑上的）一个语言， 则语言L和M的并，交，差，补是一个语言。
定义3.6 文法G所产生的语言定义为集合{x|S x，其中S为文法识 别符号，且x∈VT*}。可用L(G)表示该集合。
从定义3.6看出两点：第一，符号串x可从识别符号推出，也即x 是句型。第二，x仅由终结符号组成，即x是文法G的句子。也就是说 ，文法描述的语言是该文法一切句子的集合。 考虑例3.1的文法G，有两条产生式(规则) (1)S→0S1和(2)S→01， 通过对第一个产生式使用n-1次，然后使用第2个产生式一次，得到： S 0S1 00S11 … 0n-1S 1n-1 0n1n