中考数学命题常考考点及易错点(一)
中考数学考点大串讲(北师大版)：勾股定理必刷易错30题(解析版)
专题01勾股定理（易错30题3种题型）一、探索勾股定理1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）在ABC 中，5AB AC ，6BC ，D 是BC 的中点，则ABC 的面积为（）A ．12B ．24C ．10D ．20【答案】A【分析】如图，过A 作AD BC 于,D 证明224,3,CD BD AD AC CD再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解：如图，过A 作AD BC 于,D 5,6AB AC BC ，∴223,4,CD BD AD AC CD ∴116412.22ABC S BC AD 故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明CD BD 是解本题的关键．2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A ．13B ．14C ．15D ．26【答案】A 【分析】分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，由勾股定理得出29x ，26y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为2z ．【详解】解：如图，分别设正方形F 、G 、E 的边长为x 、y 、z ，则由勾股定理得：2358x ，2235y ，222z x y ，即最大正方形E 的面积为：28513z ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．3．（2023春·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，CE 平分ACB 交AB 于点E ，CF 平分ACD ，EF BC ∥，EF 交AC 于点M ，若5CM ，则22CE CF （）A ．75B ．100C ．120D ．125【答案】B 【分析】根据角平分线的定义推出ECF △为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得222CE CF EF ，进而可求出22CE CF 的值．【详解】解：CE ∵平分ACB ，CF 平分ACD ，12ACE ACB ，12ACF ACD ，即1()902ECF ACB ACD ，EFC 为直角三角形，又EF BC ∥∵，CE 平分ACB ，CF 平分ACD ，ECB MEC ECM ，DCF CFM MCF ，5CM EM MF ，10EF ，由勾股定理可知222100CE CF EF ．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出ECF △为直角三角形．4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）在ABC 中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且4,5,7a b c ，则ABC 的面积为．【答案】46【分析】作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，先根据2222AC AD BC BD 求出x ，再求出CD ，然后根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CD AB 于点D ，设AD x ，则7BD x ，由勾股定理得，2222AC AD BC BD ，∴ 2222547x x ，解得297x =，∴22222986577CD AC AD，∴ABC 的面积为∶1186746227AB CD ．故答案为：46．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a 和b ，斜边为c ，那么222 a b c ．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．5．（2023春·海南海口·八年级统考开学考试）如图，在Rt ABC △中，90BAC ，4BC ，分别以AB AC 、为直径作半圆，面积分别记为1S 、2S ，则12S S ．【答案】2π【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知12S S 等于以斜边为直径的半圆面积．【详解】解：2222121111228228AB AC S AB S AC ，所以 2221211288S S AC AB BC ，故答案为：2π．【点睛】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．6．（2022秋·山东泰安·七年级统考期中）如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC ，其中90ACB ），放置在一凹槽内，三个顶点A 、B 、C 分别落在凹槽内壁上，已知90ADE BED ，测得3cm 4cm AD BE ，，该三角形零件的面积为2cm ．【答案】12.5/1122/252【分析】先证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE ，利用勾股定理求出5cm AC ，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：∵90ACB ，∴90DCA ECB ，∵90ADE BED ，∴90DAC DCA ，∴DAC ECB ，又∵AC CB ，∴ AAS ACD CBE △≌△，∴4cm CD BE ，在Rt ADC 中，由勾股定理得225cm AC AD CD ，∴2112.5cm 2ABC S AC BC △，∴该三角形零件的面积为212.5cm ，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明ACD CBE ≌得到4cm CD BE 是解题的关键．7．（2023春·湖北恩施·八年级统考期中）如图，在55 的正方形网格中，每一个小正方形的顶点为格点，且每一个小正方形的边长为1四边形ABCD 为格点四边形．(1)求AD 的长；(2)仅用无刻度的直尺过点C 作CE AD ，垂足为E ，并简单说明理由．【答案】(1)5(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．【详解】（1）解：由图可知，AD 是直角边分别为3,4的直角三角形的斜边故22345AD （2）解：选取格点,,,F H G M ，作射线,MF GH ，两射线的交点为I ，连接CI 交AD 于点E ，则点E 为所求的点．取格点,K L ，∵4,3,90IK AL CK DL CKI DLA∴IKC ALD△≌△KIC DAC90DAC ACE KIC ACECE AD【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质．熟记相关数学结论是解题关键．8．（2023春·广西贺州·八年级统考期中）如图，在Rt ABC △中，90C ，AM 是中线，MN AB ，垂足为点N ，求证：222AN BN AC ．【答案】见解析【分析】在直角三角形BNM 和ANM 中利用勾股定理可以得到222BN BM MN ，222AN AM MN ，然后得到22222222()()BN AN BM MN AM MN BM AM ；又在直角三角形AMC 中，222AM AC CM ，代入前面的式子中即可得出结论．【详解】解：证明：MN AB ∵于N ，222BN BM MN ，222AN AM MN 2222BN AN BM AM ，又90C ∵，222AM AC CM 22222BN AN BM AC CM ，又BM CM ∵，222BN AN AC ，即222AN BN AC ．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的中线；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．9．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）如图，长方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 上的点F 处，若5AE ，3BF ，求CD 的长【答案】9【分析】由折叠的性质可知5EF AE ，再结合勾股定理即可求解．【详解】解：由折叠的性质可知5EF AE ．∵四边形ABCD 为长方形，∴90B Ð=°，AB CD ，∴2222534BE EF BF ，∴549CD AB AE BE ．即CD 的长为9．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．10．（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）如图，一文物C （看作一点）被探明位于地面A 点垂直往下36米处，由于A 点下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离A 点15米的B 处斜着挖掘，已知障碍物不在线段BC 上，则要取出文物C 至少要挖（）A ．39米B ．3119米C ．42米D ．51米【答案】A 【分析】根据题意可知：14,4890AB AC BAC ，，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵14,4890AB AC BAC ，，∴2222153639BC AB AC ．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成勾股定理是解题的关键．11．（2023春·河北保定·八年级校考期中）利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图，在用弦图验证勾股定理时，用到的面积相等关系是（）A ．ABH EFGHS S 正方形△B ．ABCD EFGH S S 正方形正方形C ．4ABH EFGH ABCDS S S 正方形正方形△D ．2ABH ABCD EFGHS S S 正方形正方形△【答案】C 【分析】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，根据题意求出224ABH EFGH S S a b 正方形 ，22ABCD S a b 正方形，进而求解即可．【详解】设DE AH BG CF a ，AE BH CG DF b ，∴ 2221442ABH EFGH S S b a ab a b 正方形 ，22222ABCD S AD DE AE a b 正方形，∴4ABH EFGH ABCD S S S 正方形正方形△．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握以上知识点．12．（2023秋·全国·八年级专题练习）边长为1的正方形OABC 在数轴上的位置如图所示，点B 表示的数是（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】B 【分析】由于正方形OABC 的边长为1，可知OAB 为等腰直角三角形，可利用勾股定理求出OB 的长，即可得到B 点表示的数．【详解】解：∵正方形OABC 的边长为1，∴在等腰直角OAB 中，22112OB =+=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，根据四边形OABC 为正方形判断出OAB 为直角三角形是解题的关键．13．（2023春·河南新乡·八年级统考期中）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（）A ．5尺B ．6尺C ．8尺D ．10尺【答案】D【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设绳索长为x 尺∴根据题意得： 22248x x 解得10x ．∴绳索长为10尺，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．14．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、12cm ，插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm ，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间（包括3cm 与5cm ，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L 的范围是．【答案】16cm 17cmL 【分析】当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，根据勾股定理分别求得，5cm DE ，Rt ADE △中，13cm AE ，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【详解】解：当吸管与长方体上、下底面垂直时，位于盒体内的长度最短，为12cm ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则15cm 17cm L ；如图，当吸管底端位于点A 时，位于盒体内的长度最长，经过点A ，D ，E 的截面如下图1，如图2为长方体上底面，5cm DG ，4cm CG ，1cm EH CH JG ，∴4cm DJ DG JG ，3cm JE GH CG CH ，∴225cm DE DJ JE ．如图１，Rt ADE △中，222212513(cm)AE AD DE ，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，则16cm 18cm L ；综上，吸管垂直于底面时外露的部分最长，底端位于点A 时，外露的部分最短，所以吸管长度范围为16cm 17cm L .【点睛】本题考查长方体的截面图，勾股定理；具备一定的空间想象能力，熟练勾股定理的运用是解题的关键．15．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为．【答案】120【分析】根据勾股定理求出AE 的长度，再根据三角形的面积公式求出AEF △的面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：在Rt AEF 中，222213125AE EF AF ，∴110251232AEF S AE AF ，∴阴影部分的面积430120 ．故答案是：120．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．16．（2023春·全国·八年级期末）如图，长方形ABCD 的边AD 在数轴上，若点A 与数轴上表示数1 的点重合，点D 与数轴上表示数4 的点重合，1AB ，以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E ，则点E 表示的数为．【答案】110 /101【分析】根据勾股定理计算出AC 的长度，进而求得该点与点A 的距离，再根据点A 表示的数为1﹣，可得该点表示的数．【详解】解：在长方形ABCD 中，1(4)31AD AB CD ，，∴22223110AC AD CD ，则点A 到该交点的距离为10，∵点A 表示的数为1 ，∴该点表示的数为：110 ，故答案为：110 ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．17．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中空白部分的面积，可以得到的数学等式是_______；(2)将图1中两个阴影的长方形沿着对角线切开，则可以得到四个全等的直角三角形，其中两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形时，中间空白图形是边长为c 的正方形．试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a b c 、、之间满足怎样的等量关系．(3)应用：已知直角三角形两条直角边长为6和8，求这个直角三角形斜边上的高．【答案】(1)2222()a b ab a b (2)222c a b(3)245【分析】（1）空白部分是两个正方形的面积和，空白部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；（2）中间的是边长为c 的正方形，因此面积为2c ，也可以从边长为()a b 正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；（3）利用（2）中等式求出斜边，再利用面积法求出结果．【详解】（1）解：方法一：空白部分是两个正方形的面积和，即22a b ；方法二：空白部分也可以看作边长为()a b 的面积，减去两个长为a ，宽为b 的长方形面积，即2()2a b ab ，由两种方法看出2222()a b ab a b ，故答案为：2222()a b ab a b ；（2）中间正方形的边长为c ，因此面积为2c ，也可以看作从边长为()a b 的面积减去四个两条直角边分别a 、b 的面积，即22()2c a b ab ，整理得：222c a b ；（3）∵6a ，8b ，∴斜边226810c ，∴斜边上的高为6824105 ，答：斜边的长为245．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，勾股定理的证明，解题的关键是结合图形，利用面积得出等量关系．18．（2023春·山西忻州·八年级统考期末）阅读与思考阅读下列材料并完成相应的任务．我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：方法1：若m 为奇数 3m ，则a m ， 2112b m 和2112c m 是勾股数．方法2：若任取两个正整数m 和 n m n ，则22a m n ，2b mn ，22c m n 是勾股数．任务：(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形．(2)学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．【答案】(1)见解析(2)总共需要兰花220盆【分析】（1）方法一：21(1)02m c a ，10c b 得c a ，c b ，进行计算得222221=(1)2a b m c，即可得；方法二：先求出a 、b 、c 的平方，即可作答，（2）根据这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m 得角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，则方形AHFD 的边长为31m ，正方形BCEG 的边长为25m ，根据个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，即可得正方形AHFD 上摆放兰花的盆数，方形BCEG 上摆放兰花的盆数，即可得【详解】（1）解：方法一：∵ 222111121(1)0222c m m m c m a m，10c b ，∴c a ，c b ，222224222211(+21)=1(121)42a b m m m m c m ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；方法二：∵22a m n ，2b mn ，22c m n ，∴424222m m a n n ，2224b m n ，422242c m m n n ，∴222 a b c ，∴a ，b ，c 为边长的ABC 是直角三角形；（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m ，∴直角三角形的三边长为7m 24m 25m ，，，∴正方形AHFD 的边长为：7+24=31(m)，正方形BCEG的边长为：25m，∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，∴正方形AHFD上摆放兰花的盆数为：32+31+31+30=124（盆），正方形BCEG上摆放兰花的盆数为：244=96（盆），∴总共需要的兰花数量为：124+96=220（盆），答：总共需要兰花220盆．【点睛】本题考查了勾股数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．19．（2023秋·全国·八年级专题练习）问题情境：勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．定理表述：（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；尝试证明：（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．定理应用：（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段AE铺设，需要绕道沿着矩形的边AB和BC铺设管道，经过测量16BE 米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工AB 米，12程队计算绕道后费用增加了多少元？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8000元【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据等积法可进行求解；（3）利用勾股定理可进行求解．【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c （2） 21122S a b a b a b 梯形，2ABE ABCS S S 梯形211222c ab 212c ab ，∴221122a b c ab ，∴222 a b c ；（3）在Rt ABE △中，2220AE AB BE ，∴ 16122010008000 （元）；答：增加了8000元．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得18m,30m AC BC ．求A ，B 两点间的距离．【答案】A ，B 两点间的距离是24m【分析】直接由勾股定理求出AB 的长即可．【详解】解：由题意可知，90,18m,30m BAC AC BC ，∴ 2222301824m AB BC AC ，答：A ，B 两点间的距离是24m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理求出AB 的长．三、勾股定理的应用21．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中18cm AB ，12cm BC ，10cm BF ，点M 在棱AB 上，且6cm AM ，N 是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到点N ，它需要爬行的最短路程为（）A ．20cmB ．2106cmC ． 12234cmD ．18cm【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．【详解】解：如图1，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 18612cm BM ， 10616cm BN ，∴ 22121620cm MN ；如图2，∵18cm AB ，12cm BC GF ，N 是FG 的中点，∴16cm 2FN FG ，∴ 186618cm PM ，10cm NP ，∴2218424210610MN ．∵202106 ，∴蚂蚁沿长方体表面从点M 爬行到点N 处的最短路程为20cm ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．22．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开港口向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距（）A ．25海里B ．30海里C ．40海里D ．32海里【答案】B【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90 ，根据题目中给出的1.5小时和速度可以计算AC ，BC 的长度，在直角ABC 中，已知AC ，BC 可以求得AB 的长．【详解】解：如图，作出图形，因为东南和西南的夹角为90 ，所以ABC 为直角三角形．在Rt ABC △中，16 1.524(km)AC ，121.518(km)BC ，则2222241830(km)AB AC BC故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定ABC 为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB 是解题的关键．23．（2023春·河南信阳·八年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为BAF 时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm ，此时底部边缘A 处与C 处间的距离AC 为24cm ，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为DAF 时（点D 是点B 的对应点），顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为15cm ，则底部边缘A 处与E 之间的距离AE 为（）A ．20cmB ．18cmC ．12cmD ．10cm【答案】A 【分析】勾股定理解Rt ABC △得出25cm AB ，勾股定理解Rt ADE △即可求解．【详解】解：依题意，247AC BC ，，在Rt ABC △中， 2225cm AB AC BC ，∵AB AD 25 ，15DE ，在Rt ADE △中， 2222251520cm AE AD DE，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．24．（2023春·四川南充·八年级校考期中）如图由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵在折断前（不包括树根）长度是．【答案】16m /16米【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图，由题意得m ,8m 6BC AC ，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：226810AB （米）．所以大树的高度是10616 （米）．故答案为：16m ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．25．（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，一梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，测得5m AO ，若梯子的顶端沿墙下滑1m ，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动1m ，梯子到CD 的位置，则梯子的长度为m ．【答案】41【分析】设m BO x ，利用勾股定理用x 表示出AB 和CD 的长，进而求出x 的值，然后由勾股定理求出AB 的长度．【详解】解：设m BO x ，由题意得：1m AC ，1m BD ，5m AO ，在Rt AOB △中，根据勾股定理得：222225AB AO OB x ，在Rt COD 中，根据勾股定理得： 22222511CD CO OD x ，∴ 22225511x x ，解得：4x ，∴ 22225441m AB AO BO ，即梯子AB 的长为41m ．故答案为：41．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．（2023秋·八年级课时练习）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x 尺，则根据题意列方程为：．【答案】 222310x x 【分析】设折断处离地面x 尺，根据勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：如图，设折断处离地面x 尺，根据题意可得：2223(10x)x ，．故答案为：2223(10x)x 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．27．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm BC ，动点P 从点A 出发沿A B C D A 运动，速度是2cm /秒；点Q 从点C 出发沿C B A D C 运动，速度是4cm /秒，设它们的运动时间为t 秒．（1）当1t 时，连接PQ ，PQcm ；（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，t秒；第2次相遇时，t 秒．【答案】1010310【分析】（1）先求得8216BP ，12418BQ ，再利用勾股定理即可求解；（2）根据相遇时间=总路程÷速度和得出第一次相遇的时间，再求出第二次相遇的时间即可．【详解】解：（1）当1t 时，8216BP ，12418BQ ，∴226810PQ ，故答案为：10（2）若P 、Q 两点第一次相遇时，10812243t （秒），从第一次相遇到第二次相遇需要的时间为： 202812243，故P 、Q 两点第2次相遇时，10201033t（秒）故答案为：103；10．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、行程问题中的相遇问题．抓住“相遇时间=路程和÷速度和”是解题关键．28．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）如图，长方体的长15cm BE ，宽10cm AB ，高20cm AD ，点M 在CH 上．且5cm CM ．(1)求线段DM的长；(2)一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?【答案】(1)55DM(2)蚂蚁爬行的最短距离是25cmCD ，利用勾股定理即可求解；【分析】（1）根据长方体的性质求出10（2）将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较．【详解】（1）解：10CM ，AB CD∵，52222，10555DM CD CM线段DM的长为55．（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm22AM2010525cm要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：22AM20510529cm只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第个图32220105537cmAM∵25529537∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．29．（2020秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，巷子宽5米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端到地面的距离AC 为3米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离ED 为2米，则CB 的长度为多少？【答案】CB 的长度为2米．【分析】根据勾股定理222AC BC AB ，222BD DE BE ，列方程即可得到结论．【详解】解：根据勾股定理得，222AC BC AB ，222BD DE BE ，∵AB BE ，∴2222AC BC BD DE ，∴ 2222352BC BC ，∴2BC ，答：CB 的长度为2米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理．30．（2023春·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD 为某街心花园的平面图，经测量50m AB BC AD ，503m CD ，且90B Ð=°．(1)试判断ACD 的形状，并说明理由；(2)若射线BA 为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个监控装置来监控道路BA 的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m ．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m （包含50m ），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据2 1.4 ，3 1.7 ）【答案】(1)直角三角形，见解析(2)符合要求，见解析【分析】（1）根据90B Ð=°，勾股定理求出AC ，再根据勾股定理的逆定理，即可；（2）过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，根据直角三角形的性质，得45BAC ，根据90DAC ，则45DAE ∠，三角形ADE 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE ，可推出AA ，即可．【详解】（1）解：（1）ACD 是直角三角形．理由如下：∵90B Ð=°，50m AB BC AD ，∴在Rt ABC △中222AB BC AC ，∵25000AC ，∵22502500AD ， 25037500CD ，∴227500AD AC ，∴22AD AC CD ，∴CAD 是直角三角形．（2）符合要求，理由如下：过点D 作DE BA 于点E ；作A 点关于DE 的对称点A ，连接DA ，∴90DEA ，∵90B Ð=°，AB BC ，∴45BAC ，∵90DAC ，∴45DAE ∠，∴DE AE ，∴在Rt DEA V 中222DE EA AD ，∴222500AE ，∴252AE ，∴50270m AA ，∵70m 65m ，∴该监控装置符合要求．。
中考数学最易出错知识点
中考数学最易出错知识点数学是一门需要逻辑思维和计算能力的学科，很多同学在中考数学上容易出错，主要原因是对一些基础概念和方法理解不深或者没有掌握好。
下面是中考数学中易出错的一些知识点：1.分数与小数的转化：数学中经常要涉及到分数与小数之间的转化，很多同学容易混淆分数与小数的概念，导致计算错误。
因此在中考前应该掌握好这两种数的转化方法，并能够熟练地进行相互转化。
2.基本运算符的混淆：加减乘除是数学必不可少的基本运算符，但是有些同学容易混淆加法和减法的运算顺序，导致计算错误。
在计算过程中，应该先计算乘法和除法，再计算加法和减法，这样可以保证计算的正确性。
3.几何图形的认识：中考数学中几何图形的认识是重要的一部分，但是有些同学容易混淆各种几何图形的属性和特点。
例如，容易混淆平行四边形和矩形，导致在解题过程中错用了相关的性质，使得计算结果出错。
所以在中考前，应该将各种几何图形的性质和特点都整理清楚，并能够熟练地应用到解题中。
4.空间几何与平面几何的混淆：空间几何与平面几何是数学中两个不同的概念，但是有些同学容易混淆这两个概念，导致在解题过程中错误地应用了相关性质和定理。
在中考前，应该将空间几何和平面几何的性质和特点都整理清楚，并能够正确地应用到解题中。
5.分式方程的解法：分式方程是中考数学中常见的一类方程，但是有些同学在解这类方程时容易出错。
在解分式方程时，应该注意化简方程、排除分母为零的情况、将方程转化为整式方程等步骤，并进行验证。
在中考前，应该多做一些相关的练习题，加深对分式方程解法的理解和掌握。
6.平方根的运算：平方根是中考数学中常见的概念，但是有些同学容易在进行平方根运算时出错。
在进行平方根运算时，应该注意判断被开方数的正负和化简系数的性质，避免计算错误。
在中考前，应该掌握好平方根的运算方法，并能够灵活地应用到解题中。
7.概率与统计的应用：概率与统计是中考数学中的一部分内容，但是有些同学在应用这方面容易出错。
中考数学复习指导：剖析科学记数法中常见的易错点
剖析科学记数法中常见的易错点学科学记数法时，由于对概念的理解不透彻或考虑问题不全面等原因，经常出现这样或那样的问题.现将学生在初学科学记数法时常见易错点剖析如下，以供同学们学习参考.一、科学记数法10na ×中a 值的确定出错例1 我国总人口约为1 370 000 000人，该人口数用科学记数法表示为( )(A) 110.13710×(B ) 91.3710×(C ) 813.710×(D) 713710×错解813.7101370000000×=.故选C.剖析科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤≤，n 为整数，a 只有一 位整数位数.正解1 370 000 000=91.3710×.故选 B.二、科学记数法10n a ×中n 值的确定出错例2 科学记数法表示3400 3.410n =×，则n 等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5错解 选C.剖析科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，n =原数的整数位数 - 1.而3400中有4为整数，则413n =−=，所以33400 3.410=×.正解 选B.三、忽略科学记数法10n a ×中a 的符号出错例3一72 010 000 0001010a =×，则a 的值为( )(A ) 7.201 (B) 7.201−(C) 7.2− (D ) 7.20错解 选A.剖析当原数为负数时，a 为负数.- 72010000000107.20110=−×正解 选B.四、科学记数法与近似数精确度的确定出错例4 科学记数法32.8610×精确到 位.错解 精确到百分位.剖析这种应用科学记数法表示的数在确定其精确到哪一位时，应看其最后一位有效数字在原数中的位置.由32.86102860×=可知原数中6在十位上，故32.8610×精确到十位. 正解 填十.五、将科学记数法10n a ×表示的数写成原数时出错例5 将科学记数法41.3710×表示的数写成原数为错解 41.37101370×=.故填1370.剖析科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中中110a ≤≤，n 为整数，n =原数的整数位数 - 1.因此，原数的整数位数1n =+，所以，41.371013700×=.正解填13700.六、带有小数点的数用科学记数法表示时出错例6 将18765.7用科学记数法表示为错解 518765.7 1.8765710=×.剖析 科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中中110a ≤≤， n =原数的整数位数 - 1，因此，418765.7 1.8765710=×.正解 418765.7 1.8765710=×.七、含有单位“万”，“亿”的科学记数法出错例7 根据第六次全国人口普查主要数据公报，某省常住人口约为4456万人.这个数据可以用科学记数法表示为( )(A) 74.45610×人(B) 64.45610×人(C) 4445610×人(D) 34.45610×人错解 34456 4.45610=×,故选D.剖析当原数后面还有单位“万”时，要用原数乘以10000，再用科学记数法表示. 正解74456=44560000 4.45610=×万.故选A.例8 第一季度，我省固定资产投资完成475.6亿元，这个数据用科学记数法可 表示为( )(A) 24.75610×元(B) 110.475610×元(C) 104.75610×元(D ) 94.75610×元错解 2475.6 4.75610=× ,故选A.剖析 当原数后面还有单位“亿”时，要用原数乘以100000000，再用科学记数法表示.正解 475.6亿1047560000000 4.75610==×.故选C.八、科学记数法与有效数字的确定时出错例9去年我国国内生产总值达397983亿元.请你以亿元为单位用科学记数法表示去年我国的国内生产总值(结果保留两个有效数字)( )(A) 133.910×(B) 134.010× (C) 53.910×(D ) 54.010×错解 选A.剖析 近似数有效数字的个数，要从左边第一个不是0的数字算起，到最后一个数字为止，所有数字的个数，当把一个大数保留较少的有效数字时，其结果往往用科学记数法表示.正解 55397983 3.9798310 4.010=×=×(亿元).故选D.九、需要计算的科学记数法出错例10 在第六次全国人口普查中，某市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口 占9. 2 %，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为()(A) 6810×人(B) 47.3610×人(C) 57.3610×人(D) 67.3610×人错解 选A.剖析先计算出该市65岁及以上人口数，然后用科学记数法的表示形式为10n a ×的形式. 正解 该市65岁及以上人口为:80000009.2%736000×= (人).将736000人用科学记数法表示57.3610×人.故选C.。
中考数学常考易错点：3-3-1《二次函数的图象与性质》
二次函数的图象与性质易错清单1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定.【例1】(2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.【答案】∵抛物线的对称轴为直线x=2,∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确.∵当x=-3时,y<0,∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误.∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0.而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a.∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.∵抛物线开口向下,∴a<0.∴8a+7b+2c>0.所以③正确.∵对称轴为直线x=2,∴当-1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.所以④错误.故选B.【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.2.二次函数和最值问题【例2】(2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为().【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m,①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在.②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解.名师点拨1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数.2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式.3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质.4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点坐标等.提分策略1.二次函数的图象与性质的应用.(1)求二次函数的图象的顶点坐标有两种方法:①配方法;②顶点公式法,顶点坐标为.(2)画抛物线y=ax2+bx+c的草图,要确定五个方面,即①开口方向;②对称轴;③顶点;④与y轴交点;⑤与x轴交点.【例1】(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形式;(2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象;(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<x2<1,请比较y1、y2的大小关系(直接写结果);(4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来.【解析】(1)根据配方法的步骤进行计算.(2)由(1)得出抛物线的对称轴,顶点坐标列表,注意抛物线与x轴、y轴的交点及对称点等特殊点的坐标,不要弄错.(3)开口向上,在抛物线的左边,y随x的增大而减小.(4)抛物线y=x2-4x+3与直线y=2的交点的横坐标即为方程x2-4x+3=2的两根.【答案】(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)+3-4=(x-2)2-1.(2)由(1)知图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),列表如下:描点作图如图.(3)y1>y2.(4)如图,点C,D的横坐标x3,x4即为方程x2-4x+3=2的根.2.二次函数的解析式的求法.二次函数的关系式有三种:(1)一般式y=ax2+bx+c;(2)顶点式y=a(x-m)2+n,其中(m,n)为顶点坐标;(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)为抛物线与x轴的交点.一般已知三点坐标用一般式求关系式;已知顶点及另一个点坐标用顶点式;已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交点式.【例2】已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为,求二次函数的解析式.【解析】根据题目要求,本题可选用多种方法求关系式.3.二次函数的图象特征与系数的关系的应用.二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)系数的符号与抛物线二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象有着密切的关系,我们可以根据a,b,c的符号判断抛物线的位置,也可以根据抛物线的位置确定a,b,c的符号.抛物线的位置由顶点坐标、开口方向、对称轴的位置确定,顶点所在象限由的符号确定.【例3】(2014·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断①;先根据抛物线的开口向下可知a<0,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断②;一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断③即可.【答案】①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,故①正确.②∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0.∵对称轴,∴ab<0.∵a<0,∴b>0.∴abc<0,故②正确.③∵一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点.由图可得,m>2,故③正确.故选D.4.二次函数的图象的平移规律的应用.(1)采用由“点”带“形”的方法.图形在平移时,图形上的每一个点都按照相同的方向移动相同的距离,抛物线的平移问题往往可转化为顶点的平移问题来解决.(2)平移的变化规律可为:①上、下平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向上平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k+m;当抛物线y=a(x-h)2+k向下平移m(m>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h)2+k-m.②左、右平移:当抛物线y=a(x-h)2+k向左平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h+n)2+k;当抛物线y=a(x-h)2+k向右平移n(n>0)个单位后,所得的抛物线的关系式为y=a(x-h-n)2+k.【例4】(2014·甘肃兰州)把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为().A. y=-2(x+1)2+2B. y=-2(x+1)2-2C. y=-2(x-1)2+2D. y=-2(x-1)2-2【解析】根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律:“左加右减,上加下减.”【答案】把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为y=-2(x-1)2+2,故选C.专项训练一、选择题1. (2014·江苏句容一模)若抛物线y=mx2+(m-3)x-m+2经过原点,则m的值为().A. 0B. 1C. 2D. 32.(2014·辽宁营口模拟)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是().3. (2014·安徽安庆正月21校联考)抛物线y=ax2+bx-3经过点(2,4),则代数式8a+4b+1的值为().A. 3B. 9C. 15D. -154.(2013·山东德州一模)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③④b>1.其中正确的结论是().A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④(第4题)(第5题)5.(2013·山西中考模拟六)若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图,则a的值为().6. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是().二、填空题7.(2014·安徽安庆正月21校联考)如图,大桥有一段抛物线型的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒.(第7题)8. (2014·甘肃天水模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分.其对称轴为x=-1,且过点(-3,0).下列说法:(1)abc<0;(2)2a-b=0;(3)4a+2b+c=0;(4)若(-5,y1), 是抛物线上两点,则y1>y2.其中说法正确的是.(填序号)(第8题)9.(2014·辽宁大连二模)如图是函数y=x2+bx-1的图象,根据图象提供的信息,确定使-1≤y≤2的自变量x的取值范围是.(第9题)10. (2014·山东德城模拟)如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为B(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是.(第10题)11.(2013·江苏东台实中)已知抛物线与x轴两交点分别是(-1,0),(3,0),另有一点(0,-3)也在图象上,则该抛物线的关系式是.12.(2013·北京龙文教育一模)点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,若x2>x1>1,则y1与y2的大小关系是y1y2.(用“>”“<”或“=”填空)13. (2013·河北一模)如图,抛物线y=ax2+bx与直线y=kx相交于点O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式ax2+bx<kx的解集为.(第13题)三、解答题14. (2014·北京平谷区模拟)已知关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0.(1)求证:无论m取任何实数时,方程总有实数根;(2)关于x的二次函数y1=x2-mx+m-1的图象C1经过(k-1,k2-6k+8)和(-k+5,k2-6k+8)两点.①求这个二次函数的解析式;②把①中的抛物线E沿x轴翻折后,再向左平移2个单位,向上平移8个单位得到抛物线.设抛物线C2交x轴于M,N两点(点M在点N的左侧),点P(a,b)为抛物线C2在x轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN≤45°时,直接写出a的取值范围.(第14题)15. (2014·安徽安庆二模)如图,在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为AC中点,E为边AB 上一动点,F为边BC上一点,且满足条件∠EPF=45°,记四边形PEBF的面积为S1.(1)求证:∠APE=∠CFP;(2)记△CPF的面积为S2,CF=x.①求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围,并求出y的最大值;②在图中作四边形PEBF关于AC的对称图形,若它们关于点P中心对称,求y的值.(第15题)16.(2013·山东德州一模)如图,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(-3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若点M是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M 的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.(第16题)参考答案与解析1. C[解析]将(0,0)代入函数关系式即可.2. D[解析]假设函数在D选项中正确,则m<0,∴-m>0,抛物线的开口向上,顶点的横坐标.所以D正确,别的选项这种假设均不成立.3. C[解析]将点(2,4)代入抛物线方程,得4a+2b-3=4,∴4a+2b=7.∴8a+4b+1=2×7+1=15.4. D[解析]①∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0.∵对称轴为,∴a,b同号,即b>0.∴abc<0.故本结论错误.②当x=1时,函数值为2,∴a+b+c=2.故本结论正确.③∵对称轴,解得.又b>1,∴.故本结论错误.④当x=-1时,函数值<0,即a-b+c<0(1),又a+b+c=2,将a+c=2-b代入(1)式,得2-2b<0,∴b>1.故本结论正确.综上所述,其中正确的结论是②④.5. D[解析]由题意,知a2-2=0,且a>0.6. C[解析]当a>0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A,D不正确;由B,C中二次函数的图象可知,对称轴,且a>0,则b<0,但B中,一次函数a>0,b>0,排除B.7. 36[解析]10秒时和26秒时拱梁的高度相同,则到达顶点时是18秒,所以通过拱梁部分的桥面OC共需18×2=36秒.8. (1)(2)(4)[解析]其对称轴为x=-1,且过点(-3,0),则另一个交点是(1,0).当x=2时,函数值大于零,即4a+2b+c>0,∴(3)错误,其余的均正确.9.2≤x≤3或-1≤x≤0[解析]把(3,2)代入y=x2+bx-1,得b=-2,当y=-1时,x=-1或x=2,观察可知:使-1 ≤y≤2的自变量x的取值范围是2≤x≤3或-1≤x≤0.10.x<-1或x>3[解析]观察可知抛物线与x轴另一交点为(-1,0),所以不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3.11.y=x2-2x-3[解析]用待定系数法求二次函数解析式.12.< [解析]先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1,再根据二次函数图象上的点,x>1时,y随x的增大而增大.13. 0<x<3[解析]利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式.14. (1)在x2-mx+m-1=0中,Δ=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2.∵当m取任何值时,(m-2)2≥0,∴无论m取任何实数时,方程总有实数根.(2)①∵抛物线y1=x2-mx+m-1过点(k-1,k2-6k+8)和点(-k+5,k2-6k+8),15. (1)∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°.在等腰直角△ABC中,∠PCF=45°,则∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°,∴∠APE=∠CFP.(2)①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,在等腰直角△ABC中,AC=AB=4,又P为AC的中点,则AP=CP=2,如图(1),过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,(第15题(1))∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4.②如图(2)所示:(第15题(2))图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 此时EB=BF,即AE=FC,(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5.∴C,D两点的坐标分别是(5,4),(2,0).∴点C和点D在所求抛物线上.。
中考数学常考易错点-平面直角坐标系及函数的图象
平面直角坐标系及函数的图象易错清单1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?【例1】(山东济宁)函数中的自变量x的取值范围是().A. x≥0B. x≠-1C. x>0D. x≥0且x≠-1【解析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围.【答案】根据题意，得x≥0且x+1≠0，解得x≥0.故选A.【误区纠错】本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.【例2】(山东泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点，B(0，4)，则点B2014的横坐标为.【解析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案.【答案】∵，BO=4，故答案为10070.【误区纠错】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.【例3】(山东烟台)如图，点P是ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是().【解析】分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动，△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可.【答案】点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动，△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小.故选A.【误区纠错】本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.名师点拨1.会画出直角坐标系，能标识点在平面直角坐标系的位置.2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.3.理解函数的意义，会解释并区分常量与变量，能列简单的函数关系，会进行描点法画函数的图象.4.能列举函数的三种表示方法.5.会求出函数中自变量的取值范围，如保证分母不为零，使二次根式有意义等.6.能利用代入法求函数的值.7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.提分策略1.函数的概念及函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:(1)当函数关系式是整式时，自变量可取全体实数;(2)当函数关系式是分式时，考虑分式的分母不能为0;(3)当函数关系式是二次根式时，被开方数为非负数.此题就是第三种情形，考虑被开方数必须大于等于0.【解析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解.【答案】 C2.函数解析式的求法.具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.【例2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:方案一:从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元;方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案?并说明理由.【答案】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x，由y1=y2，得16 000-1.6x=0，解得x=10000.∴当x<10000时，y1<y2.选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.∴当x>10000时，y1>y2.选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.∴当x=10000时，y1=y2.两种方案都可以，两种方案所需的费用相同.3.坐标系中的图形的平移与旋转.求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点:一是根据图形变换的性质，二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.【例3】在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是.4.运用函数的图象特征解决问题.(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点P(x，y)中的坐标值x，y是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.(2)注意方程与函数的结合，抓住“方程(方程的解)——点的坐标——函数图象与性质”这个网，结合数学知识，用数形结合法来解题.【例4】小刚上午7:30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分钟，到达学校的时间是7:55.为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?(2)下午4:00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问:①小刚到家的时间是下午几时?②小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是(20，1100).点C的坐标是(50，1100)，点D的坐标是(60，0)，设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b，将点C，D的坐标代入，得所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.5.分段函数的应用自变量在不同的范围内取值时，函数y和x有不同的对应关系，这种函数称为分段函数，解决分段函数的有关问题时，关键是弄清自变量的取值范围，选择适合的解析式解决问题.【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是().【答案】 B专项训练一、选择题1.(四川中江县一模)已知点A(a，1)与点A'(-5，b)是关于原点O的对称点，则a+b的值为().A. 1B. 5C. 6D. 42. (深圳模拟)已知点A(a+2，a-1)在平面直角坐标系的第四象限内，则α的取值范围为().A. -2<a<1B. -2≤a≤1C. -1<a<1D. -1≤a≤23.(宁夏银川外国语学校模拟)已知点P(a+1，2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是().4. (内蒙古赤峰模拟)小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系的大致图象是().5.(2013·广东佛山模拟)在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是().A. 2B. 8C. -2D. -86.(2013·湖北宜昌调研)在正方形ABCD中，点P从点C出发沿着正方形的边依次经过点D，A向终点B运动，运动的路程为x(cm)，△PBC的面积为y(cm2)，y随x变化的图象可能是().7. (2013·河南南阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA，OB，使OA=OB;再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1，2n)，则m与n的关系为().(第7题)A. m+2n=1B. m-2n=1C. 2n-m=1D. n-2m=1二、填空题8. (广西玉林模拟)在平面直角坐标系中，点(0，2)到x轴的距离是.9. (甘肃天水模拟)函数中，自变量x的取值范围10.(四川达州模拟)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为(用n表示).(第10题)11.(2013·北京房山区一模)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是.(第11题)三、解答题12. (四川峨眉山二模)如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长是1，把△ABC 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A'B'C'.在坐标系中画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点的坐标.(第12题)13.(2013·辽宁葫芦岛一模)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为(3，2)，(1，3).△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为;(2)点A1的坐标为;(3)在旋转过程中，点B经过的路径为的长为.(第13题)参考答案与解析1. D[解析]a=5，b=-1.2. A[解析]由a+2>0，a-1<0，得-2<a<1.4. C[解析]先慢步行走，再打了一会儿太极拳，最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间的函数关系6.A[解析]利用图象可以发现△PBC的面积，从增大到不变，再到不断减小，结合图象可选出答案.7. B[解析]根据题意可知OC为∠AOB的平分线，点C的坐标为(m-1，2n)且在第一象限，点C到x轴、y轴距离为m-1，2n，根据角平分线上的点到角两边距离相等，可知m-1=2n，所以m-2n=1.8. 2[解析]点p(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|.9.x≥0且x≠1[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零，得x≥0且x≠1.10. (2n，1)[解析]A4 (2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)，∴A4n (2n，0).11.[解析]根据31÷4=7……3，得出A31在直线y=x上，在第三象限，且在第8个圆上，求出OA31=8，通过解直角三角形即可求出答案.12.图略; 各顶点坐标为A'(2，2)，B'(3，-2)，C'(0，-6).。
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114xx +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学易错点总结
中考数学易错点总结
以下是中考数学易错点总结：
1. 题目未仔细审题：中考数学题有很多需要仔细审题的，如果没有认真阅读题目，容易做错。
2. 计算错误：计算错误是中考数学的一个大问题，因此在做数学题时，需要耐心地完整计算，避免粗心的笔误。
3. 公式记不清：中考数学中有很多公式，需要事先认真记忆和理解。
4. 几何题图形画错：中考数学有很多几何题，如果图形画错，答案就会错误。
5. 不理解概念：在做数学题时，难免会出现不理解概念的情况，因此需要认真的学习数学概念，理解其含义。
6. 不会分析问题：中考数学的问题有时需要进行分析，如果没有仔细分析问题，就很容易将坐错。
7. 概率题计算错误：计算概率题时，不能只考虑一个事件，还要考虑其他事件的因素。
8. 公式套用不当：中考数学中的公式不能随便套用，需要根据实际情况进行适当的调整。
9. 非标准答案：中考数学有时会出现非标准答案，需要认真理解题目，避免盲目使用。
10. 考试压力：中考数学是一场考试，可能会产生一定的压力，因此需要做好心理准备，保持冷静。
中考数学最易出错的61个知识点总结
中考数学最易出错的61个知识点总结
一、因式分解
1、出现理解困难的大型多项式；
2、完全平方公式理解不深；
3、不会正确判断可分解和不可分解；
4、识别因式分解是否正确；
5、不明白如何将表达式转化为可分解的形式；
6、因数求不全，易漏掉因式；
7、费尽心力才能识别出需要分解的式子；
二、解方程
1、对特殊方程无法识辨；
2、不完全了解各类方程的解法范式；
3、不会按照技巧转换方程，或计算时错误，出现错误解；
4、把二次方程式误认为一次方程；
5、犯简单的错误，比如弄混正负号，或是把公因数带下去；
6、列举出的解不完整；
7、不能完全理解一元二次方程的根的判别式；
三、代数式
1、对于几何意义不明确的代数式理解困难；
2、熟练操作求数据值，但不能理性分析；
3、一元二次代数式系数浮动，常难理解；
4、已知中间值不能写出一元二次代数式；
5、不能正确按照公式求解；
6、指数代数式的理解能力不够；
7、错误认为除法和开方运算法则相同；
四、直线方程
1、对斜截式判定其斜率与截距的表达式能力不足；
2、作分数时除以0，出现斜率无穷大的情况；
3、不能正确识别相关的点和直线；
4、不能正确判断两条直线是否平行或垂直；。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
中考数学必须掌握的28个考点及60个易错点
中考进入最后的倒计时了，老师整理了中考的28个考点以及60个易错点，同学们再自查一下哈，以免遗漏！1相似三角形(7个考点)考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念; (2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3：相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。
考点5：三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。
考点6：向量的有关概念考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算2锐角三角比(2个考点)考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值。
考点9：解直角三角形及其应用考核要求：(1)理解解直角三角形的意义; (2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
3二次函数(4个考点)考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念; (2)知道常值函数; (3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。
考点11：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法; (2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。
为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。
《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
下面我们来逐个讲解常见易错点。
1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。
而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。
错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。
2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。
易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。
3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax² + bx + c。
抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。
4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。
对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。
对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。
5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。
相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。
6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。
中考数学查补易混易错点《整式及其计算》原卷
查补易混易错01 整式及其计算中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。
在整式的化简求值问题中，则多注意整式混合运算的法则应用。
中考五星高频考点，难度中等偏下，但在全国各地中考试卷中属于必考考点易错01：幂的各公式记背⎪⎩⎪⎨⎧•===••+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m nm n m b a ab a a a a a )()(易错02：乘法公式的记背与区别完全平方公式：()2222222)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+；首先，需注意公式中ab 乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：()；2222y x y xy x --=-+-特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。
平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：()；22)(x y y x y x -=---【中考真题练】1．（2022•德州）下列运算正确的是（ ） A ．a 2+2a 2＝3a 4 B ．（2a 2）3＝8a 6C ．a 3•a 2＝a 6D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 22．（2022•成都）下列计算正确的是（）A．m+m＝m2B．2（m﹣n）＝2m﹣nC．（m+2n）2＝m2+4n2D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9 3．（2022•德州）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣2（a为任意实数），则M﹣N的值（）A．小于0B．等于0C．大于0D．无法确定4．（2022•百色）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（ab）2＝a2b25．（2022•大庆）已知代数式a2+（2t﹣1）ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为．6．（2022•河北）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．【中考模拟练】1．（2023•金牛区模拟）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（4ab3）2＝4a2b6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a﹣1）2＝a2﹣12．（2023•福建模拟）化简结果为﹣8a6的单项式是（）A．B．（﹣2a3）3C．（﹣2a2）3D．﹣（3a3）2 3．（2023•松北区一模）下列运算一定正确的是（）A．2a2•3a2＝6a6B．2a2+3a2＝5a4C．（a3）2＝a5D．a4•a2＝a64．（2023•开州区模拟）有依次排列的2个整式：x，x+2，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，x+2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论：小琴：第二次操作后整式串为：x，2﹣x，2，x，x+2；小棋：第二次操作后，当|x|＜2时，所有整式的积为正数；小书：第三次操作后整式串中共有8个整式；小画：第2023次操作后，所有的整式的和为2x+4048；四个结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4 5．（2022•武江区校级一模）已知：，则x＝．6．（2023•金牛区模拟）已知x+y＝1，xy＝﹣3，则x2+y2＝．7．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为．8．（2023•大庆一模）若关于x的多项式x2﹣ax+36＝（x+b）2，则a+b的值是．9．（2023•陕西模拟）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，如图揭示了（α+b）n（n为非负整数）展开式中各项系数的有关规律，第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数；……；请根据规律写出（α+b）4展开式中第3项的系数是．10．（2023•衡水模拟）下面是嘉淇对于一道整式化简题目的不完整的解题过程，其中P是关于a的多项式．a（P）﹣8 （a﹣1）＝a2+4a﹣8a+8＝……（1）求多项式P；（2）请将题目的化简过程补充完整，并判断该化简结果能为负数吗？说明理由．11．（2023•襄都区校级一模）将从1开始的连续自然数按如图的方式排列，其中第a行第b 个数字可以表示为（a，b），例如第三行第四个数字为8，用（3，4）的形式表示数字8．（1）图中（5，7）表示的数是，第9行共有个数，58可以表示为；（2）用含n的代数式表示第n行所有数字的和．。
2024中考数学易错题专题易错07图形的变化(七大易错分析+举一反三+易错题通关)(原卷版)
易错07图形的变化易错点一：弄错平移方向和距离平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等易错提醒：平移时弄错方向和距离，注意是对应点之间的距离为平移的距离例1．如图，在ABC V 中，5,7,60AB BC B ==Ð=°，将ABC V 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C ¢¢¢V ，连接A C ¢，则线段A C ¢的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．7例2．如图，将周长为16cm 的三角形ABC 沿BC 方向平移，得到三角形DEF ，若四边形ABFD 的周长为22cm ，则平移距离为 ．变式1．如图，平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动，()()0203A B ，，，，连接AC BD ，，则AC BD +的最小值为 ．变式2．如图，点I 为ABC V 的内心，6AB =，4AC =，3BC =，将ACB Ð平移使其顶点与I 重合，则图中阴影部分的周长为 ．变式3．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A ，B ，B 的坐标分别为1140A B （，），（，），请解答下列问题：(1)直接写出点C 的坐标；(2)将ABC V 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到DEF V ，（点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ），画出DEF V ；(3)直接写出（2）中四边形DBCF 的面积为 ．变式4．如图，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为()30A -，；()12B -，，()12C -，．将三角形ABC 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形111A B C ．(1)画出三角形111A B C ，顶点1A 的坐标为 ，顶点1C 的坐标为 ；(2)求三角形111A B C 的面积；(3)已知点P 在x 轴上，以11B C P ，，为顶点的三角形的面积为6，请直接写出点P 的坐标．1．如图，将边长为5的正方形ABCD 沿BC 的方向平移至正方形DCEF ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．25B ．30C ．35D ．502．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,3，OAB V 沿x 轴向右平移后得到O A B ¢¢¢△，点A 的对应点A ¢在直线34y x =上，则点B 与其对应点B ¢间的距离为 ．3．如图，将直角ABC V 沿边AC 的方向平移到DEF V 的位置，连结BE ，若3,7CD AF ==，则BE 的长为 ．4．在平面直角坐标系中，点()A m n ，满足n =．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图1，将线段OA 沿y 轴向下平移a 个单位后得到线段BC （点O 与点B 对应），过点C 作CD y ^轴于点D ，若43OD BD =，求a 的值；(3)如图2，点()05E ，在y 轴上，连接AE ，将线段OA 沿y 轴向上平移3个单位后得到线段FG （点O 与点F 对应），FG 交AE 于点P ，y 轴上是否存在点Q ，使6APQ S =△，若存在，请求Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿竖直方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对(),a b 叫做这一平移的“平移量”．例如：点A 按“平移量”()1,3（向右平移1个单位，向上平移3个单位）可平移到点B ；点B 按“平移量”()1,3--可平移到点A ．(1)填空：点B 按“平移量”（________，________）可平移到点C ；(2)若把图中三角形M 依次按“平移量”()()3,41,1--、平移得到三角形N ．①请在图中画出三角形N （在答题卡上画图并标注N ）；②观察三角形N 的位置，其实三角形M 也可按“平移量”（________，_______）直接平移得到三角形N ．6．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC V 的三个顶点的位置如图所示．现将ABC V 沿着点A 到点D 的方向平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．(1)画出ABC V 中AC 边上的高BH ；画出AB 边上的中线CM ；(2)请画出平移后的DEF V ；(3)若连接AD ，BE ，则这两条线段之间的关系是______．7．如图，ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C .(1)请画出将ABC V 向左平移4个单位长度后得到的图形111A B C △；(2)请画出ABC V 关于原点O 成中心对称的图形222A B C △；(3)在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标．易错点二：区分不了各种对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，易错提醒：轴对称和中心对称是两个图形之间的位置关系，轴对称图形和中心对称图形是一个图形的特征例3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．例4．下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（）A．B．C．D．变式1．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A．三叶玫瑰线B．四叶玫瑰线C．心形线D．笛卡尔叶形线变式2．甲骨文是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，最早出土于河南省安阳市殷墟．下列甲骨文中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．变式3．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是．变式4．下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有．1．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等边三角形D ．正方形2．如图，直线l 是正方形的一条对称轴，l 与AB ，CD 分别交于点M ，N ．AN ，BC 的延长线相交于点P ，连接BN ．下列三角形中，与NCP V 成中心对称的是（ ）A ．NCB △B ．BMN VC ．AMN VD ．NDA△3．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在正方形网格中，与ABC V 成轴对称的三角形可以画出 个．5．一个英文图象平行对着镜子，在镜子里看到的是“”，则这个英文单词的中文意思是 ．6．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC V 的顶点均在格点上．(1)画出ABC V 关于原点O 的中心对称图形111A B C △；(2)将DEF V 绕点E 顺时针旋转90°得到11D EF △，画出11D EF △；(3)若DEF V 由ABC V 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ．7．如图，在76´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，请你按要求画出图形．(1)在图甲中作出111A B C △，使111A B C △和ABC V 关于点D 成中心对称；(2)在图乙中分别找两个格点2C 、2D ，使得以A 、B 、2C 、2D 为顶点的四边形为平行四边形，并且平行四边形的面积为ABC V 面积的4倍．易错点三：对位似的定义不理解，已识别错误位似：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ,'P 所在的直线都经过同一点O ，且有'OP =()0k OP k ×¹，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心易错提醒：注意位似多边形对应顶点都会经过同一个点，切不可通过主观感觉进行判断例5．如图，在直角坐标系中，点P 的坐标是()1,0，点A 的坐标是()0,1，线段CD 是由线段AB 以点P 为位似中心放大3倍得到的，则点C 的坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,4-C ．()3,3-D ．()3,4-例6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O M N ，，分别是边AB AD ，的中点，连接OM ON MN ，，，则下列叙述不正确的是（ ）A ．AMO V 与ABC V 位似B ．AMN V 与BCD △位似C ．ABO V 与CDO V 位似D ．AMN V 与ABD △位似变式1．由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，AOB BOC COD LOM Ð=Ð=Ð=×××=Ð30=°．若1AOB S =V ，则图中与BOA △位似的三角形的面积为（ ）A ．343æöç÷èøB ．743æöç÷èøC ．643æöç÷èøD ．634æöç÷èø变式2．如图，ABC V 和A B C ¢¢△是以点C 为位似中心的位似图形，且A B C ¢¢△和ABC V 的面积之比为1:4，点C 的坐标为()1,0，若点A 的对应点A ¢的横坐标为2-，则点A 的横坐标为 ．变式3．在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，已知点()2,1A --，点()3,3B --，点()1,2C --．(1)画出ABC V ；(2)画出ABC V 关于x 轴对称的111A B C △；(3)请以原点O 为位似中心在第一象限内画出222A B C △，使它与ABC V 位似，且相似比是2:1，并写出222A B C △三个顶点的坐标．变式4．（1）如图，AD BE CF ∥∥，直线1l ，2l 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若2,6, 1.5AB AC DE ===，求EF 的长．（2）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为(4,1)A ，()2,3B ，(1,2)C ．①画出ABC V 绕原点O 逆时针旋转90°得到111A B C △；②以原点O 为位似中心，在第三象限内画一个222A B C △，使它与ABC V 的相似比为2:1，并写出点2B 的坐标．1．如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,2A ，()3,0B ，以坐标原点O 为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB 的相似比为1:2，正确的画法是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC V 外任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF 得到DEF V ，则下列说法错误的是（ ）A ．ABC V 与DEF V 是位似图形B ．ABC V 与DEF V 是相似图形C ．ABC V 与DEF V 的周长比是2:1D ．ABC V 与DEF V 的面积比是1:43．下面四个图中，ABC V 均与A B C ¢¢¢V 相似，且对应点交于一点；则ABC V 与A B C ¢¢¢V 成位似图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，在正方形网格中，以点O 为位似中心，ABC V 的位似图形是 （用图中字母表示），ABC V 与该三角形的位似比为 ．5．如图，已知O 是坐标原点，B C ，两点的坐标分别为(3,1)(2,1)-，．(1)以O 点为位似中心在y 的左侧将OBC △放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；并分别写出B C ，的对应点B C ¢¢，的坐标；(2)若OBC △内部有一点(),M m n ，则其对应点M ¢的坐标是____________．6．如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出111A B C △和222A B C △．(1)先作ABC V 关于直线l 成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到111A B C △；(2)以图中的点O 为位似中心，将111A B C △作位似变换且放大到原来的两倍，得到222A B C △．7．如图，A ，B ，O 三点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．(1)在图1中以点O 为位似中心，作线段AB 的位似图形CD ，使其长度为AB 的2倍．(2)已知OPQ △的三边比为1:2，在图2中画格点ABD △，使ABD △与OPQ △相似．易错点四：混淆平行投影和中心投影平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．易错提醒：根据不同点区分平行投影和中心投影：平行投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线互相平行（或在同一直线上）；中心投影中，物体上的每个点与其影子上的对应点的连线所在的直线交于一点，且交点时光源所在的位置例7．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）A ．越来越小B ．越来越大C ．大小不变D ．不能确定例8．如图，小明家的客厅有一张高0.75米的圆桌，直径BC 为1米，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D ，E ，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D 的坐标为(2,0)，则点E 的坐标是（ ）A ．(4,0)B ．(3.6,0)C ．()2.75,0D ．(3,0)变式1．太阳光线与地面成60°的角，当太阳光线照射在地面上的一只皮球上时，皮球在地面上的投影长是20cm ，则皮球的直径为（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．变式2．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是 （填序号）．变式3．如图，一墙墩（用线段AB 表示）的影子是BC ，小明（用线段DE 表示）的影子是EF ，在M 处有一棵大树，它的影子是MN ．(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置（用点P 表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；(2)在图中画出表示大树高的线段；(3)若小明的身高是1.8m ，他的影长18m EF =.．大树的高度为7.2m ，它的影长7.2m MN =．且大树与小明之间的距离16.2m ME =，求路灯的高度．变式4．如下图，路灯下，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一颗大树，它的影子是MN．(1)试确定路灯的位置（用点P表示）；(2)在图中画出表示大树高的线段．1．如图，小明夜晚从路灯下的甲处走到乙处的过程中，他在地面上的影子（）A．逐浙变长B．逐渐变短C．先变长后变短D．先变短后变长2．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A．B．C．D．3．在同一直线上直立着三根高度相同的木杆，它们在同一路灯下的影子如图所示．若光源与三根木杆在同一平面上，则光源所在位置是（）A．A的左侧B．A、B之间C．C的右侧D．B，C之间．4．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（）A．4m B．8m C．12m D．16m5．如图，文文应用所学的三角形相关知识测量河南广播电视塔的高度，她站在距离塔底A点120m处的D 点，测得自己的影长DE为0.4m，此时该塔的影子为AC，她测得点D与点C的距离为23m，已知文文的身高DF为1.6m，求河南广播电视塔AB的高．（图中各点都在同一平面内，点A，C，D，E在同一直线上）6．如图，正方形纸板ABCD 在投影面α上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD ，与投影面平行，AD BC ，与投影面不平行，若正方形ABCD 的边长为4厘米，145BCC Ð=°，求投影1111D C B A 的面积．7．树甲在阳光下的影子如图所示.(1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）；(2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明．易错点五：画视图时易出错几何体的三视图：画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．易错提醒：画物体的三视图时，一是要正对物体，而不能斜看向物体;二是看得见部分的轮廓线要画成实线，看不到部分的轮廓线要画成虚线;三是要把看得见的边缘、棱、顶点等等都要画出来，否则会产生错误视图，从而导致解题出错例9．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．五棱柱B．圆柱C．长方体D．五棱锥例10．如图是由一个圆柱体和一个正方体组成的立体图形，则它的主视图是（）A．B．C．D．变式1．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．变式2．请画出如图所示的正三棱柱的三种视图．V），请解答下列问题：变式3．一个几何体的三视图如图（其俯视图是等边ABC(1)这个几何体的名称是 ；(2)根据图中标注的尺寸，求这个几何体的体积．变式4．（1）解方程：2(23)160x +-=；（2）已知一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积．1．如图所示，左边立体图形的俯视图为（ ）．A ．B ．C ．D ．2．如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（ ）A．B．C．D．3．一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（）A．B．C．D．4．在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：cm）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表1cm．5．画出如图所示组合体的三视图6．如图是一个三棱柱的三视图，其俯视图为等边三角形，则其侧面积为．7．某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图(1)由三视图可知，密封纸盒的形状是___________．(2)请你根据图中的数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号）易错点六：立体感不强，数的过程易出错易错提醒：解答此类由视图还原几何体的问题，一般情况下都是由俯视图确定几何体的位置(有几行几列)，再由另外两个视图确定几第几行第几列处有多少个小正方体，简便的方法是在原俯视图上用标注数字的方法来解答例11．在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子总个数是（ ）A．11B．12C．13D．14例12．一个几何体由一些大小相同的小正方体组成，如图是它的主视图、左视图和俯视图，那么组成该几何体所需小正方体的个数是．变式1．由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为．变式2．一个几何体由一些大小相同的小立方块搭成，从正面，左面，上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则这个几何体一共有个小立方块．变式3．由m个相同的正方体组成一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设m能取到的最大值是a，则多项式2--的值是a a252变式4．如图，在平整的地面上，将若干个边长均为1cm的小正方体堆成一个几何体，并放置在墙角．(1)请画出这个几何体的主视图和俯视图；(2)若将其露在外面的面涂上一层漆（不包括与墙和地面接触的部分），则其涂漆面积为2cm；(3)添加若干个上述小正方体后，所成几何体的左视图和俯视图不变，则有 种添加方式．1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．2．如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何体中，小正方体的个数是．3．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，下图分别是从正面、上面看到的形状图，则搭成这个几何体的小立方块最多有个．4．已知由多个小立方体搭一个几何体，从正面看和从上面看到的图形如图所示，则要组成这样的几何体所需的小立方体的块数最少块．5．如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．(1)图中有______块小正方体；(2)该几何体从正面看到的形状图已画出，请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的该几何体的形状图．6．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，依次完成下列问题．(1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图；(2)继续添加相同的小立方块与原几何体搭成一个新的几何体，使新几何体从正面、左面看到的形状图与原几何体从正面、左面看到的形状图相同，则最多可以添加________个．7．如图，在平整的地面上，用若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成了一个几何体．(1)分别在方格纸中画出这个几何体的主视图和左视图；(2)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的主视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体；(3)若在原几何体上再添加一些小正方体，且得到的新几何体与原几何体的左视图和俯视图不变，则最多可以添加__________个小正方体．易错点七：把握不准图形变换前后的性质旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。
专题04一元二次方程(3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法)(解析)-初中数学北师大版9年级上册
专题04一元二次方程（3个知识点4大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．1．（2023春•文登区期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．C．x2+2x＝x2﹣1D．3（x+1）2＝﹣3【解答】解：A．当a＝0时，原方程为一元一次方程，选项A不符合题意；B．方程是分式方程，选项B不符合题意；C．x2+2x＝x2﹣1是一元一次方程，选项C不符合题意；D．3（x+1）2＝﹣3是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．2．（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0B．x2+3＝0C．3x2+6x＝1D．3x2+1＝0【解答】解：已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+1＝0，故选：D．3．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6C．a＝1，b＝﹣2，c＝3D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，移项得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D．4．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5B．3，1C．3x2，﹣5x D．3，﹣5【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．故选：D．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．5．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（）A．﹣2B．﹣4C．0D．4【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝0得4+2b﹣b＝0，解得b＝﹣4．故选：B．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值6.（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1B．3C．1D．1或﹣1【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，∴|m|+1＝2且m+1≠0，解得m＝1．故选：C．7．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2B．a≥0且a≠2C．a≥2D．a≠2【解答】解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值8．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．2020【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，故选：C．9．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．【解答】解：由题意得：把x＝3代入方程x2﹣mx﹣2＝0中得：32﹣3m﹣2＝0，解得：m＝，故答案为：．10．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴m2+m﹣1＝0，∴m2+m＝1，∴2023﹣m2﹣m＝2023﹣（m2+m）＝2023﹣1＝2022．故答案为：2022．11．（2022秋•梁山县期末）已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的解，∴m2+m﹣3＝0，∴m2+m＝3，∴m3+2m2﹣2m+2022＝m3+m2+m2﹣2m+2022＝m（m2+m）+m2﹣2m+2022＝3m+m2﹣2m+2022＝m2+m+2022＝3+2022＝2025，∴式子m3+2m2﹣2m+2022的值为2025．12．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．13．（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．【解答】解：原式＝[+]×＝＝，∵a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根，∴a2+3a﹣4046＝0，∴a2+3a＝4046，把a2+3a＝4046代入原式＝．题型三：一元二次方程新定义问题14．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．【解答】解：（1）是．理由如下：当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，即m的值为2或﹣1．15．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．①若x＝0是两个方程相同的实数根．将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，∴m＝1；②若x＝2是两个方程相同的实数根．将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，∴m＝﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．16．（2022秋•长汀县期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程x2+2x+1＝0“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．【解答】解：（1）方程x2+2x+1＝0中，∵a＝1，b＝1，∴c＝，∴c＝×＝2，∴方程x2+2x+1＝0是勾系一元二次方程．故答案为：是；（2）当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，∵2a+2b+c＝12，即2（a+b）+c＝12，∴3c＝12，∴c＝2，a+b＝c＝4，∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴ab＝4，＝ab＝2．∴S△ABC17．（2022秋•南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b 2﹣4ac ＝0；不是；（2）∵x ＝m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，x ＝n 是一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的一个根，∴am 2+bm +c ＝0，cn 2+bn +a ＝0，将cn 2+bn +a ＝0两边同除以n 2得：a （）2+b （）+c ＝0，∴将m 、看成是方程ax 2+bx +c 的两个根，∵b 2﹣4ac ＝0，∴方程ax 2+bx +c 有两个相等的实数根，∴m ＝，即mn ＝1；故答案为：mn ＝1．（3）∵m +n ＝﹣2，mn ＝1，∴m ＝﹣1，n ＝﹣1，∴a ﹣b +c ＝0，∴b ＝a +c ，∵b 2＝4ac ，∴（a +c ）2＝4ac ，解得：a ＝c ，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论18．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()221(1)20k x k x -++-=．(1)当k 取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k 取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．【答案】(1)1k =，1x =(2)1k ≠±，二次项系数是2(1)k -，一次项系数是(1)+k ，常数项是2-【详解】（1）由()221(1)20k x k x -++-=是一元一次方程，得【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件20．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，解得：m＝1，故答案为：1．易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式21．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：2x2﹣1＝4x，移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，即一次项系数是﹣4，故选：D．【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值22．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．23．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．故答案为﹣1．24．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，得1﹣2+a＝0，解得a＝1．故答案为：1．25．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．4044【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．26．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．考法2根据实际问题列一元二次方程27．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．故答案为：15x（10﹣x）＝360．【方法五】成果评定法一、单选题5．（2023·广东惠州·统考一模）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．1或1-C ．1-D ．0.5【答案】C【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，∴10a -≠，210a -=，∴1a =-；6．（2023春·广东广州开学考试）若a 是方程2250x x --=的一个解，则242a a -的值是（）A ．10B ．5C ．5-D ．10-【答案】A【详解】解：∵a 是方程2250x x --=的一个解，∴2250a a --=，∴225a a -=，∴()2242222510a a a a -=-=⨯=，二、填空题7．（2022秋·福建泉州期末）一元二次方程22310x x -+=的一次项系数为______．【答案】3-【详解】解：一元二次方程22310x x -+=的一次项为3x -，一次项系数为3-，8．（2022秋·江西赣州期末）用公式法解一元二次方程()428x x x -=-时，应先将其化成“一般形式”为________．【答案】2420x x +-=【详解】解：()428x x x -=-去括号得，2428x x x -=-，移项合并同类项得，2420x x +-=，即一元二次方程()428x x x -=-的一般形式为2420x x +-=，9．（2022秋·河南南阳期末）若关于x 的一元二次方程()22110a x ax a +-+-=的一个根是0，则a 的值为_____．【答案】1【详解】解：将0x =代入方程中得210a -=，三、解答题13．（2022秋·山东青岛阶段练习）若关于x 的方程||(2)220m m x x m -+-=是一元二次方程，求不等式：(1)1m x m +->的解集．【答案】1x <【详解】解：||(2)220m m x x m -+-= 是一元二次方程，||2m ∴=，20m -≠，解得：2m =±，2m ≠，2m ∴=-，∴原不等式变为：21x -+>，∴1x ->-，即1x <．14．（2022秋·河南开封阶段练习）已知关于x 的方程()221(1)20k x k x -++-=．(1)当k 取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k 取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．【答案】(1)1k =，1x =(2)1k ≠±，二次项系数是2(1)k -，一次项系数是(1)+k ，常数项是2-【详解】（1）由()221(1)20k x k x -++-=是一元一次方程，得21010k k ⎧-=⎨+≠⎩，解得1k =，原方程变为：220x -=，∴22x =解得1x =；（2）由()221(1)20k x k x -++-=是一元二次方程，得210k -≠，解得1k ≠±，∴1k ≠±时，()221(1)20k x k x -++-=是一元二次方程，二次项系数是2(1)k -，一次项系数是(1)+k ，常数项是2-．15．（2023秋·山东济宁期末）已知m 是方程230x x +-=的解，求式子32222022m m m +-+的值．【答案】202517．（2023•佛冈县二模）先化简，再求值：，若x是方程x2﹣2x＝0的正整数解．【解答】解：原式＝＝．∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，解得x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x ＝2时，原式＝．18．（2023•广陵区一模）先化简再求值：，其中x 是方程x 2﹣2x ＝0的一个根．【解答】解：原式＝，解x 2﹣2x ＝0得：x 1＝0，x 2＝2（使分式无意义，舍去），当x ＝0时，原式＝．19．（2023•越秀区一模）已知．（1）化简P ；（2）若a 为方程的一个解，求P 的值．【解答】解：（1）＝•＝•＝•＝a （a ﹣3）＝a 2﹣3a ；（2）∵a 为方程的一个解，∴a 2﹣a ﹣5＝0，∴a 2﹣3a ﹣15＝0，∴a 2﹣3a ＝15，∴P ＝15．20．（2023·北京西城一模）已知a 是方程2210x x +-=的一个根，求代数式2(1)(2)a a a +++的值．【答案】2241a a ++，3【详解】解：2(1)(2)a a a +++22212a a a a=++++(1)请判断方程2680x x -+=是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是()()80x x n --=倍根方程，则n =___________．【答案】(1)是，理由见解析(2)4或16【详解】（1）解：方程2680x x -+=是倍根方程，理由如下：由方程2680x x -+=，解得14x =，22x =，122x x = ，∴方程2680x x -+=是倍根方程；（2）解：由方程()()80x x n --=，解得18x =，2x n =，方程是()()80x x n --=倍根方程，122x x ∴=或212x x =，得82n =或2816n =⨯=，故4n =或16n =，。
(易错题精选)初中数学命题与证明的知识点总复习含答案
（易错题精选）初中数学命题与证明的知识点总复习含答案一、选择题1．下列命题正确的是（）A．矩形对角线互相垂直x=B．方程214=的解为14x xC．六边形内角和为540°D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．【详解】A．矩形对角线互相垂直，不正确；B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；C．六边形内角和为540°，不正确；D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；故选D.【点睛】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．2．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A．两条直线 B．相交C．只有一个交点 D．两条直线相交【答案】D【解析】【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．故选D．【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系.3．下列命题中逆命题是假命题的是（）A．如果两个三角形的三条边都对应相等，那么这两个三角形全等B．如果a2=9，那么a=3C．对顶角相等D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等【答案】C【解析】【分析】首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误．因为相等的角不只是对顶角，所以此答案是假命题，继而得到正确答案．【详解】解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题；B、逆命题为：如果a=3，那么a2=9．是真命题；C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题；D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题．故选C．【点睛】此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．4．下列命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．同角的余角相等D．全等三角形的面积相等【答案】B【解析】【分析】根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案．【详解】A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意，D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．下列命题是假命题的是()A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形【答案】C【解析】试题分析：A ．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A 选项不符合题意； B ．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B 选项不符合题意；C ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C 选项符合题意；D ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D 选项不符合题意．故选C ．考点：命题与定理．6．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直线a b ⊥r r，则a 与b 相交所成的角为直角C ．如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角D ．若a b ∥，a c ⊥，那么b c ⊥【答案】C【解析】根据平行线的判定，可知“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；根据垂直的定义，可知“直线a b ⊥，则a 与b 相交所成的角为直角”，是真命题； 根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角”，是假命题；根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若a b P ，a c ⊥，那么b c ⊥”，是真命题． 故选C.7．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1故选：A【点睛】 本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.8．下列命题的逆命题正确的是（ ）A ．如果两个角是直角，那么它们相等B ．全等三角形的面积相等C ．同位角相等，两直线平行D ．若a b =，则22a b =【答案】C【解析】【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假．【详解】解：A 、逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是直角，此逆命题为假命题； B 、逆命题为：面积相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；C 、逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题；D 、逆命题为，若a 2＝b 2，则a ＝b ，此逆命题为假命题．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．9．下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确；②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确: ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；正确； ④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．正确命题为:2①③，个；故选：A【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．10．下列命题中正确的有（ ）个①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断．【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误；④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确；故正确的命题有2个故答案为：B ．【点睛】本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．11．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（ ）A ．两直线平行，内错角相等;B ．相等的角是对顶角;C ．所有的直角都是相等的；D ．若a =b ,则a －1=b －1.【答案】C【解析】【分析】【详解】分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．详解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a﹣1=b﹣1，则a=b，是真命题．故选C．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．若两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C．同旁内角相等，两直线平行D．平行于同一直线的两直线互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定、平行线的性质判断即可．【详解】A、两直线平行，同位角相等，是假命题；B、若两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是假命题；C、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；D、平行于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；故选：D．【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．13．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相垂直平分B．矩形的对角线相等C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半D．对角线相等的菱形是正方形【答案】A【解析】【分析】不正确的命题是假命题，根据定义依次判断即可.【详解】A. 平行四边形的对角线互相平分，故是假命题；B. 矩形的对角线相等，故是真命题；C. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，故是真命题；D. 对角线相等的菱形是正方形，故是真命题，故选：A.【点睛】此题考查假命题的定义，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.14．下列命题是假命题的是（ ）A ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B ．等边三角形有3条对称轴C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A ．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B ．正确．等边三角形有3条对称轴；C ．错误，SSA 无法判断两个三角形全等；D ．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．15．下列选项中，能说明命题“若22a b >，则a b >”是假命题的反例是( )A ．1a =-，2b =B ．2a =，1b =-C ．1a =，2b =-D ．2a =-，1b =【答案】D【解析】【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，作答本题直接利用选项中数据代入求出答案．【详解】A. 当1a =-，2b =时，2a ＜2b ，a ＜b ，则此选项不是假命题的反例；B. 当2a =，1b =-时，2a ＞2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；C. 当1a =，2b =-时，2a ＜2b ，a ＞b ，则此选项不是假命题的反例；D. 当2a =-，1b =时，2a ＞2b ，a ＜b ，则此选项是假命题的反例，故选：D ．【点睛】本题考查真命题与假命题．要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．16．对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）A ．a =3，b =2B ．a =﹣3，b =2C ．a =3，b =﹣1D ．a =﹣1，b =3【答案】B【解析】试题解析：在A 中，a 2=9，b 2=4，且3＞2，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故A 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在B 中，a 2=9，b 2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，故B 选项中a 、b 的值可以说明命题为假命题；在C 中，a 2=9，b 2=1，且3＞﹣1，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故C 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在D 中，a 2=1，b 2=9，且﹣1＜3，此时满足a 2＜b 2，得出a ＜b ，即意味着命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”成立，故D 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；故选B ．考点：命题与定理．17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．直角都相等B ．钝角都小于180°C ．如果x 2+y 2=0，那么x=y=0D ．对顶角相等【答案】C【解析】【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【详解】相等的角不都是直角，故A 选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B 选项不符合题意，如果x=y=0，那么x 2+y 2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D 选项不符合题意，故选C【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．下列正确说法的个数是（ ）①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行，同旁内角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质以及等角或同角的补角相等的知识，即可求得答案．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，故①错误；∵等角的补角相等，故②正确；∵两直线平行，同旁内角互补，故③错误；∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④正确．∴正确说法的有②④．故选B ．【点睛】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，以及等角或同角的补角相等的知识．解题的关键是注意需熟记定理．19．下列命题的逆命题成立的有( )①勾股数是三个正整数 ②全等三角形的三条对应边分别相等③如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ④平行四边形的两组对角分别相等 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】先写出每个命题的逆命题，再分别根据勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定逐个判断即可．【详解】①逆命题：如果三个数是正整数，那么它们是勾股数反例：正整数1,2,3，但222123+?，即它们不是勾股数，则此逆命题不成立 ②逆命题：三条对应边分别相等的两个三角形全等由SSS 定理可知，此逆命题成立③逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等反例：222(2)4=-=，但22≠-，则此逆命题不成立④逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形由平行四边形的判定可知，此逆命题成立综上，逆命题成立的有2个故选：B ．【点睛】本题考查了命题的相关概念、勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．20．下列命题为真命题的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B．两直线被第三条直线所截，同位角相等C．垂直于同一直线的两直线互相垂直D．三角形的外角和为180o【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可．【详解】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C是假命题；三角形的外角和为360°，D是假命题；故选A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．。
中考数学最易出错61个知识点
中考数学最易出错61个知识点中考数学是中学学生所要参加的一项重要考试，其中涉及的知识点众多，且易出错。
在这里，我将为你详细介绍中考数学中最常见的61个易出错知识点。
1.四则运算：在进行加减乘除的运算时，容易出错的地方主要有横式运算错误、进位或借位错误、计算优先级错误等。
2.小数和分数：容易忽略小数点位置，小数转化成百分数或分数时易出错。
3.百分数：容易忘记将百分数转换成小数或分数，计算百分数的加减乘除时易出错。
4.平方和立方：容易将平方和立方的运算法则记错，例如平方数的开平方计算等。
5.代数式的计算：在多项式的加减乘除时容易忽略项，忘记合并同类项等。
6.等式和方程：在等式的加减乘除时易出错，方程的解错等。
7.几何图形的计算：容易计算图形的周长、面积和体积时忽略单位，记错公式等。
8.几何相似：容易混淆正相似和全等，计算相似比时出错。
9.圆与圆相关的知识点：包括弦长、弧长、扇形面积等计算容易出错。
10.直角三角形：容易记错勾股定理和三角函数的计算。
11.等腰三角形和等边三角形：容易忘记等腰三角形的性质和计算等边三角形的周长和面积。
12.梯形和平行四边形：容易计算梯形和平行四边形的面积时忽略高，记错公式。
13.计算用纸：容易使用错单位，计算时纸上的步骤和结果容易出错。
14.逻辑推理和证明：在逻辑推理和证明问题时容易漏项，记错条件或结论。
15.统计与概率：在统计数据的收集和处理时易出错，概率计算容易忽略条件。
以上是中考数学中最常见的61个易出错知识点的简要介绍。
为了避免这些易出错的情况，建议同学们在备考过程中多做相关的练习题，掌握基本技巧和方法，加强解题能力。
此外，同学们还可以多与同学、老师交流，共同探讨和解决问题，提升自己的数学水平。
中考数学常考易错点：1-2《代数式》
代数式易错清单1.在规律探索问题中如何用含n的代数式表示.【例1】(2014·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2014再到2015,箭头的方向是以下图示中的().【解析】观察不难发现,每4个数为一个循环组依次循环,用2013除以4,根据商和余数的情况解答即可.∵2013÷4=503…1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2014再到2015,箭头的方向是.【答案】 D【误区纠错】本题是对数字变化规律的考查,仔细观察图形,发现每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键.2.求代数式的值时,一般应先化简再代入求值.【误区纠错】在计算括号内的分式加减法时,通分出错,或者分子加减时出错.【误区纠错】本题易错点一是化简时没注意运算顺序;易错点二是去掉分母计算.名师点拨1.能用字母表示实际意义,正确解释代数式的含义.2.会用数字代替字母求代数式的值.3.能用数学语言表述代数式.提分策略1.列代数式的技巧.列代数式的关键是正确理解数量关系,弄清运算顺序和括号的作用.掌握文字语言和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少等在数学语言中的含义,此外还要掌握常见的一些数量关系,如行程、营销利润问题等.【例1】通信市场竞争日益激烈,某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后,再次下调了20%,现在收费标准是每分钟b元,则原收费标准每分钟是元.【解析】设原收费标准每分钟是x元,则(x-a)(1-20%)=b,解得x=a+1.25b.【答案】a+1.25b2.求代数式的值的方法.求代数式的值的一般方法是先用数值代替代数式中的每个字母,然后计算求得结果,对于特殊的代数式,也可以用以下方法求解:①给出代数式中所有字母的值,该类题一般是先化简代数式,再代入求值;②给出代数式中所含几个字母间的关系,不直接给出字母的值,该类题一般是把代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代人计算;③在给定条件中,字母间的关系不明显,字母的值含在题设条件中,该类题应先由题设条件求出字母的值,再代人代数式的值.【例2】按照如图所示的操作步骤,若输入的值为3,则输出的值为.【解析】由图可知,输入的值为3时,(32+2)×5=(9+2)×5=55.【答案】553.列代数式探索规律.根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中以图形为载体的数式规律最为常见.猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系式列式表达出来,再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.【例3】观察下列图形:它们是按一定规律排列的,依照此规律,第9个图形中共有个★.【解析】观察发现:相邻的下一个图形比这个图形多3个“★”,由此得第n个图形★的个数为3n+1,故第9个图形★的个数为3×9+1=28.【答案】28专项训练一、选择题1. (2014·甘肃天水一模)下列运算中正确的是().A. 3a-2a=1B. a·a2=3a3C. (ab2)3=a3b3D. a2·a3=a52. (2014·福建岚华中学)下列运算正确的是().A. a3÷a3=aB. (a2)3=a5C. D. a·a2=a33. (2014·山东东营模拟)下列运算正确的是().4. (2013·广西钦州四模)下列二次三项式是完全平方式的是().A. x2-8x-16B. x2+8x+16C. x2-4x-16D. x2+4x+165. (2013·江苏东台第二学期阶段检测)下列运算中正确的是().A. 3a+2a=5a2B. 2a2·a3=2a6C. (2a+b)(2a-b)=4a2-b2D. (2a+b)2=4a2+b26. (2013·浙江宁波北仑区一模)对任意实数x,多项式-x2+6x-10的值是().A. 负数B. 非负数C. 正数D. 无法确定二、填空题7. (2014·湖北黄石模拟)化简÷的结果为.8. (2014·山东聊城模拟)下面是用棋子摆成的“上”字:(第8题)如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:第n个“上”字需用枚棋子.9. (2014·山西太原模拟)计算:(x+3)(x-3)= .10. (2014·天津塘沽区一模)计算(a2)3的结果等于.11. (2014·河北廊坊模拟)计算:x3·x3+x2·x4= .12.(2013·河北唐山二模)随着电子技术的发展,手机价格不断降低,某品牌手机按原价降低m元后,又降低20%,此时售价为n元,则该手机原价为元.13. (2013·浙江杭州拱墅一模)计算:3a·(-2a)= ;(2ab2)3= .14. (2013·江苏南京一模)课本上,公式(a-b)2=a2-2ab+b2是由公式(a+b)2=a2+2ab+b2推导得出的,该推导过程的第一步是:(a-b)2= .三、解答题15. (2014·江苏无锡港下初中模拟)化简:16. (2014·北京平谷区模拟)已知a2+2a=3,求代数式2a(a-1)-(a-2)2的值.17. (2014·浙江金华6校联考)先化简,再求值:(a+2)(a-2)+4(a-1)-4a,其中a=-3.18. (2013·北京龙文教育一模)已知x2+3x-1=0,求代数式的值.参考答案与解析1. D[解析]3a-2a=a;a·a2=a3;(ab2)3=a3b6.3. C[解析]3x3-5x3=-2x3,6x3÷2x-2=3x5,-3(2x-4)=-6x+12.4. B[解析]根据完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,对各选项分析判断后利用排除法求解.5. C[解析]3a+2a=5a;2a2·a3=2a5;(2a+b)2=4a2+4ab+b2.6. A[解析]原式=-(x-3)2-1.8.4n+2[解析]第一个“上”字需要6(=4×1+2)个棋子,第二个“上”字需要10(=4×2+2)个棋子,第三个“上”字需要14(=4×3+2)个棋子,∴第n个“上”字需用4n+2个棋子.9.x2-9[解析]考查平方差公式.10.a6[解析]a2·a3=a5,(a2)3=a6.11. 2x6[解析]原式=x6+x6=2x6.13.-6a28a3b6[解析]3a·(-2a)=-6a2;(2ab2)3=23a3b6=8a3b6.14. [a+(-b)]2(注:写a2+2a·(-b)+(-b)2也可)16.原式=2a2-2a-(a2-4a+4)=2a2-2a-a2+4a-4=a2+2a-4.∵a2+2a=3,∴原式=3-4=-1.17.原式=a2-4+4a-4-4a=a2-8.当a=-3时,原式=1.。
中考常见代数式求值试题归纳及易错分析
中考常见代数式求值试题归纳及易错分析在中考数学试题中，代数式求值是一个常见的考点。
学生在面对代数式求值时，往往会遇到一些困惑和易错的地方。
本文将对中考常见的代数式求值试题进行归纳，分析易错点，帮助学生更好地应对这一考点。
一、常见的代数式求值类型归纳1. 简单代数式求值：通常是给出一个代数式，要求计算其值，如a+b=5, a=2, 求b 的值。
2. 整式求值：给出一个多项式或多项式表达式，要求计算其中变量的值。
3. 分式求值：给出一个分式，要求计算其值，通常需要进行有理化简，消去分母。
4. 复合代数式求值：给出一个复合的代数式，包含多个步骤计算，需要依次进行代数运算。
二、易错点分析1. 符号混淆：在代数式求值过程中，很容易出现符号混淆，如混淆加减号、乘除号等，导致计算错误。
2. 括号处理错误：括号是代数式中常见的符号，学生在进行代数式求值时，经常会出现忽略括号、处理括号错误等情况。
3. 代数式化简错误：在代数式求值过程中，需要进行代数式的化简操作，学生容易出现代数式化简错误，导致最终求值错误。
4. 计算细节错误：代数式求值过程中，往往需要进行多步计算，学生在计算细节上容易出现错误。
5. 理解误区：有些代数式求值试题涉及一些抽象的概念，学生容易在理解这些概念上出现误区，导致计算错误。
三、代数式求值解题技巧1. 注重符号的写法和计算过程：在代数式求值过程中，要注意符号的书写和计算过程的书写，避免出现符号混淆和计算错误。
2. 注意括号的处理：括号是代数式求值过程中重要的符号，要仔细处理括号，注意括号展开和合并。
3. 熟练掌握代数式化简规则：代数式求值过程中经常需要进行代数式的化简操作，要熟练掌握化简规则，如同类项合并、分配律等。
5. 清晰理解题意：在解代数式求值试题时，要对题意进行清晰的理解，避免出现理解错误导致的计算错误。
1. 代数式求值例题：已知a=3, b=5，求a+b的值。
解析：直接将a和b代入代数式，得到a+b=8。
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中考数学命题常考考点及易错点（一）
查字典数学网为您提供中考数学命题常考考点及易错
点(一)：
1、数与式
易错点1：有理数、无理数以及实数的有关概念理解错误，相反数、倒数、绝对值的意义概念混淆。
弄不清绝对值与数的分类。
选择题考得比较多。
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关;在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
易错点3：平方根、算术平方根、立方根的区别。
易错点4：分式值为零时易忽略分母不能为零。
易错点5：分式运算要注意运算法则和符号的变化。
当分式的分子分母是多项式时要先因式分解，因式分解要分解到不能再分解为止，注意计算方法，不能去分母，把分式化为最简分式。
填空题易考。
易错点6：非负数的性质：几个非负数的和为0，每个式子都为0;整体代入法;完全平方式。
易错点7：计算第一题易考。
五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士
勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
易错点8：科学记数法，精确度。
这个知道就好!
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石
多鸟”的效果。
易错点9：代入求值要使式子有意义。
各种数式的计算方法要掌握，一定要注意计算顺序。