24.4.1 弧长和扇形面积
人教版初三数学上册24.4.1弧长和扇形面积 教学设计
24．4.1弧长和扇形面积教学设计碧华学校林喜斌一、教材分析（一）本课的地位和作用本节教材是人教版九年级下册《24.4.1弧长和扇形面积公式》，是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角圆周角等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究弧长公式、扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。
本节内容的弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据，通过特殊圆心角到一般圆心角所对的弧长和扇形面积，探索计算公式，并运用它们来计算和解决实际问题，是圆的有关计算中的一个重要问题。
（二）教学目标1、知识目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。
2、能力目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.3、情感与价值目标：经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.（三）教学重点、难点重点：让学生经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题.难点：探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.二、教法设想在本节课教学中，我从学生思维的起点出发，突出教师为主导、学生为主体的教学原则，在组织教学中，我主要采用了多媒体教学和自主探究法，让学生在老师的引导下提出问题，自主探索、合作交流，收获新知；通过尝试应用，巩固实践，来深化新知，感受收获的喜悦。
三、学法研究教学中重视指导学生掌握一些最基本的学习方法和数学思想。
通过本节课的教学，让学生学会观察分析、自主探索、总结归纳的学习方法，掌握转化思想，培养学生的空间想象能力，充分调动学生自己动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论，鼓励他们尝试自己完成解题过程，大胆展示自我。
24.4.1弧长和扇形面积
24.4.1弧长和扇形的面积（一）麻城集美学校 曹绪鹍教学目标知识与技能：了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．过程与方法： 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点:探索弧长及扇形面积计算公式,会用公式解决问题．教学难点:弧长及扇形面积计算公式及其应用．教学时数：3课时教学过程第一课时一、课前预习：预习教材P110——113二、创设问题情境，引入新课问题: 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．三、新课讲解1、复习（1）．圆的周长如何计算？(2)．圆的面积如何计算？(3)．圆的圆心角是多少度？．2、探索弧长的计算公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米？(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米？(3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l ＝180n R π． 下面我们看弧长公式的运用．四、例题讲解例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即 AB 的长(结果精确到0.1mm)．分析：要求管道的展直长度，即求 AB 的长，根根弧长公式l ＝180n R π可求得 AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径．解：R ＝40mm ，n ＝110．∴ AB 的长＝180n πR ＝110180×40π≈76.8mm ． 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．探究：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，1°的圆心角对应的扇形面积为2360R π，n °的圆心角对应的扇形面积为n ·22360360R n R ππ=． 因此扇形面积的计算公式为S 扇形＝o 3602R n π，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角． 弧长与扇形面积的关系：我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n °的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．∵l ＝180n πR ，S 扇形＝360n πR 2， ∴360n πR 2＝12R ·180n πR ． ∴S 扇形＝12lR ． 扇形面积的应用例、扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB ＝120°，求 AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R 和圆心角n 即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．解： AB 的长＝120180π×12≈25.1cm ． S 扇形＝120360π×122≈150.7cm 2． 因此， AB 的长约为25.1cm ，扇形AOB 的面积约为150.7cm 2．五、课时小结本节课学习了如下内容：1．探索弧长的计算公式l ＝180n πR ，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S ＝360n πR 2，并运用公式进行计算；3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．六、课堂作业：《练习册》P52——55补充：如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB的长为6π cm， CD的长为10π cm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．教学反思：第二课时（练习课）内容：《练习册》P52——55第三课时（讲评课）内容：《练习册》P52——55。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。
24.4弧长和扇形面积--4.1 弧长公式和扇形面积公式(共27张PPT)
和
所围成的图形叫做扇形，可
以发现，扇形面积与组成扇形的圆心角
的大小有关，圆心角越大，扇形面积也
就越大．
怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？
12
知识点二：与扇形面积有关的计算
新知探究
由扇形的定义可知，扇形面积就是 圆面积的一部分.
想一想，如何计算圆的面积? S=πR2
圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形的面积?
O · 1°
n°
R
13
知识点二：与扇形面积有关的计算
归纳总结
圆心角为n°的扇形面积是:
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
l=
14
知识点二：与扇形面积有关的计算
典例讲评
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm， 其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.
解析：弓形的面积 = S扇 - S△OAB
【解析】由弧长公式，可得弧AB的长
l
（mm）
因此所要求的展直长度
l
（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
7
知识点一：与弧长有关的计算
学以致用
1.如图，A，B，C是圆周上的三点， ∠BAC＝30°，且弧BC的长是 π， ⊙O的半径为( A )
A.1 B.2 C.1.5 D.3 2.如图，在边长为1的正方形组成的网 格中，△ABC的顶点都在格点上，将 △ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点 A所经过的路径长为( C ) A.10π B. C. π D.π
形的面积是
㎝2.
解析：设扇形的半径为R，根据题意得
135πR 180
Байду номын сангаас
=3π
42a 24.4.1弧长和扇形面积
24.4.1弧长与扇形面积【学习目标】1、了解扇形的概念，经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程2、理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【重点、难点】重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式难点：探索弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【学习过程】一、情境引入［问题］制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图24-4-1所示的管道的展直长度（结果精确到l mm）请同学说出你解决本问题思路?计算中的困难是什么?知识回顾设圆的半径为R,则1.圆的周长C公式是_______________2.圆的面积S公式是_______________3、什么叫弧长？________________________________________________________二、探索新知(一)探索弧长公式请同学们思考完成下题：设圆的半径为R,则1.圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧.2.01的圆心角所对的弧长是___________.3.02的圆心角所对的弧长是___________.4.04的圆心角所对的弧长是 ____5. 0n 的圆心角所对的弧长是 __ 根据同学们的解题过程，我们可得到弧长公式： 0n 圆心角所对的弧长公式问题解决： 请你利用公式解决本节开始中的“弯形管道”问题。
(一)探索扇形公式问题（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m 的绳子，绳子的另一端拴着一头狗，如图24-101所示 （1）这条狗能活动的最大活动区域有多大？（2）如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域有多大？如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域应该是0n 圆心角的两个半径和0n 圆心角所对的弧所围成的圆的一部分.定义: 像这样．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．请同学们结合圆的面积S=π2R 的公式，独立完成下题：1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.2.设圆的半径为R. 01的圆心角所对的扇形面积S=3. 设圆的半径为R, 04的圆心角所对的扇形面积S= ……4. 设圆的半径为R, 0n 的圆心角所对的扇形面积S= 因此，在半径为R 的圆中，0n 的圆心角所对的扇形面积公式三、学以致用【例2】 扇形面积为300π，圆心角为30°，求扇形半径．【例3】 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．能力拓展1、 如图，在半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O ′中，它们外切于B ，∠AOB=40°．AO ∥CO ′，求曲线ABC 的长．2、 如图，等腰直角三角形ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，求图中阴影部分的面积．四、归纳小结 本节课应该掌握： 1、0n 的圆心角所对的弧长 l=180Rn π. 2、扇形的概念3、扇形面积 3602R n S π=4、运用以上内容解决具体问题五、课堂小测 诊断检测一1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____度.2.如图，有一弓形钢板ACB ，的度数为120°，弧长为l ，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_____.第2题图3.如图，两个半圆中，长为6的弦CD 与直径AB 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.4.如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 A.4－πB.8－πC.2(4－π)D.4－2π5.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R ，则它的弧长增加 A.360R π B.Rπ180C.Rπ360D.180Rπ 6.设三个同心圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，且r 1>r 2>r 3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r 1∶r 2∶r 3为A.3∶2∶1B.9∶4∶1C.2∶3∶1D.3∶2∶17.如图，一块边长为8 cm 的正三角形木板ABC ，在水平桌面上绕点B 按顺时针方向旋转至 A ′BC ′的位置时，顶点C 从开始到结束所经过的路径长为(点A 、B 、C ′在同一直线上)A.16πB.38π C .364π D.316π诊断检测一答案：1.120 2.l 433.29π4.A5.D6.D7.D第2题图第4题图第3题图诊断检测二1.在半径为R 的圆中，一条弧长为l 的弧所对的圆心角为（ ） A.lR180π度 B.R l π180度 C.180Rlπ度 D.Rlπ180度 2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为A.800π cm 2B.500π cm 2C.3800π cm 2D.3500π cm 23.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是（）A.8πB.6πC.4πD.2π4.已知如图，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则和的长度比为（ ）A.1∶1 B .3∶2 C.3∶5 D.9∶25 5.如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ）A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)DEEF第4题图第3题图第2题图6.已知：如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，若PA =2 cm ，PC =1 cm ，怎样求出图中阴影部分的面积S ？写出你的探求过程.诊断检测二答案：1.B2.C3.C4.C5.C6.解：∵PA 为切线，连接AC , ∴△PAC ∽△PBA . ∴PA 2=PC ·PB . ∴PB =4.∴AB =3222=-PA PB . ∴OA =3. ∴∠B =30°. 连接O C . ∴∠AOC =60°,S 扇形OAC =23603602ππ=⋅⋅, S △OBC =.43323321=⨯⨯ ∴S 阴=S △APB －S 扇OAC －S △OBC =)2345(π- cm 2.六、布置作业 课本P122 练习 第1、2题第6题图。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
24.4 第1课时 弧长和扇形面积 初中数学人教版九年级上册教学课件
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，
垂足为＝0.3 m， ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m. ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC，
O.
AD
B
C (3)
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.
∴ ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
判一判 下列图形是扇形吗？
×
×
√
× √
合作探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
r
S πr2
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几， 具体是多少呢?
r
180°
O
r 90°
O
r 45°
O
n°
r
O
圆心角占 周角的比例
180 360 90 360
45 360
n 360
知识要点
弧长公式
l n 2πR nπR
360
180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表 示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4， 则弧长为_43__π_.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.
扇形面积占 圆面积的比例
180 360
＝
1 2
90 360
＝
1 4
45 360
＝1
8
n
360
扇形的 面积
1 πr 2 2
1 πr 2 4 1 πr2 8
n πr2 360
知识要点 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
人教版九年级数学上册第24章 圆 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =
=
教师讲评
知识点1．弧长（重点）
n°的圆心角所对的弧长为l= .
知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =
,
=
, ∠
= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×
− × ×
×
= −
.
弧长和扇形面积2
自学指导2
认真阅读p111的例1注意解题 格式
巩固练习
课本P112练习3．
尝试练习2
已知扇形的圆心角为120°,半径为2， 则这个扇形的面积为多少？
S扇形
S扇形
n R 120 2 4 360 3 360
2
2
n n 4 2 120 2 S圆 R ( 2 ) 360 360 360 3
3
例题回顾
1、如图，水平放置的圆柱形排水管道
的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m. 求截面上有水部分的面积（精确到 0.01m2）
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是0.6cm，其中水面高 0.9cm，求截面上有水部分的面积。 弓形的面积 = S 扇+ S △
A D E 0 B
当堂训练
l , R 3代入 3n nR l 180 180
2
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为 πcm,则该扇形的面积是______cm2,
n 60
2
S扇形
nR 60 3 3 360 360 2
3、已知半径为2的扇形，面积4 4 3 为 ，则这个扇形的弧长=____．
（1）公式中n的意义．n表示1°圆心角的 倍数，它是不带单位的； （2）公式要理解记忆（即按照上面推导 过程记忆）.
1.扇形的弧长和面积都由_______、_____决定 2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆 增大 心角的增大而______。
0的扇形面积是多少？ 3.圆心角是180
尝试练习2
圆心角是900的扇形面积是多少？ 圆心角是2700的扇形面积是多少？
24.4.1 弧长和扇形面积 (二）
人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》优秀教学案例
1.设计一系列问题，引导学生从已知知识出发，逐步探索和发现弧长和扇形面积的计算方法。
2.通过提问、答疑等方式，引导学生深入思考，激发学生的思维活力。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和批判性思维。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，让学生在讨论和交流中共同解决问题，提高学生的团队合作能力。
人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》，是在学生掌握了角的概念、圆周率以及圆的方程等知识的基础上进行学习的。通过学习弧长和扇形面积，使学生能够进一步理解圆的相关概念，提高解决实际问题的能力。
九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于圆的相关知识也有一定的了解。但是，学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对于弧长和扇形面积的计算方法容易混淆。因此，在教学过程中，我将以生活实际为出发点，引导学生通过观察、思考、交流、探究等方式，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法，提高学生的数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些日常生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、地球等，引导学生观察和思考这些物体与弧长和扇形面积的关系。
2.提出问题：“你们知道硬币的弧长是多少吗？圆桌的面积又是多少呢？”激发学生的求知欲。
3.总结：今天我们将学习弧长和扇形面积的计算方法，帮助大家解决这些问题。
（一）情景创设
1.生活情境：以日常生活中常见的圆形物体为例，如硬币、圆桌、地球等，引导学生观察和思考这些物体与弧长和扇形面积的关系。
2.问题情境：设计一些与弧长和扇形面积相关的问题，如计算硬币的弧长、计算扇形的面积等，激发学生的求知欲。
九年级上数学《24.4.1 弧长和扇形面积》课件
在田径二百米比赛中，每位运动员 的起跑位置相同吗？
不同
制造弯形管道时，怎样才能精确用料？
700mm
● A
B ● 700mm
● C
R=900m 100 m ° O
j
● D
教学目标
【知识与能力】
• 会计算弧长及扇形的面积. • 会计算圆锥的侧面积和全面积，并能用这些 知识解决相关问题. • 知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系.
例题
某传送带的一个转动轮的半径为10cm。 （1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送 多少厘米？ （2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送 多少厘米？ （3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送 多少厘米？
解：（1）转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送 2 10 20cm ；
20 被传送 cm ； 360 18
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A
20 n 被传送 n cm 。 360 18
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A
举一反三
（1）弧长公式涉及三个量， 弧长、圆心 角的度数、 弧所在的半径，知道其中两个量， 就可以求第三个量。 （2）当问题涉及多个未知量时，可考虑 用列方程组来求解
扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧所围成的图形叫扇形．
（1）如图（1），这只狗的最大活动区域 是圆的面积，即9π； （2）如图（2），狗的活动区域是扇形， 扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆 1 面积，1°的圆心角对应圆面积的 ，即
1 n 9 ，n°的圆心角对应的圆面积 n 360 40 40 40
360
课堂小结
知识要点
R 扇形面积公式 . n°
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所 对的扇形面积的计算公式为：
24.4__弧长扇形面积和圆锥
问题 3：如何计算圆锥的侧面积？
若设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 的弧长为 ，扇形的面积是 ，可见，圆锥的侧面积是 。 得出：圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧=πrl 问题 4：如何计算圆锥的全面积？ 得出：圆锥全面积=侧面积+底面积。 三、运用新知 例 1、已知圆锥的母线长为 13cm，高 12cm，求它的底面半径。
主备人姓名：徐晓红
圆锥的侧面积和全面积
教师个性设计
辅备人姓名：
教学目标： 教学目标： 1、 会求圆锥的侧面积和全面积，并能解决一些简单的实际问题。 2、 经历圆锥侧面积的探求过程。 3、 在探究问题解决的过程中，培养学生的探索精神和合作能力。 教学重点与难点： 教学重点与难点： 重点：圆锥的侧面积 难点：综合运用圆锥、圆柱的有关计算。 教学过程： 教学过程： 一、复习引入 1、 圆柱的侧面展开图是什么？如何计算圆柱的侧面积？如何计算圆柱的全面积？ 2、 在生活中，我们见过烟囱帽子，如图，它是一个圆锥形的烟囱帽。怎样计算圆锥的 侧面积呢？
二、探究新知 1、弧长公式的探求 （1）圆周长的计算公式是怎么样的？ （2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ （3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？ 结论：在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 l= 2、弧长公式的运用
nπ R 。 180°
说明：计算类似这种管道的展直长度，一般是计算中心线的展直长度。
三、巩固练习 1、书本第 122 页的练习 1、2 2、你现在懂得小明和小刚不在同一个地方起跑的原因了吧。
四、课堂小结 一个概念：扇形 三个公式：一个弧长公式，两个扇形面积公式。 学会转化：把阴影部分的面积转化为扇形面积和三角形面积的和或差。
九年级上册数学24.4.1--弧长和扇形面积优质课教学设计
教学过程设计1）圆面积S=πR 2；（2）圆心角为1°的扇形的面积： （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n 倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积 = ． 归纳：若设⊙O 半径为R ，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形，则扇形面积公式 S 扇形=2应用： 已知扇形的圆心角为120°,半径为2，则这个扇形的面积为多少？⑴已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇 ； ⑵已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____ （3）已知半径为2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S 扇= （4）⊙A, ⊙B, ⊙C 两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长的和为多少? 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m ）（三）弧长公式与扇形面积公式的关系问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到三、自主探究1、如图，⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C 、 ⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积？ ABCD落实性，以便发现问题和及时解决问题。
教师引导学生类比弧长公式的推导方法尝试探究扇形面积公式学生独立思考，尝试解题，之后师生交流思路和解法，进一步加深对扇形面积公式的认识.学生比较两个公式，找它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总 学生类比推导扇形面积公积公式通过分析，引导学生将复杂问题转化为简单的问题，体现化归思想，同时，理解数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．运用所学公式迅速、正确解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用知识解题的能力． 归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高lR S 21 扇形2、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于O ABC四、小结归纳1弧长公式2扇形面积公式3弧长公式与扇形面积公式的关系五、作业设计教材124--125页，习题24.4第3、7题补充：如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为板书设计课题弧长公式应用扇形面积公式关系定理应用应用弧长公式与扇形面积公式的关系归纳教学反思补充题。
24.4.1弧长和扇形面积
O
A
4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ，分别 以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相 切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积 S.
5.一块等边三角形的木板,边长为1,现将 木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开 始至B2结束所走过的路径长度________. (07年湖北)
B1 B2
B B1 F'
B
●
U A C B D E F B2
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15 米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木 桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着 一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多 少？ B
A
.
D E
C
再 见
O
例 1 、制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道 的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 100 900 500 1570（mm）
180
（mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交 AC与B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧所围成的图形叫扇形．
A O
B
n° o
（1）半径为R的圆,面积是多少？ S=π R2 （2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形？ （3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》是学生在学习了角的度量、圆的性质、圆的周长等知识的基础上，进一步探究圆的弧长和扇形面积的计算。
这一节内容不仅是前面学习内容的延续，也为后面学习圆锥、圆柱等几何体提供了基础。
教材通过生活中的实例，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作、探究活动等，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。
2.掌握弧长和扇形面积的计算公式。
3.能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算公式。
2.难点：弧长和扇形面积公式的推导过程。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题，探究弧长和扇形面积的计算方法。
2.利用几何画板等软件，直观展示弧长和扇形的计算过程，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中交流、讨论，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件。
2.准备一些实际的例子，用于引导学生探究。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如自行车轮子的周长，引出弧长的概念。
提问：如何计算这个弧长？引导学生思考，为下面的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示一个圆的扇形，让学生直观地感受弧长和扇形面积的计算过程。
通过软件的动态演示，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用准备好的实际例子，计算弧长和扇形面积。
24.4.1弧长和扇形面积
O· R
1°
n°
1 2 2 R ， 1°的圆心角所对的扇形面积是 360
圆心角为n°的扇形面积是
S扇形
nR . 360
2
随堂训练 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个
4 扇形的面积S扇形=____. 3
1 2、已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个 3
扇形的半径R=____ 2 ．
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展 直长度”（图中虚线成的长度），再下料，这就 涉及到计算弧长的问题．
A
700mm
R=900mm
100°
B
700mm
C
D
如 何 求 AB 长 ？
想一想
如图，由组成圆心角的两 条半径和圆心角所对的弧所 围成的图形叫做扇形，
A O ·n°
R
可以发现，扇形面积与组 成扇形的圆心角的大小有关， 圆心角越大，扇形面积也就 越大．
扇形的弧长与扇形面积的关系为：
S 扇形
1 lR 2
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
例题讲解
例1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的 面积（精确到0.01m2）. 解：如图，连接OA、OB，作弦
AB的垂直平分线，垂足为D，交 AB
于点C．
4 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ， 3 4 cm 2 则这个扇形的面积是_________ ． 3
Hale Waihona Puke 思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为no ，那么扇 形面积的计算公式为：
nr r 1 n 2 lr s r 180 2 2 360
第二十四章圆 24.4 第1课时
课前预习
1. 圆心角为60°，半径为2 cm的扇形的弧长是 __________cm. 2. 已知扇形的半径为3 cm，面积为6π cm2，则该扇形 的弧长等于___4_π___c_m__ .
3
课堂讲练
典型例题
知识点1：弧长的计算 【例1】 在半径为6 cm的圆中，求120°的圆心角所对 的弧长.
解：（1）∵弧长l=
=20ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
∴r=
=24（cm）.
（2）扇形面积= lr= ×20π×24=240π（cm2）.
10
课堂讲练
3. 如图24-4-3，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB， ∠CAD=30°，求阴影部分的面积. （结果保留π） 解：如答图24-4-2所示，连接OC,OD. ∵∠CAD=30°，∴∠COD=60°. ∵AB∥CD，∴S△ACD=S△COD ∴阴影部分的面积=S弓形CD+S△ACD=扇形OCD的面积=
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积（一）
1
课前预习
A. 弧长及扇形面积公式： （1）弧长公式：__________（其中n为弧所对的圆心角 的度数）； （2）扇形面积公式：______________或_____=____l_R__ （其中n为弧长所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长， R为半径）.
A. 175π cm2
C.
cm2
B. 350π cm2 D. 150π cm2
13
分层训练
3. 如图24-4-6，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为 90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ A ） A. π-2 B. π-4 C. 4π-2 D. 4π-4 4. （2017菏泽）一个扇形的圆心角为100°，面积为 15πcm2，则此扇形的半径长为__________.
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达标训练
基础·巩固·达标
1．在半径为1的⊙O 中，1°的圆心角所对的弧长是__________.
提示：半径为1的⊙O 的周长为2π，所以1°的圆心角所对的弧长是︒
∏
180.
答案：
︒
∏180
2.⊙O 中，半径 r =30 cm ，的长度是8π cm ，则
所对的圆心角是_________.
提示：利用公式l=
180
r
n ∏解方程. 答案：48°
3.在半径为6 cm 的圆中，圆心角为40°的扇形面积是__________cm 2
.
提示：由扇形面积公式直接可得.
答案：4π
4.扇形的面积是5π cm 2
，圆心角是72°，则扇形的半径为___________cm.
提示：因为S 扇形=
360n πR 2
，所以R=∏
∏⨯=∏725360360n s =5(cm).
答案：5
5.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2 km ，一列火车以每小时28 km 的速度经过10s
________度.（π取3.14，结果精确到0.1度）
提示：由弧长公式得28×1802360010⨯∏n ＝，解得n=∏
7
≈2.2.
答案：2.2
6.在半径为1的⊙O 中，弦AB=1，则
A.
6
∏
B.
4∏ C.3
∏ D.
2
∏
提示：易知△OAB 是等边三角形，故圆心角是60°.
答案：C
7.已知100°的圆心角所对的弧长l =5π，则该圆的半径r
A.7
B.8
C.9
D.10 提示：利用l=
180
r
n ∏解方程即可. 答案：C
8.如果扇形的圆心角为150°，扇形面积为240π cm 2
A.5π cm
B.10π cm
C.20π cm
D.40π cm
提示：由
360150πr 2
=240π，解得r=24.又由S=21lr ，得240π=2
1l ×24，得l=20πcm.
答案：C
9.如图24-4-6，正三角形ABC 内接于⊙O ，边长为4 cm ，求图中阴影部分的面积.
图24-4-6
.提示：图中阴影部分为弓形，因此应求出扇形AOC 的面积和△AOC 的面积，所以关键是求圆心角及⊙O 的半径.本题考查组合图形的求法，扇形面积公式等. 解：连接BO ，并延长交AC 于E ，则BE ⊥AC ，AE =2
1
A C =2 cm ，连接OA 、OC . ∵△ABC 为正三角形，∴∠AOC =
3
360︒
=120°，∠AOE =60°
. 在Rt △AEO 中，OA =
33
42
3
260sin =
=︒AE （cm ），OE =21OA =332（
cm
∴S 扇形AOC =3
3
433242121,9163343601203602
2=⨯⨯=⋅=∏=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∏=∏∆OE AC S R n AOC . ∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-∏334916cm 2
. 10.如图24-4-7，等腰直角三角形ABC 的斜边AB =4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半
圆分别与两直角边相切于点D 、E ，求图中阴影部分的面积
.
图24-4-7
提示：阴影部分面积可以看成是一个小直角三角形与一个扇形面积的差的2倍；或者是大直角三角形与半圆面积的差.
解法一：由题意知，AC =AB ·cos45°=22，连接OE ，则OE ⊥BC . ∵∠C =90°，∴OE ∥AC .
又∵OA =OB ，∴OE =BE =EC =
21AC =2. ∴S 阴=2（S △OBE -S 扇形OEF ）=2-2∏
. 解法二：由对称性知，S 阴=41（S 正方形-S ⊙O ），∴S 阴=41［(22)2-π(2)2
］=2-2
∏.综合
·应用·创新
11．（经典回放)如图24-4-8，在两个同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120
°，
A.4π
B.2π
C.43π
D.
π
图24-4-8 图24-4-9
提示：S 阴影=
360
240π（R 2-r 2
）=32π×（4-1）=2π.
答案：B
12．如图24-4-9，是赛跑跑道的一部分，它是由两条直线和中间半圆形弯道组成的.若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1.22米，则外跑道的起点应前移_________米.（π取3.14，结果精确到0.01米） 提示：本题是一个实际应用题，应将其转变为几何图形.事实上，外跑道中间的弯道比内跑道的弯道长的长度，即为外跑道的起点应前移的长度.理解题意，求出两弯道的长度差即可.
为πR 外-πR 内=π（R 外-R 内）=1.22
π≈3.83（米），所以外跑道的起点应前移3.83米. 回顾·热身·展望
13．（经典回放）半径为3 cm ，圆心角为120°的扇形的面积为
A.6π cm 2
B.5π cm 2
C.4π cm 2
D.3π cm 2
提示：直接利用扇形面积公式计算.
答案：D
14．（ 2010北大附中下学期调研） 如果圆锥底面圆的半径是8，母线的长是20，那么这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数是___________. 提示：利用扇形面积公式.
答案：144°
15.( 甘肃平凉模拟) 如图24-4-10，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为
__________.
图24-4-10
提示：三个阴影部分可拼成一个圆心角为90°，半径为1的扇形，求这个扇形的面积即可.
答案：
4
16.(辽宁大连模拟) 图24-4-11，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是_________.
图24-4-11
提示：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，则把阴影部分拼在一起构
成一个大半圆（如图），而大圆的半径为2，所以阴影部分的面积为：
2
1π×22
=2π.
答案：2π
17.(福建泉州省级课改试验区模拟 )下面让我们来探究生活中有关粉刷墙壁时，刷具扫
过面积的问题（π≈3.14）（如图24 -4-12）. （1）甲工人用的刷具是一根细长的棍子（如图①），长度AB 为20 cm （宽度忽略不计），他用刷具绕A 点旋转90
（2）乙工人用的刷具形状是圆形（如图②），直径CD 为20 cm ，点O 、C 、D 在同一直线上，OC =30 cm ，他把刷具绕O 点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
图24-4-12
提示：甲工人刷的面积是一个半径为20 cm ，圆心角为90°的扇形的面积；乙工人刷的面积
是两个半径分别为50 cm 和30 cm ，圆心角为90°的扇形面积的差.
解：（1）甲工人用刷具扫过的面积是：360
20902⨯∏=314（cm 2
）.
（2）乙工人用刷具扫过的面积是：()360
3090-36030209022
⨯∏+∏=1 256（cm 2
）.。