2020年清华大学丘成桐数学英才班招生考试复试笔试试题全

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2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷

2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知x 2+y 2⩽1，求x 2+xy −y 2的最值．2、【来源】设a ，b ，c 均为大于零的实数，若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根，则（）． A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1，|b →|⩽1，|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|，则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中，AC =1， BC =√3，AB =2，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使得三棱锥B −ACM 的体积为√212，则折起后AB 的长可以为（）．A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点，A(1,0)，B(1,1)，求|PA|+|PB|的取值范围．6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点，A(−2,0)，B(2,0)，令∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是()A. tan⁡αtan⁡βB. tan⁡α2tan⁡β2C. S△PAB tan⁡(α+β)D. S△PAB cot⁡(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中，BC=AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥BP，下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第3题已知集合A，B，C⊆{1,2,3,⋯,2020}，且A⊆C，B⊆C，则有序集合组(A,B,C)的个数是（）．A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第4题已知数列{a n }满足a 0=1，|a i+1|=|a i +1|(i ∈N )，则A =|∑a k 20k=1|的值可能是（）． A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第6题已知△ABC 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则|AB |的值可能是（）． A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了．”，乙说：“甲做对了．”，丙说：“我做错了．”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =√3，BC =1，PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的是（）．A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE （A 可以为0），则396|ABCDE 的概率是（）． A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第12题随机变量X (=1,2,3,⋯)，Y (=0,1,2)，满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3)，则E (Y )=（）． A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第14题若存在x ，y ∈N ∗，使得x 2+ky ，y 2+kx 均为完全平方数，则正整数k 可能是（）． A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第15题求值：sin⁡(arctan⁡1+arccos⁡√10+arcsin⁡√5)=（）．A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第16题已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）．A. cos⁡α+tan2⁡β=1B. secα+tan2⁡β=−1C. cos⁡α+2tan2⁡β=1D. secα+2tan2⁡β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sin⁡x，x∈[−2,2]，则f(x)上下界之和为．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第18题已知函数f(x)的图象如图所示，记y=f(x)，x=a，x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t)，则下列说法正确的是（）．A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n }，若∀n ∈N ∗，∃m ∈N ∗，使得S n =a m ，则称数列{a n }为“某数列”，以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2，数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ，k 为常数，则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ，且对于任意n ∈N ∗，|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n }，存在“某数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第20题求值：∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =（）．A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5)，则（）． A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数，且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1，则f(x)的常数项的最小值为（）． A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上，小赵、小钱、小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》陈列在第四层，则（）．A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3，且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0，则t的取值范围是（）．A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a，b满足a3+b3+3ab=1，设a+b的所有可能取值构成的集合为M，则（）．A. M为单元素集B. M为有限集，但不是单元素集C. M为无限集，且有下界D. M为无限集，且无下界28、【来源】设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为（）． A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α，β为锐角，且cos⁡(α+β)=sin αsin β ，则tan⁡α的最大值为（）． A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点，则a 2+b 2的最小值为（）． A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3，令z 1=z 2−2z+2z−1+i，则|z 1|的（）．A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）． A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1，x 2，⋯，x 21满足0⩽x i ⩽1（i =1,2,⋯,21），则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为（）． A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ，y ，z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1，则（）．A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ，y ，z 均为有理数D. x ，y ，z 均为无理数35、【来源】使得nsin⁡1>1+5cos⁡1成立的最小正整数n 的值为（）． A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，若|z 1|=1，5z 12−2z 1z 2+z 22=0，则△OZ 1Z 2的面积为（）．A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页，共11页。

2020年清华大学强基计划招生考试数学试题

2020年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知122≤+y x ，22y xy x -+求的最值_________.2.非等边三角形ABC 中，AC BC =，P O ,分别为ABC ∆的外心和内心，D 在BC 上BP OD ⊥，下列选项正确的是（）.A.C.3.,B A 4.0=a A.A C.A 5.P 6.∆A.17.P 4β，下列为定值的是（）.A.βαtan tanB.2tan 2tanβαC.()βα+∆tan PAB S D.()βα+∆cos PAB S 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）.A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC0=+PC PB PA ，以下说法正确的是（）.A.︒=∠120APBB.︒=∠120BPC C.PCBP =2 D.PCAP 2=10.∞→n lim A.π4311.从39612.望()Y E 13.A.214.y x ,A.x 2+B.x y y x 4422++与可以均为完全平方数C.x y y x 5522++与可以均为完全平方数D.x y y x 6622++与可以均为完全平方数15.⎪⎭⎫ ⎝⎛++51arcsin 103arccos 1arctan sin =_________.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为α，侧棱与底面夹角为β，问一个βtan 与αcos 的关系，设高为h ，底面边长为a ，余弦定理刻画αcos 即可.17.()x ee e xf x x xsin 2++=-，[]2,2-上()x f 上下界之和为_________.18.()x f 的图像如图所示，()t x a x x f ==,与直线，x 轴围成图形的面积为()t S ，问()t S '的最大值为_________，()x f '的最大值为__________.19.定义数列{}n a ，若*N n ∈∀，*N m ∈∃，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下正确的是（）.A.{11222=≥-=n n n n a ，，，数列{}n a 为“某数列”B.kn a n =，k 为常数，则{}n a 为“某数列”C.忘记了D.任意的等差数列{}n a ，存在“某数列”{}n b ,{}n c ，使nn n c b a +=。

丘成桐数学英才班招生简章

丘成桐数学英才班招生简章一、机构与原则“丘成桐数学英才班”招生工作在清华大学招生工作领导小组的领导下，由清华大学招生办公室负责具体工作的组织和实施。

“丘成桐数学英才班”招生工作按照公平公正、宁缺毋滥的原则择优确定入围名单、录取名单，学校纪检监察部门全程监督，并接受社会监督。

二、招收对象及申请条件1.符合2023年统一高考报名条件的普通高中三年级毕业生，以及普通高中二年级在读学生；2.爱国爱党、崇尚科学、身心健康、成绩优秀、创新潜力突出并有志于从事数学研究，且在中学期间表现出有数学潜质和特长的学生。

三、招生专业“丘成桐数学英才班”2023年招生的学生，录取至清华大学“数学与应用数学”专业，且本科阶段原则上不得转入其他专业。

四、申请办法学生需进行网上报名，在报名系统中填写申请表，填写完成后请将申请表进行打印，经所在中学核实加盖中学公章，扫描上传后提交（申请材料无需邮寄）。

请按照以下要求网上填写并提交申请材料：1. “学历信息”需提供可证明学生学籍中学、就读中学及所在年级的证明材料。

2. “标准化考试成绩信息”作为学生学术能力的重要体现，建议提供中学生标准学术能力测试等成绩，请上传认证成绩单的扫描件或照片。

3. “中学成绩信息”需由中学审核盖章以证明成绩真实。

4. “附加信息”需逐项填写，并上传相应的证明材料的扫描件或照片。

具体包括：（1）数学相关特长及获奖情况；（2）中学阶段物理、化学、生物、信息学奥林匹克竞赛获得的省级（含）以上奖项情况；（3）丘成桐中学生科学奖、丘成桐女子中学生数学竞赛及丘成桐中学生数学夏令营获奖情况；（4）中学阶段参与的科学研究和创新实践情况；（5）中学阶段获得的校级（含）以上个人荣誉情况等。

5. “申请理由”是初审的重要参考，请认真并据实填写（限800字）。

五、选拔程序1.初评：专家组对学生数学特长、平时表现、学术研究、创新潜质等方面进行综合评审，初评结果将在报名系统内公布。

2023北大数学英才班招生简章

2023北大数学英才班招生简章11月30日，清华大学公布2023年“丘成桐数学英才班”招生办法，最大的变化是取消多年“招收不超过30人”的限制，这意味着丘成桐数学英才班或将大幅度扩招。

当前，由清华大学求真学院牵头负责的有丘成桐数学科学领军人才培养计划、丘成桐数学英才班，定位略有不同。

领军人才计划主要针对初三年级到高二的学生，采用“‘3+2+3”本硕博衔接培养模式，为未来数学及相关领域培养领军人才，成功入围的国内学生无需参加高考即可被单独录取，招生人数达到100人。

丘成桐数学英才班主要面向高三和高二的在读学生，要求在中学期间表现出有数学潜质和特长并有志于从事数学研究，获得入围认定的学生应当进行高考报名，达到录取要求后由清华单独录取，录取到“数学与应用数学”专业，且本科阶段原则上不得转入其他专业。

从上述招生情况来看，丘成桐数学英才班的主要竞争对象是北京大学数学英才班，而丘成桐数学科学领军人才的对象类似于中科大的少年班。

从2018年5月发布数学英才班招生计划以来，清华大学一直严格限制招生人数，如第一年仅招收15人，从2019年起到2022年，招生人数也限制在30人以内，2023年的招生计划首次取消的30人的限额。

面对清华大学两大数学尖子班招生计划，一直排名数学第一的北京大学不甘示弱，在2021年9月公布的2022年“数学英才班”招生报名活动中，招生对象取消了原来高二和高三的限制，招生计划人数则从往年的30人大幅扩招至100人。

根据北京大学10月底公布的数据，2022年北大数学英才班实际录取人数增加到了98人，是往年30人的3倍多，这些同学来自19个省份，其中38%来自高二年级，8%来自高一年级，从而实现了招生人数和招生范围的双扩。

为扩大影响力，北京大学还举行了声势浩大的导师见面会，包括“数学天才”之称的韦东奕和其他10位数学教师被聘为数学英才班导师，北大官微以《北大数学英才班，欢迎新同学》为题，首次对数学英才班进行大规模的宣传报道。

丘成桐英才班考试范围

丘成桐英才班考试范围全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、数学1. 初等数论：包括整数、有理数等基本概念的考察，以及一些中级数论题目的解答。

2. 数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列等常见数列的求和公式，以及数列与数学归纳法在解题中的应用。

3. 平面几何：包括角度、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和相关定理的考察。

4. 进阶数学：包括微积分、线性代数等高阶数学概念和定理的考察。

5. 竞赛数学：包括奥赛数学中的高难度题目和解题技巧的练习。

二、物理1. 力学：包括牛顿三大定律、摩擦力、弹簧力等力学知识和题目。

2. 热学：包括热力学、温度、热平衡等热学基础知识和问题。

3. 电磁学：包括电场、磁场、电流等电磁学基础知识和问题。

4. 光学：包括光的传播、反射、折射等光学知识和问题。

5. 现代物理：包括相对论、量子力学等现代物理领域的知识。

三、信息学1. 基本算法：包括排序算法、查找算法等常见算法的实现和应用。

2. 数据结构：包括链表、树、图等数据结构的基本概念和应用。

3. 计算机原理：包括计算机组成原理、操作系统、编程语言等计算机基础知识。

4. 算法设计：包括贪心算法、动态规划、回溯法等高级算法设计和分析。

5. 程序设计：包括编程能力、程序调试、算法实现等计算机编程技能的练习。

以上是丘成桐英才班考试范围的主要内容，学生们需要在这些领域取得一定的基础才能进入这个特殊的班级学习。

通过参加丘成桐英才班的学习，学生们将能够更好地提高自己的数学、物理和信息学能力，为未来参加奥赛比赛和科研工作打下坚实基础。

希望学生们在这个班级的学习过程中，不断努力，不断挑战自己，取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：【丘成桐英才班考试范围】丘成桐英才班作为国内著名的数学培训机构，向来以其严格的教学标准和高质量的教育服务而闻名。

对于学生来说，通过丘成桐英才班的培训，不仅可以提高数学水平，更可以为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。

2022年清华大学自主招生试题数学含解析

一、选取题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=( ) (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 焦点 (D)O 到直线AB 距离不大于等于14.设函数()f x 定义域为(-1,1),且满足:①()f x >0,x ∈(-1,0);②()f x +()f y =()1x yf xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有( )(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有( ) (A)b=2a (B)△ABC 周长为3 (C)△ABC 23(D)△ABC 237.设函数2()(3)xf x x e =-,则( )(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一种实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则( )(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 最小值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则( )(A){n a }也许为等差数列 (B){n a }也许为等比数列(C){n a }任意一项均可写成{n a }两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S 11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测:4道或5道选手得第一名;观众乙猜测:3道选手不也许得第一名;观众丙猜测:1,2,6道选手中一位获得第一名;观众丁猜测:4,5,6道选手都不也许获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛成果,此人是( )(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 距离为( )(A)13 (B)23(C)213.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所示区域为D,其面积为S,则( )(A)若S=4,则k 值唯一 (B)若S=12,则k 值有2个 (C)若D 为三角形,则0<k ≤23(D)若D 为五边形,则k>4 14.△ABC 三边长是2,3,4,其外心为O,则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=( ) (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立,且P(B)=0.5,P(A −B)=0.2,则( )(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 重心作直线将△ABC 提成两某些,则这两某些面积之比( ) (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形顶点中选出3个构成钝角三角形,则不同选法有( )(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r,使得圆周222x y r +=上正好有n 个整点,则n 可以等于( ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|,则( ) (A)|z|最大值为1 (B)|z|最小值为13 (C)z 虚部最大值为23 (D)z 实部最大值为1320.设m,n 是不不大于零实数,a =(mcosα,msinα),b =(ncosβ,nsinβ),其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β),记θ=α−β,则( )(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足:1a =6,13n n n a a n++=,则( ) (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠(C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中,下列方程表达图形是椭圆有( )(A)ρ=1cos sin θθ+ (B)ρ=12sin θ+ (C)ρ=12cos θ- (D)ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+,则( )(A)()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 三边分别为a ,b,c,若△ABC 为锐角三角形,则( ) (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 定义域是(−1,1),若(0)f =(0)f '=1,则存在实数δ∈(0,1),使得( )(A)()f x >0,x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1,x ∈(0,δ) (D)()f x >1,x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中,已知A(−1,0),B(1,0)．若对于y 轴上任意n 个不同点k P (k=1,2,…,n),总存在两个不同点i P ,j P ,使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13,则n 最小值为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1,则)(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为1328.对于50个黑球和49个白球任意排列(从左到右排成一行),则( )(A)存在一种黑球,它右侧白球和黑球同样多 (B)存在一种白球,它右侧白球和黑球同样多 (C)存在一种黑球,它右侧白球比黑球少一种 (D)存在一种白球,它右侧白球比黑球少一种 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字构成五位数,其中有两个数字各用两次,例如12231,则能得到不同五位数有( )(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0,则( ) (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+-- =212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()33sin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )6622i i ππ++-=1,选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d,与公差d 符号关于,选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅==≥=2,对的;答案(B),|OA|+|OB|≥2≥2,对的;答案(C),直线AB 斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程,错误;答案(D),原点到直线AB:(111x x -)x-y+1=0距离≤1,对的。

16岁就被清华录取,本硕博连读,究竟怎么回事

16岁就被清华录取，本硕博连读，究竟怎么回事16岁就被清华录取，本硕博连读作为国内顶尖大学的代表，进入清北的渠道有哪些?据清华大学官网介绍，目前国内本科生招生方式有10余种。

除“高考统一录取”外，还有竞赛推荐、强基计划、数学人才计划、高水平艺术团、高水平运动队等重要渠道。

其中，大赛推荐就是所谓的“五大学科(数学、物理、化学、生物和信息学)大赛”。

只要通过五大学科竞赛进入国家集训队，就可以获得清北推荐资格。

1月27日，一名来自广西的14岁男孩因为通过了清华大学的数学专业考试，同时被清华大学的本科、硕士、博士三个专业录取，成为新闻热点。

事实上，这样的新闻近年来并不少见。

以成都为例，同样是在清华大学2023年丘成桐数学科学领军人才培养计划第一批次招生中，成都也有3名学生入选，并且都是高一或者高二的学生。

换句话说，他们无需再参加高考，就能提前“上岸”清华。

成都市树德中学高二(11)班的陈思行同学成功入围清华大学2023年丘成桐数学科学领军人才培养计划第一批次招生，即将进入清华大学求真书院开启8年本硕博贯通学习。

值得一提的是，这一批次全国有数千人参加选拔，不到50人入选，成都仅有3人。

兴趣爱好广泛的“非典型学霸”小学开始感受数学的乐趣陈思行是一个“非典型学霸”，因为他的兴趣爱好非常广泛。

比如他从小就开始学习且热爱游泳，除此以外，他还非常喜欢篮球和绘画，自评“算是静中有动的一个人。

”陈思行提到，他对数学的兴趣和能力的确在小学就体现出来了，但真正开始系统地接触和学习是在小学六年级。

初中的时候，他也凭借自己出色的数学能力进入了成都树德实验中学，也得到了当时学校老师的重视。

进入中学后，陈思行对数学的兴趣一点都没有减弱，还经常买一些数学书自己看。

“不同的(数学)书包含了数学分支的各个方面，逐渐发现了不同数学知识之间的联系，并从中感受到了数学的乐趣。

”在整个过程中，他的父母尊重他的利益，没有干涉。

即将进入清华大学学习。

清华大学2020自主招生真题

清华大学2020自主招生真题清华大学自主招生一般考什么？出国留学高考网为大家提供清华大学2017自主招生真题，更多高考资讯请关注我们网站的更新!清华大学2017自主招生真题2017年自主招生测试主要分为笔试和面试，笔试依然采用机考的模式来进行。

2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点，其中，每个城市还设有多个考点。

【笔试真题】文科综合(文史)类：考题有明清时的自然经济瓦解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。

今年的语文试题对语文基础知识与运用能力提出了更高要求，材料多出自社会热点或经典著作，注重对知识联系实际、学以致用能力的考查;注重考查对经典或常识的精准理解，注重对独立思考与批判思维的考查。

材料阅读：过去一年你关注的清华热点新闻。

材料中提供了“清华大学博士生、国际学生实行申请审核制”“杨振宁、姚期智先生放弃美国国籍加入中国国籍”“会游泳才能从清华毕业”等备受社会关注的热点新闻，要求学生针对不限于提供材料的热点新闻展开阐述，包括判断社会各界的舆论看法、如何向亲友介绍等多个层面。

点评：通过对阅读材料海量信息中有用信息的抓取，注重对学生思维公正性、思维勇气、甄辨能力以及价值观的考察，希望他们胸怀家国。

化学：新增化学试题注重对学科基础内容的考查、综合多模块内容、加强化学学科的应用性、创新试题的设问模式，充分体现化学学科的学术价值，考查了考生的基础知识、综合能力、科学素养和创新精神，关注环境问题，讨论产生酸雨的原因及危害、食品中的增塑剂与人体健康等社会焦点问题。

物理：注重基本概念的准确理解和灵活运用。

通过采用单选和多选题随机编排的方式，来考查学生构建正确、合理的物理模型，综合运用物理知识分析、解决实际问题的能力，同时增加了能力考查的区分度。

除了定量的分析和计算外，试题还设置了部分内容来考查学生运用物理学基本原理来定性和半定量分析问题的能力。

丘成桐数学英才班培养方案

“丘成桐数学英才班”培养方案(2018年03月 29日数学系教学委员会通过)“丘成桐数学英才班”首席教授：丘成桐教授一、培养目标和基本途径“丘成桐数学英才班”的根本任务是培养新一代的数学科学领军人才。

经过本科阶段的培养，使学生具有优秀科学素养、了解数学科学前沿领域、具备很强的数学创新意识和能力、成为德智体全面发展的一流本科毕业生。

他（她）将是与世界一流大学（如哈佛大学数学系）数学系本科毕业生具有同等、甚至更高竞争力的国际拔尖数学人才。

“丘成桐数学英才班”的培养将贯彻学校的“价值塑造、能力培养、知识传授”三位一体的教育模式，基本途径是：（1）全程安排高水平的师资力量进行教学，因材施教，以学为主；（2）采用世界名著作为教材。

同时，根据具体情况，支持任课教师编写相适应的讲义；（3）为每一位同学配备一名教研系列教师作为导师，提供全方位的指导和建议；（4）在导师的指导下，通过论文训练等方式接触数学研究的前沿课题。

二、基本要求在学习并掌握“数学分析”等十四门核心基础课程后，在导师指导下进一步选修专业核心课程，包括一些研究生基础课程，参加相应的实践环节和科研训练。

要求扎实掌握现代数学科学的基础知识和基本发展状况，具备开展自学、文献调研、论文写作、学术交流与合作等各方面的综合能力。

本科毕业论文的选题必须由前沿的数学科学问题所引领。

三、学制与学位授予学制：本科学制4年，按照学分制管理机制，实行弹性学习年限。

授予学位：理学学士学位。

四、基本学分学时本科学习阶段的总学分不小于160学分，其中春、秋季学期课程总学分不小于135学分；夏季学期实践环节（包括实践环节、写作课程、军事理论与技能训练）10学分；综合论文训练15学分。

五、专业核心课程基础核心课程为14门：（1）数学分析-I、(2)数学分析-II、(3)数学分析-III、(4)高等线性代数-I、(5)高等线性代数-II、(6)常微分方程、(7)抽象代数、(8)复分析、(9)测度与积分、(10)概率论-I、(11)拓扑学、(12)泛函分析-I、(13)偏微分方程-I、(14)微分几何。

2020年清华大学强基计划数学试题及其详解

２０２０年清华大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年清华大学强基计划数学试题共２０道不定项选择题ꎬ该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.本文给出该试题(回忆版)的详细解答ꎬ对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.关键词:清华大学强基计划ꎻ数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ详细解答中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６３－０７收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会十三五教育科研滚动立项课题数学文化与高考研究 (课题编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀全卷共２０道不定项选择题.以下试题是回忆版ꎬ但对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.针对下面的试题题号按难度渐升的顺序叙述如下:第８题是简易逻辑问题ꎻ第１６题是立体几何中的空间角问题ꎻ第１题是求二元函数的最值ꎻ第１７题考查函数的奇偶性ꎻ第５ꎬ７题是平面解析几何问题(后者是双曲线与三角函数的综合)ꎻ第１５题是反三角函数问题ꎻ第２题是平面几何问题ꎻ第９题是平面向量问题ꎻ第１３题是空间向量问题ꎻ第１２题是求期望(但涉及无穷递缩等比数列各项的和)ꎻ第１８题涉及定积分与导数ꎻ第１９题是关于数列前ｎ项和的新定义问题ꎻ第１０题是求极限(涉及反三角函数及不易想到的裂项法求数列前ｎ项和)ꎻ第３题是集合与排列组合的综合ꎻ第４题是递推数列问题ꎻ第６ꎬ１４题是初等数论中的整数性质问题ꎻ第１１题是概率与整数性质的综合问题(用枚举法求解时情况较多)ꎻ第２０题是定积分.㊀㊀一㊁试题呈现１.若ｘ２＋ｙ２ɤ１(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－３２ꎬ３２[]㊀㊀㊀Ｂ.[－１ꎬ１]Ｃ.－５２ꎬ５２[]Ｄ.[－２ꎬ２]２.在非等边ΔＡＢＣ中ꎬＢＣ＝ＡＣꎬ点ＯꎬＰ分别是ΔＡＢＣ的外心与内心.若点Ｄ在边ＢＣ上且ＯＤʅＢＰꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆㊀㊀㊀Ｂ.ＯＤʊＡＣＣ.ＯＤʊＡＢＤ.ＤＰʊＡＣ３.若ＡꎬＢꎬＣ⊆１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬＡ⊆ＣꎬＢ⊆Ｃꎬ则有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是(㊀㊀).Ａ.２２０２０㊀Ｂ.３２０２０㊀㊀Ｃ.４２０２０㊀㊀Ｄ.５２０２０４.若ａ０＝０ꎬａｉ＋１＝ａｉ＋１(ｉɪＮ)ꎬ则ð２０ｋ＝１ａｋ的值可以是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１２５.已知点Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ１).若Ｐ为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１上的动点ꎬ则ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是(㊀㊀).㊀Ａ.４＋２ꎬ４－２㊀㊀Ｂ.４＋３ꎬ４－３Ｃ.４＋５ꎬ４－５Ｄ.４＋６ꎬ４－６６.若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数ꎬ则该三角形某一边的长可以是(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４７.已知两点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＰ为双曲线ｘ２４－ｙ２＝１上不是顶点的动点.若øＰＡＢ＝αꎬøＰＢＡ＝βꎬ则下列各式中为定值的是(㊀㊀).Ａ.ｔａｎαｔａｎβ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｔａｎα２ｔａｎβ２３６Ｃ.ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)Ｄ.ＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)８.甲㊁乙㊁丙三人做同一道题.甲说我做错了 ꎬ乙说甲做对了 ꎬ丙说我做错了 ꎬ老师说有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若老师说的话一定正确ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲说的对㊀㊀Ｂ.乙说的对Ｃ.丙说的对Ｄ.甲㊁乙㊁丙说的均不对９.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝１ꎬＰＡңＰＡң＋ＰＢңＰＢң＋ＰＣңＰＣң＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.øＡＰＢ＝１２０ʎＢ.øＢＰＣ＝１２０ʎＣ.２ＢＰ＝ＰＣ㊀㊀Ｄ.ＡＰ＝２ＰＣ１０.ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.７π３１１.若从０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ９中选取５个两两互异的数字依次排成一个五位数(包括０在首位的五位数ꎬ其大小就是把０去掉后的四位数)ꎬ则它能被３９６整除的概率是(㊀㊀).㊀Ａ.１３９６㊀Ｂ.１３２４㊀㊀Ｃ.１３１５㊀㊀Ｄ.１２１０１２.已知Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝１２ｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ )ꎬ若Ｙ为Ｘ除以３所得的余数ꎬ则随机变量Ｙ的期望是(㊀㊀).Ａ.４７㊀Ｂ.８７㊀㊀Ｃ.１２７㊀㊀Ｄ.１６７１３.若空间向量ａꎬｂꎬｃ满足｜ａ｜ɤ１ꎬ｜ｂ｜ɤ１ꎬ｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－２ｂ｜ꎬ则｜ｃ｜的最值为(㊀㊀).Ａ.最大值为４２Ｂ.最大值为２５Ｃ.最小值为０Ｄ.最小值为２１４.若ｘꎬｙɪＮ∗ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋２ｙ与ｙ２＋２ｘ可以均为完全平方数Ｂ.ｘ２＋４ｙ与ｙ２＋４ｘ可以均为完全平方数Ｃ.ｘ２＋５ｙ与ｙ２＋５ｘ可以均为完全平方数Ｄ.ｘ２＋６ｙ与ｙ２＋６ｘ可以均为完全平方数１５.ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.１１６.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为αꎬ侧棱与底面所成线面角的大小为βꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃｏｓα＋ｔａｎ２β＝１㊀㊀Ｂ.ｓｅｃα＋ｔａｎ２β＝－１Ｃ.ｃｏｓα＋２ｔａｎ２β＝１Ｄ.ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１１７.函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２㊀Ｂ.ｅ㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４图１１８.已知ｙ＝ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬｘ＝ｃ是其极大值点ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ)的部分图象如图１所示.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象与直线ｘ＝ａꎬｘ＝ｔ(ａ<ｔ<ｂ)ꎬｙ＝０围成图形的面积为Ｓ(ｔ)ꎬ则当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)ꎬＳᶄ(ｘ)的最大值分别是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｂ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｂ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｂ)Ｃ.ｆ(ｃ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｄ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｃ)１９.把数列ａｎ{}的前ｎ项和记作Ｓｎ.若∀ｎɪＮ∗ꎬ∃ｍɪＮ∗ꎬＳｎ＝ａｍꎬ则称数列ａｎ{}为某数列 .以下选项中正确的是(㊀㊀).Ａ.若ａｎ＝１ꎬｎ＝１２ｎ－２ꎬｎȡ２{ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｂ.若ａｎ＝ｋ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｃ.若ａｎ＝ｋｎ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｄ.对于任意的等差数列ａｎ{}ꎬ均存在两个某数列ｂｎ{}ꎬｃｎ{}ꎬ使得ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ２０.ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(㊀㊀).Ａ.π㊀Ｂ.２π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.５π㊀㊀二㊁试题解析１.Ｃ.可设ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ(０ɤθ<２πꎬ０ɤｒɤ１)ꎬ得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θæèçöø÷.由辅助角公式ꎬ可得１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ的取值范围是－５２ꎬ５２[].再由０ɤｒɤ１ꎬ可得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的最大值与最图２小值分别是５２ꎬ－５２.２.ＡＤ.由题设ꎬ可得点ＯꎬＰ不重合.㊀如图２所示ꎬ可得点ＯꎬＰ在等腰әＡＢＣ底边上的高ＣＥ上(点Ｅ是边ＡＢ的中点).可设直线ＯＤꎬＢＰ交于点Ｒꎬ可得øＲ＝øＣＥＢ＝９０ʎꎬ所以ＯꎬＲꎬＥꎬＢ四点共圆.４６再由题设点Ｐ是әＡＢＣ的内心 ꎬ可得øＣＢＰ＝øＲＢＥ＝øＲＯＰꎬ所以ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ得选项Ａ正确.㊀由ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ可得øＢＤＰ＝øＢＯＰ.由题设点Ｏ是әＡＢＣ的外心 ꎬ可得øＢＯＰ＝２øＢＣＯ＝øＢＣＡꎬ所以øＢＤＰ＝øＢＣＡ.所以ＤＰʊＡＣꎬ得选项Ｄ正确ꎬ选项Ｂ错误.若ＯＤʊＡＢꎬ由ＣＥʅＡＢꎬ可得ＣＥʅＯＤ.又由ＰＢʅＯＤꎬ可得ＰＢʊＣＥ.而直线ＰＢꎬＣＥ交于点Ｐꎬ所以选项Ｃ错误.３.解法１㊀Ｄ.若集合Ｃ已确定ꎬ由Ａ⊆Ｃ可得集合Ａ有２Ｃ种可能(其中Ｃ表示集合Ｃ的元素个数)ꎻ同理ꎬ由Ｂ⊆Ｃ可得集合Ｂ有２Ｃ种可能.所以有序集合组(ＡꎬＢ)的组数是２Ｃ２Ｃ＝４Ｃ.所以有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是ð２０２０Ｃ＝０(ＣＣ２０２０４Ｃ)＝(１＋４)２０２０＝５２０２０.图３解法２㊀Ｄ.如图３所示ꎬ其中Ｕ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬ可得元素１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０均有５种填法:∁ＵＣꎬ∁Ｕ(ＡɣＢ)ꎬ∁Ａ(ＡɘＢ)ꎬＡɘＢꎬ∁Ｂ(ＡɘＢ).由分步乘法计数原理ꎬ可得所求答案是５２０２０.４.ＢＣ.先用数学归纳法证明ａ２ｋꎬａ２ｋ＋１(ｋɪＮ)分别是偶数㊁奇数.当ｋ＝０时成立ꎬａ０＝０ꎬａ１＝ʃ１.假设ｋ＝ｎ时成立ꎬ即ａ２ｎꎬａ２ｎ＋１分别是偶数㊁奇数.可得ａ２ｎ＋２＝ａ２ｎ＋１＋１ꎬ所以ａ２ｎ＋２是偶数ꎻ再由ａ２ｎ＋３＝ａ２ｎ＋２＋１ꎬ可得ａ２ｎ＋３是奇数.所以ｋ＝ｎ＋１时也成立.所以欲证结论成立.由题设ꎬ得ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ＝－ａ２ｋ－１－１(ｋɪＮ∗)ꎬ所以ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝－１(ｋɪＮ∗).可设ａ２ｋ－１＝２ｍ－１(ｍɪＺ)ꎬ当ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１时ꎬ可得ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝４ｍ－１.所以总有ａ２ｋ－１＋ａ２ｋʉ－１(ｍｏｄ４).因而ð２０ｋ＝１ａｋʉ２(ｍｏｄ４)ꎬ进而可排除选项ＡＤ.当(ａ０ꎬａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２０)＝(０ꎬ－１ꎬ０ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ４)时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝２ꎬ所以选项Ｂ正确.当ａ０＝ａ２＝ａ４＝＝ａ２０＝０ꎬａ１＝ａ３＝ａ５＝＝ａ１９＝－１时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝１０ꎬ所以选项Ｃ正确.５.Ｃ.由题意ꎬ得椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右焦点分别为Ａᶄ(－１ꎬ０)ꎬＡ(１ꎬ０).由椭圆定义ꎬ得ＰＡ＋ＰＢ＝４＋(ＰＢ－ＰＡᶄ)ꎬＰＢ－ＰＡᶄɤＡᶄＢ＝(１＋１)２＋(１－０)２＝５.所以ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是４＋５ꎬ４－５.㊀６.ＣＤ.因为三边长分别是３ꎬ４ꎬ５的三角形的面积６是有理数ꎬ所以选项Ｄ正确.若满足题设的三角形的某一边长可以是１ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(１ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得１＋ｂ>ｃꎬ即１＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃꎬ所以ｂ＝ｃ.可得该三角形的面积１２１ｂ２－１４＝４ｂ２－１４ꎬ因而设４ｂ２－１＝(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２(ｂ２－ｎ２＋ｎ)＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!所以选项Ａ错误.若满足题设的三角形的某一边长可以是２ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(２ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得２＋ｂ>ｃꎬ即２＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃ－１.所以ｂ＝ｃ－１或ｃ.若ｂ＝ｃ－１ꎬ由海伦公式ꎬ可得该三角形的面积是１４３[４ｂ(ｂ＋１)－３]ꎬ因而设４ｂ(ｂ＋１)－３＝３(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２[ｂ(ｂ＋１)－３ｎ２＋３ｎ－１]＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!若ｂ＝ｃꎬ可得该三角形的面积１２２ｂ２－１＝ｂ２－１(ｂȡ２).由(ｂ－１)２<ｂ２－１<ｂ２ꎬ可得ｂ２－１∉Ｑꎬ与题设矛盾!所以选项Ｂ错误.７.ＡＣ.由对称性知ꎬ可不妨设点Ｐ(ｍꎬｎ)(ｍ>２ꎬｎ>０)ꎬ得ｍ２４－ｎ２＝１ꎬ即４－ｍ２＝－４ｎ２.所以ｔａｎα＝ｎｍ＋２ꎬｔａｎβ＝－ｎｍ－２＝ｎ２－ｍ.所以ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２ｎ２－ｍ＝ｎ２４－ｍ２＝－１４.故选项Ａ正确.所以ｔａｎ(α＋β)＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２＋ｎ２－ｍ１＋１４＝１６５ｎ４－ｍ２＝－４５ｎꎬｃｏｔ(α＋β)＝－５４ｎꎬＳәＰＡＢ＝１２(２＋２)ｎ＝２ｎ.５６所以ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)＝－８５ꎬＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)＝－５２ｎ２.故选项Ｃ正确㊁Ｄ错误.可选(ｍꎬｎ)＝(４ꎬ３)ꎬ得ｔａｎα＝１２３ꎬｔａｎβ＝－３２ꎬ所以ｔａｎα２＝１３－２３ꎬｔａｎβ２＝２３＋２１３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝２３９＋２７３－６７－１２３.还可选(ｍꎬｎ)＝(６ꎬ２２)ꎬ得ｔａｎα＝１２２ꎬｔａｎβ＝－１２ꎬ所以ｔａｎα２＝３－２２ꎬｔａｎβ２＝２＋３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝３２＋３３－２６－４.可证得２３９＋２７３－６７－１２３<３２＋３３－２６－４ꎬ所以选项Ｂ错误.８.Ａ.若仅甲说的对ꎬ则甲做错了ꎻ可得乙㊁丙均说错了ꎬ得丙做对了.满足题设有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若仅乙说的对ꎬ则甲做对了ꎻ可得甲㊁丙均说错了ꎬ得丙也做对了.不满足题设有且仅有一人做对 .若仅丙说的对ꎬ则丙做错了ꎻ可得甲说错了ꎬ得甲做对了ꎻ还可得乙说错了ꎬ得甲也做错了.前后矛盾!综上所述ꎬ可得仅甲说的对.图４９.ＡＢＣＤ.如图４ꎬ设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＤң＋ＰＥң＝ＰＦңꎬ可得菱形ＰＤＦＥꎬ且射线ＰＦ平分øＡＰＢ.所以ＰＦң＋ＰＣңＰＣң＝０.所以ＣꎬＰꎬＦ三点共线ꎬ得øＡＰＣ＝øＢＰＣ.同理ꎬ可得øＢＰＣ＝øＢＰＡ.再由øＡＰＣ＋øＢＰＣ＋øＢＰＡ＝３６０ʎꎬ可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ因而选项ＡꎬＢ均正确.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬ可得øＢＡＣ＝３０ʎꎬøＡＣＢ＝６０ʎ.设øＰＡＣ＝θ(０ʎ<θ<３０ʎ)ꎬ可得øＰＣＡ＝６０ʎ－θꎬøＰＣＢ＝θꎬ所以әＰＡＣʐәＰＣＢꎬ得ＰＣＰＢ＝ＰＡＰＣ＝ＡＣＣＢ＝２ꎬ即２ＢＰ＝ＰＣꎬＡＰ＝２ＰＣꎬ因而选项ＣꎬＤ均正确.注㊀在图４中ꎬ若设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＣңＰＣң＝ＰＨңꎬ由题设可得ＰＤң＝ＰＥң＝ＰＨң＝１ꎬＰＤң＋ＰＥң＋ＰＨң＝０ꎬ进而可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ也得选项ＡꎬＢ均正确.点Ｐ是әＡＢＣ的费马点.１０.Ａ.先证明ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)(ｋɪＮ∗)成立.因为ｔａｎ[ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)]＝(ｋ＋１)－(ｋ－１)１＋(ｋ＋１)(ｋ－１)＝２ｋ２ꎬ又ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２[öø÷(ｋɪＮ∗)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)>ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ꎬ所以ａｒｃｔａｎ２ｋ２ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以欲证结论成立.因而ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ－ａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０]＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ]－π４＝ｌｉｍｎң¥π－ａｒｃｔａｎ２ｎ＋１ｎ２＋ｎ－１[]－π４＝π－π４＝３π４.１１.Ｃ.可得３９６＝４ˑ９ˑ１１.若排成的五位数是９的倍数ꎬ则这５个数字之和是９的倍数ꎬ进而可得所选取的５个数字只可能是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ９ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎻ０ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ０ꎬ３ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ８ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎻ１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ９ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ８之一.若所选取的５个数字是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎬ由排成的五位数是４的倍数ꎬ可得末两位数只可能是２０ꎬ６０ꎬ１２ꎬ９２ꎬ１６ꎬ９６之一.再由排成的五位数是１１的倍数ꎬ可得排成的五位数只可能是１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６之一.又由４ꎬ９ꎬ１１两两互质ꎬ所以得到的４个五位数均满足题设.进而可得满足题设的五位数共９６个:１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６ꎬ１７８２０ꎬ８７１２０ꎬ２１７８０ꎬ７１２８０ꎬ０８７１２ꎬ７８０１２ꎬ０７１２８ꎬ１７０２８ꎬ１３８６０ꎬ８３１６０ꎬ３１６８０ꎬ６１３８０ꎬ０８３１６ꎬ３８０１６ꎬ０３１６８ꎬ１３０６８ꎬ１５８４０ꎬ８５１４０ꎬ４１５８０ꎬ５１４８０ꎬ０１５８４ꎬ５１０８４ꎬ０５１４８ꎬ１５０４８ꎬ３０４９２ꎬ４０３９２ꎬ２９３０４ꎬ３９２０４ꎬ３７６２０ꎬ６７３２０ꎬ２３７６０ꎬ７３２６０ꎬ０６７３２ꎬ７６０３２ꎬ０２３７６ꎬ３２０７６ꎬ４７５２０ꎬ５７４２０ꎬ２５７４０ꎬ７５２４０ꎬ０４７５２ꎬ７４０５２ꎬ０７５２４ꎬ５７０２４ꎬ３５６４０ꎬ６５３４０ꎬ４３５６０ꎬ５３４６０ꎬ０３５６４ꎬ５３０６４ꎬ０４３５６ꎬ３４０５６ꎬ６８９０４ꎬ９８６０４ꎬ６０９８４ꎬ９０６８４ꎬ３８４１２ꎬ４８３１２ꎬ２１３８４ꎬ３１２８４ꎬ１４６５２ꎬ６４１５２ꎬ１４２５６ꎬ２４１５６ꎬ８７９１２ꎬ９７８１２ꎬ８１９７２ꎬ９１８７２ꎬ４７９１６ꎬ９７４１６ꎬ６６４１９７６ꎬ９１４７６ꎬ５７８１６ꎬ８７５１６ꎬ５１８７６ꎬ８１５７６ꎬ８５９３２ꎬ９５８３２ꎬ８３９５２ꎬ９３８５２ꎬ７６８２４ꎬ８６７２４ꎬ７２８６４ꎬ８２７６４ꎬ４６７２８ꎬ７６４２８ꎬ４２７６８ꎬ７２４６８ꎬ４５９３６ꎬ９５４３６ꎬ４３９５６ꎬ９３４５６.所以所求答案是９６Ａ５１０＝１３１５.注㊀用电脑编程可以验证上述答案是正确的.１２.Ｂ.可得Ｐ(Ｙ＝０)＝１２３＋１２６＋１２９＋＝１２３１－１２３＝１７ꎻＰ(Ｙ＝１)＝１２１＋１２４＋１２７＋＝１２１１－１２３＝４７ꎻＰ(Ｙ＝２)＝１２２＋１２５＋１２８＋＝１２２１－１２３＝２７所以随机变量Ｙ的期望是Ｅ(Ｙ)＝０ˑ１７＋１ˑ４７＋２ˑ２７＝８７.１３.ＢＣ.由题设ꎬ可得｜ａ－２ｂ｜＝｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜ȡ｜ｃ｜－｜ａ＋２ｂ｜ꎬ｜ｃ｜ɤ１｜ａ＋２ｂ｜＋１｜ａ－２ｂ｜.由柯西不等式ꎬ可得(１｜ａ＋２ｂ｜＋１｜ａ－２ｂ｜)２ɤ(１２＋１２)(｜ａ＋２ｂ｜２＋｜ａ－２ｂ｜２)＝４(｜ａ｜２＋４｜ｂ｜２)ɤ２０.所以｜ｃ｜ɤ２５.当ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(－４ꎬ－２)时满足题设ꎬ且｜ｃ｜＝２５.综上ꎬ｜ｃ｜的最大值为２５ꎬ故选项Ａ错误ꎬＢ正确.还可得ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(０ꎬ０)满足题设ꎬ进而可得｜ｃ｜的最小值为０ꎬ故选项Ｃ正确ꎬＤ错误.１４.ＣＤ.由对称性知ꎬ可不妨设ｘɤｙ.对于选项Ａꎬ由ｙ２<ｙ２＋２ｘɤｙ２＋２ｙ<(ｙ＋１)２ꎬ所以ｙ２＋２ｘ不为完全平方数ꎬ故选项Ａ错误.对于选项Ｂꎬ由ｙ２<ｙ２＋４ｘɤｙ２＋４ｙ<(ｙ＋２)２ꎬ所以若ｙ２＋２ｘ为完全平方数ꎬ则ｙ２＋４ｘ＝(ｙ＋１)２ꎬ２(２ｘ－ｙ)＝１ꎬ这不可能!故选项Ｂ错误.选ｘ＝ｙ＝４ꎬ得ｘ２＋５ｙ＝ｙ２＋５ｘ＝６２ꎬ故选项Ｃ正确.选ｘ＝ｙ＝２ꎬ得ｘ２＋６ｙ＝ｙ２＋６ｘ＝４２ꎬ故选项Ｄ正确.１５.１.设复数ｚ１＝１＋ｉꎬｚ２＝２＋ｉꎬｚ３＝３＋ｉꎬ可得ａｒｇｚ１＝ａｒｃｔａｎ１ꎬａｒｇｚ２＝ａｒｃｓｉｎ１５ꎬａｒｇｚ３＝ａｒｃｃｏｓ３１０.所以ｚ１ｚ２ｚ３＝(１＋ｉ)(５＋５ｉ)＝１０ｉꎬａｒｇ(ｚ１ｚ２ｚ３)＝π２.所以ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝ｓｉｎπ２＝１.１６.Ｄ.如图５ꎬ设正四棱锥的底面边长ＡＢ＝２ꎬ高ＰＯ图５＝ｈꎬ可得ｔａｎβ＝ｔａｎøＰＡＯ＝ＰＯＡＯ＝ｈ２.㊀㊀在ＲｔәＰＯＢ中ꎬ可求得ＰＢ＝ＰＯ２＋ＯＢ２＝ｈ２＋２.设等腰әＰＡＢ的底边ＡＢ的中点是Ｍꎬ可得ＰＭʅＡＢ.还可求得ＰＭ＝ＰＡ２＋ＡＭ２＝ｈ２＋１.作ＡＨʅＰＢ于点Ｈꎬ连接ＣＨꎬ可得α＝øＡＨＣꎬＣＨ＝ＡＨ.还可得２ＳәＰＡＢ＝ＡＢＰＭ＝ＡＨＰＢ.所以ＣＨ＝ＡＨ＝ＡＢＰＭＰＢ＝２ｈ２＋１ｈ２＋２ꎬＡＣ＝２２.在әＡＣＨ中ꎬ由余弦定理ꎬ可求得ｃｏｓα＝ｃｏｓøＡＨＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２－ＡＣ２２ＡＨＣＨ＝＝－１ｈ２＋１.进而可得ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１.１７.Ａ.由闭区间上的连续函数存在最大值与最小值 ꎬ可得函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值均存在.可得ｆ(ｘ)－１＝ｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１(－２ɤｘɤ２)是奇函数.当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬｇ(ｘ)<２ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的最大值与最小值均存在且互为相反数ꎬ可分别设为Ｍꎬ－Ｍ.所以函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值分别是１＋Ｍꎬ１－Ｍ.所以所求答案是(１＋Ｍ)＋(１－Ｍ)＝２.１８.Ｄ.由ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬ可得ｆᶄ(ｘ)是减函数ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)的最大值是ｆᶄ(ａ).还可得Ｓ(ｔ)＝ʏｔａｆ(ｘ)ｄｘꎬ所以Ｓᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ).由题设及图１ꎬ可得Ｓᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｃ).１９.ＡＢＤ.对于选项Ａꎬ可求得Ｓｎ＝２ｎ－１(ｎɪＮ∗)ꎬ所以Ｓｎ＝ａｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬ故选项Ａ正确.选项Ｂ错误.若ｋ＝１２ꎬ则∀ｍɪＮ∗ꎬＳ２＝１ʂａｍ.选项Ｃ正确.∀ｎɪＮ∗ꎬＳｎ＝ｋ(１＋２＋＋ｎ)＝ａ１＋２＋＋ｎ.选项Ｄ正确.设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ可得ａｎ＝ｄｎ＋(ａ１－ｄ)(ｎɪＮ∗).选ｂｎ＝ｄｎꎬｃｎ＝ａ１－ｄꎬｎ＝１０ꎬｎȡ２{(ｎɪＮ∗)ꎬ易知ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ.由于∀ｎɪＮ∗ꎬＴｎ＝ａ１(其中Ｔｎ表７６示数列ｃｎ{}的前ｎ项和)ꎬ所以ｃｎ{}是某数列 .由选项Ｃ正确ꎬ知ｂｎ{}是某数列 .２０.解法１㊀Ｂ.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ(ｘɪＲ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋π)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(π－ｘ)(ｘɪＲ)ꎬ所以π是函数ｆ(ｘ)的一个周期且函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝π２对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏπ０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏπ/２０１－ｃｏｓ２ｘ１－１２ｓｉｎ２２ｘｄ(２ｘ)＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ２－ｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ－２ʏπ０ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｔ＝ｕ＋π２)２ʏπ/２－π/２１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＋２ʏπ/２－π/２ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕｄｕ.再由ｙ＝１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕꎬｙ＝ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕ－π２ɤｕɤπ２æèçöø÷分别是偶函数㊁奇函数ꎬ可得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＝(设ｕ＝π/２－ｖ)－４ʏ０π/２１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝４ʏπ/２０１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝２２ʏπ/２０ｄｔａｎｖ２æèçöø÷ｔａｎｖ２æèçöø÷２＋１＝(设ｗ＝ｔａｎｖ２)２２ʏ＋¥０ｄｗｗ２＋１＝２２ａｒｃｔａｎｗ＋¥０＝２２π２－０æèçöø÷＝２π.解法２㊀Ｂ.在解法１中ꎬ已得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(设ｘ＝ｔ＋π２)ʏ０－π/２ｃｏｓ２ｔｓｉｎ４ｔ＋ｃｏｓ４ｔｄｔ＝(设ｔ＝－ｘ)ʏπ/２０ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｔａｎ２ｘ＋１ｔａｎ４ｘ＋１ｄｔａｎｘ＝(设ｔａｎｘ＝ｔ)２ʏ＋¥０ｔ２＋１ｔ４＋１ｄｔ＝２ʏ＋¥０ｄｔ－１ｔæèçöø÷ｔ－１ｔæèçöø÷２＋２＝(设ｔ－１ｔ＝ｕ)２ʏ＋¥－¥ｄｕｕ２＋２＝２２ａｒｃｔａｎｕ２＋¥－¥＝２π２－－π２æèçöø÷[]＝２π.解法３㊀Ｂ.由降幂公式ꎬ可得ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ２１－ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＋１＋ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋ｃｏｓ２２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋１＋ｃｏｓ４ｘ２＝２(１－ｃｏｓ２ｘ)３＋ｃｏｓ４ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ２π０１－ｃｏｓ２ｘ３＋ｃｏｓ４ｘｄ(２ｘ)＝(设ｔ＝２ｘ)ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ.设函数ｆ(ｔ)＝１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓｔ(ｔɪＲ)ꎬ可得ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋２π)ꎬｆ(ｔ)＝ｆ(２π－ｔ)(ｔɪＲ)ꎬ所以２π是函数ｆ(ｔ)的一个周期且函数ｆ(ｔ)的图象关于直线ｘ＝π对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏ２π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝４ʏπ０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｕ＝ｃｏｓｔ)２ʏ１－１１－ｕ(１＋ｕ２)１－ｕ２ｄｕ＝２ʏ１－１１１＋ｕ２１－ｕ１＋ｕｄｕ＝(设ｖ＝１－ｕ１＋ｕ)４ʏ＋¥０ｖ２ｖ４＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖｖ２－２ｖ＋１ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖｖ２＋２ｖ＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２æèçöø÷＋１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２æèçöø÷－１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ８６＋ʏ＋¥０ｄｖｖ－１２æèçöø÷２＋１２＋ʏ＋¥０ｄｖｖ＋１２æèçöø÷２＋１２＝２ʏ＋¥－ｗｗ２＋１２ｄｗ－２ʏ＋¥ｗｗ２＋１２ｄｗ＋ʏ＋¥－ｄｗｗ２＋１２＋ʏ＋¥ｄｗｗ２＋１２＝２ʏ－ｗｗ２＋１２ｄｗ＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥－＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥＝２π２－－π４æèçöø÷[]＋２π２－π４æèçöø÷＝２π.(因为ｙ＝ｗｗ２＋１２－１２ɤｗɤ１２æèçöø÷是奇函数)解法４㊀Ｂ.因为ｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ)２－２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＝１－１２ｓｉｎ２２ｘꎬ可得１２ɤｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ１ꎬｓｉｎ２ｘɤｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ２ｓｉｎ２ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ.再由ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｘ－ｓｉｎ２ｘ４２π０＝πꎬ可得π<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２π.再由排除法ꎬ可知答案是Ｂ.[责任编辑:李㊀璟]换元转化㊀化难为易叶文明㊀李㊀阳(浙江省松阳二中㊀３２３４０６)摘㊀要:换元法是解数学题的一种常用方法ꎬ它的实质是通过换元转化ꎬ从而把复杂问题简单化ꎬ有利于问题的解决.关键词:换元ꎻ绝对值ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:叶文明(１９６７－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李阳(１９９１－)ꎬ男ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解数学题时ꎬ常把某个式子看成一个整体ꎬ用一个变量去代替它ꎬ从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化ꎬ把复杂问题简单化.换元法在研究方程㊁不等式㊁函数㊁数列㊁解析几何等问题中有广泛的应用ꎬ它几乎涵盖高中阶段的所有内容ꎬ是一种常用的解题方法.例１㊀(２０２０浙江新高考学考模拟卷五)已知正数ｘꎬｙ满足ｘ＋ｙ＝１ꎬ则ｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１的最小值为.解析㊀方法一㊀４ｘ＋２＋１ｙ＋１＝１４ˑ４ｘ＋２＋１ｙ＋１æèçöø÷ｘ＋２＋ｙ＋１()ȡ９４ʑｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１＝ｘ－２＋４ｘ＋２＋ｙ－１＋１ｙ＋１＝４ｘ＋２＋１ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－３ȡ１４ꎬ即最小值为１４.方法二㊀(换元)令ｘ＋２＝ａꎬｙ＋１＝ｂꎬ则ａ＋ｂ＝４.９６。

重点高校2020强基计划笔试真题

重点高校2020年强基计划笔试真题目录清华大学 (2)336689北京大学.............................................................................................................................................（一）数学.........................................................................................................................................（二）物理.........................................................................................................................................（三）化学.........................................................................................................................................南京大学.............................................................................................................................................浙江大学.............................................................................................................................................中山大学..........................................................................................................................................山东大学..........................................................................................................................................关于我们 (101112)清华大学清华大学2020强基计划笔试共考三门：数学、物理和化学。

2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

高中资料库 2020年清华大学强基计划笔试试题

2020年清华大学强基计划笔试试题1.已知实数x,y满足x2+y2≤1，则x2+xy−y2的最大值为__________。

A.1B. √52C. √103D.√22.设a,b,c均为正实数，若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则__________。

A.max{a,b,c}≥12(a+b+c) B.max{a,b,c}≥49(a+b+c)C.min{a,b,c}≤14(a+b+c) D.min{a,b,c}≤13(a+b+c)3.已知平面向量a,b满足|a|≤2,|b|≤1，且c满足|a−2b−c|≤|a+2b|.那么对所有可能的c而言，|c|的__________。

A.最大值为4√2B.最大值为2√6C.最小值为0D.最小值为√24.在ΔABC中，AC=1，BC=√3，AB=2.M为AB中点。

将ΔABC沿CM折起，使得B−ACM的体积为√22，则折起后AB的长度可能为__________。

A.1B.√2C.√3D.25.已知A(1,1),Q(1,0)，P为椭圆x24+y23=1上的动点，则|PA|+|PQ|的________。

A.最大值为4+√3B.最大值为4+√5C.最小值为4−√3D.最小值为4−√56.已知A,B分别为双曲线x24−y2=1的左、右顶点，P为该双曲线上不同于A,B 的任意一点。

设∠PAB=α,∠PBA=β，ΔPAB的面积为S，则__________。

A. tanαtanβ为定值B. tanα2tanβ2为定值C.S⋅tan(α+β)为定值D.S⋅cot(α+β)为定值7.设正四棱锥的侧棱与底面所成角为α，相邻两侧面所成角为β，则__________。

A.cosβ=cos2αcos2α−2B.cosβ=cos2α−1cos2α+1C.tanβ2=sinα D.cotβ2=sinα8.已知复数z1,z2在复平面内对应的点为Z1,Z2.O为坐标原点，若|z1|=1，5z12−2z1z2+z22=0，则ΔOZ1Z2的面积为__________。

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专注名名校自主选拔 2
专注名校自主选拔
复试笔试二
丘成桐数学英才班第二日的测试采用的是现学现考形式。这种形式非常常见，在小升初、初升高、大学自主选拔活动中都有出现，这样的考试形式对于高中生来说难以提前准备，侧重于考察学生的快速学习能力和数学研究能力。
清华本次安排为上午进行两场授课讲座，下午直接对所学内容笔试，笔试时间为 13:00-16:00，共 3 个小时，题目分 A、B 组，其中 A 组共 5 道大题；B 组共 3 道大题（7 道小题），内容主要为纽结理论和代数表示论，均是大学数学知识。